fondamenti della matematica

fondamenti della matematica

fondamenti della matematica locuzione con la quale si indica, in senso lato, lo studio delle basi epistemologiche della logica e della matematica; in senso stretto, l’espressione si riferisce a una branca della matematica costituita da uno specifico gruppo di discipline (teoria degli insiemi, teoria delle funzioni ricorsive, teoria dei modelli ecc.) ciascuna delle quali, in piena autonomia metodologica, trae la sua origine storica dalle indagini critico-razionali sui concetti basilari della matematica e della metamatematica (quali i concetti di numero, calcolo, insieme, dimostrazione) così come si erano venute configurando nei decenni a cavallo fra Ottocento e Novecento del secolo scorso. Di solito, quindi, la locuzione è usata con una connotazione storica precisa, in riferimento, cioè, alle discussioni e alle ricerche sulla natura della matematica fiorite in quel periodo e caratterizzate da una peculiare commistione di filosofia e di elaborazione tecnico-formale. In tale contesto, le indagini sui fondamenti della matematica furono stimolate in parte da quell’esigenza di rigore che percorre pressoché tutta la matematica ottocentesca (si pensi, per esempio, agli sforzi compiuti per dare all’analisi un assetto concettuale soddisfacente) e in parte dalla necessità di valutare le conseguenze, sul piano epistemologico, di importanti fatti nuovi come la scoperta delle geometrie non euclidee o l’emergere della teoria degli insiemi. È in quel periodo, in particolare, che matura la cosiddetta crisi dei fondamenti della matematica (→ fondamenti, crisi dei).

Fra i diversi approcci al problema dei fondamenti elaborati in questo quadro, tre ebbero rilevanza speciale: il → logicismo, il → formalismo e → l’intuizionismo. Il logicismo, con F.G. Frege e B. Russell, sosteneva la riduzione della matematica alla logica, ossia la possibilità di costruire tutta la matematica a partire da pochi principi logici. In questa prospettiva, aveva importanza centrale il concetto di classe, o insieme, introdotto in particolare da G. Cantor. A mettere in crisi tale approccio fu la contraddizione nella teoria degli insiemi scoperta nel 1902 da Russell (→ Russell, antinomia di). Il logico britannico vi pose rimedio con la teoria dei → tipi, ma ben presto fu evidente che questa riduzione richiedeva in realtà assiomi che postulassero l’esistenza di certi enti non logicamente necessari, e per questo motivo fu abbandonata. Il → formalismo, di cui D. Hilbert fu il massimo esponente, sosteneva invece che matematica e geometria si muovono su un piano meramente sintattico, studiando le relazioni tra segni senza significato, che solo in un secondo tempo vengono interpretati. L’intento originario dei formalisti era quello di dimostrare la coerenza e la completezza dell’aritmetica partendo da una serie di assiomi con un numero finito di operazioni di deduzione logica. Questo programma, nelle sue richieste più radicali, fallì. Nel 1931 K. Gödel dimostrò infatti (→ Gödel, teorema di) l’impossibilità di dare una simile dimostrazione. L’intuizionismo, rappresentato principalmente da L.E. Brouwer, attribuiva le antinomie al fatto che i matematici parlavano di grandezze che non erano in grado di costruire. Ciò lo portò a criticare l’uso indiscriminato del principio del terzo escluso e delle dimostrazioni per assurdo. Le posizioni intuizioniste comportano molti sacrifici per i matematici a causa della drastica restrizione del campo delle cose dimostrabili.

Con gli anni Trenta del Novecento, il dibattito fra i sostenitori dei punti di vista delineati assunse toni via via sempre più smorzati e la forza d’attrazione di ciascuno dei tre programmi fondazionali si attenuò. Attualmente gli studiosi, più che optare per l’una o per l’altra delle posizioni qui menzionate, preferiscono mettere in rilievo gli aspetti positivi e negativi che ciascuna di esse reca in sé. Con tutto ciò, il bilancio storico dei grandi programmi fondazionali è positivo: le discussioni da essi suscitate hanno contribuito a chiarire i termini di questioni profonde e difficili, e, soprattutto, hanno dato un impulso decisivo allo sviluppo della logica matematica contemporanea. Correnti di pensiero più generali che si interrogano su «che cosa sia la matematica» e, dunque sui suoi fondamenti e la sua filosofia, sono poi il → platonismo, e il → realismo.