INDETERMINATE, FORMULE

INDETERMINATE, FORMULE

. Si tratta di espressioni aritmetiche e più generalmente analitiche che, in corrispondenza a un determinato sistema di valori attribuiti alle variabili da cui dipendono, assumono una forma priva di significato di fronte alle operazioni fondamentali dell'algebra, pur essendo suscettibili di rappresentare un numero mediante l'operazione di passaggio al limite.

Così, ad es., se si considerano due funzioni f (x), ϕ (x) della variabile reale x, definite per tutti i valori della x di un intervallo I, al quale sia interno un punto x = x₀, e si suppone che entrambe le funzioni siano nulle in x₀, mentre in ogni altro punto di I la ϕ (x) sia diversa da zero, il rapporto f (x)/ϕ (x) ha significato in tutto I, escluso il punto x₀, nel quale codesto rapporto si presenta sotto la forma 0/0, che, per la definizione stessa di quoziente di due numeri, è indeterminata. Per ragione di continuità si può allora domandarsi se sia invece determinato il

Se f (x), ϕ (x) sono due polinomî in x, che ammettano x₀ come radice dello stesso ordine r (≥ 1), si sa che ciascuno di essi è divisibile per (x − x₀)^r, ma non per (x − x₀)^r+1, cosicché, ponendo f(x)/(x − x₀)^r = f₁ (x), ϕ (x)/(x −x₀)^r = ϕ₁ (x), si ha, per ogni x ≷ x₀,

onde, passando al limite per x → x₀, si trova

L'indeterminazione di f (x)/ϕ (x) nel punto x₀ si risolve così nel numero f₁ (x₀)/ϕ₁ (x₀), che taluni autori chiamano il vero valore in x₀ del rapporto considerato. Se invece gli ordini di multiplicità r, s di x₀ come radice rispettivamente di f (x) e ϕ (x) sono diversi,

è zero o infinito secondo che r è maggiore o minore di s. Ma non sempre si riesce a togliere l'indeterminazione nel punto x₀ dividendo le funzioni f (x) e ϕ (x) per una. conveniente potenza del binomio x − x₀ e un esempio di questa circostanza è offerto dal rapporto sen x/x del seno di un arco x a x stesso, il quale assume la forma indeterminata 0/0, in corrispondenza al valore zero di x. Tuttavia si dimostra che

Alla forma indeterminata 0/0 si può pervenire in condizioni più generali di quelle testé considerate. Più precisamente, può accadere che le funzioni f (x) e ϕ (x) (o almeno una di esse) non siano definite nel punto x0, ma tendano a zero per x → x₀, potendo tale circostanza verificarsi quando x tende a x₀ anche solo per valori maggiori o minori di x₀. Così, i rapporti e^-1/x2/x, e^-1/x/x assumono la forma 0/0 rispettivamente quando x tende a zero comunque o soltanto per valori positivi.

Dalle considerazioni fatte apparisce chiara l'opportunità di possedere una regola che, nel maggior numero di casi possibìli, permetta di calcolare il

quando il rapporto f (x)/ϕ (x) si presenti senz'altro sotto la forma indetermiriata 0/0 nel punto x₀, o tenda ad assumere tale forma quando x tende ad x₀. Tale regola fu enunciata dal marchese de L'Hôpital (1696) nella sua Analyse des infiniments petits e va sotto il suo nome, per quanto fosse conosciuta prima di lui da Giovanni Bernoulli (Opera omnia, I, p. 401). Si enuncia così: Se f (x) e ϕ (x) teridono entrambe a zero quando x tende a x₀ e sono derivabili, sussiste l'eguaglianza

nel caso in cui la derivata ϕ (x) si mantenga diversa da zero in un intorno del punto x₀ (eccettuato al più il punto x₀ stesso) ed esista il limite del rapporto f′ (x)/ϕ′ (x). Naturalmente, se anche il rapporto delle derivate assume nel punto x₀ la forma indeterminata 0/0, si riapplicherà la stessa regola, passando a considerare il rapporto delle derivate seconde, ecc.

Può accadere che il rapporto delle derivate di qualsiasi ordine si presenti sempre sotto la forma 0/0 e allora la regola di L'Hôpital non dà nulla. Si osservi altresì che, in casi elementari, può darsi benissimo che esista il

senza che esista quello del rapporto delle derivate prime, seconde, ecc.

L'applicazione della regola è valida anche quando x tenda a x₀ solo per valori maggiori o minori di x₀, come pure nel caso in cui entrambe le funzioni f (x) e ϕ (x) tendano a zero al tendere di x a + ∞, o a − ∞ o all'infinito senza specificazione di segno.

Insieme con la forma indeterminata 0/0 se ne possono presentare altre sei simboleggiate dalle espressioni ∞/∞, 0•∞, ∞ − ∞, 0⁰, ∞⁰, 1^∞. Ciascuno di questi casi si riduce con opportuni artifici alla forma 0/0 e alla conseguente regola di L'Hôpital, avendo cura di verificare volta per volta se sono soddisfatte le condizioni che ne assicurano l'applicabilità.

∞/∞ - Si applica la regola di L'Hôpital senz'altro o dopo aver messo il rapporto f (x)/ϕ (x) sotto la forma

0•∞. - Si scrive

∞ − ∞. - Si scrive

e dopo aver calcolato il

si ha una nuova indeterminazione se tale limite è 1.

0⁰, ∞⁰, 1^∞ - In ciascuno di questi casi si considera

e si è ricondotti alla forma indeterminata 0•∞.