forma hermitiana

Enciclopedia della Matematica (2017)

forma hermitiana


forma hermitiana applicazione a partire dalla quale è possibile introdurre concetti di natura metrica in uno spazio vettoriale complesso, analogamente a come, a partire dalle forme bilineari simmetriche, vengono definiti i prodotti scalari. Più precisamente, una forma hermitiana su uno spazio vettoriale complesso V è un’applicazione φ: V × V → V tale che:

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dove v, w e z sono arbitrari vettori di V, a e b sono arbitrari numeri complessi e la sopralineatura di un numero complesso indica il suo coniugato. Dalla terza proprietà segue che, per ogni vettore v, il numero complesso φ(v, v) è in effetti un numero reale. Supposto V di dimensione finita, fissata una base {e1, ..., en} di V e indicati con x e y le coordinate di due vettori v e w rispetto alla data base, allora una forma hermitiana φ è rappresentabile sotto forma di matrice: se A è la matrice complessa definita da A = (φ(ei, ej))ij, allora

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dove xT è il vettore riga trasposto di x, ȳ è il vettore colonna ottenuto coniugando le entrate di y e il prodotto è quello righe per colonne.

Dalla terza proprietà segue allora che A è una matrice hermitiana, vale a dire che essa coincide con la sua trasposta coniugata. Una forma hermitiana φ è detta definita positiva (rispettivamente, semidefinita positiva) se φ(v, v) > 0 (rispettivamente, φ(v, v) ≥ 0) per ogni vettore v; φ è invece detta definita negativa (rispettivamente, semidefinita negativa) se φ(v, v) < 0 (rispettivamente φ(v, v) ≤ 0) per ogni vettore v. Come a partire dalle forme bilineari simmetriche sono definiti i prodotti scalari, a partire dalle forme hermitiane sono definiti i prodotti hermitiani.

Vedi anche
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Vocabolario
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pro forma
pro forma locuz. lat. (propr. «per la forma»), usata in ital. come avv., agg. e s. m. – Espressione avverbiale equivalente a per pura formalità, per salvare le apparenze (e quindi anche, talora, solo in apparenza); gli hanno fatto un esame...