frattali

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La matematica fra natura e arte

«Perché la geometria viene spesso definita fredda e arida? Uno dei motivi è la sua incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una linea costiera, di un albero». Parola di Benoît Mandelbrot, il creatore della teoria dei frattali. I frattali sono figure geometriche generate al calcolatore usando formule matematiche: rappresentano oggetti molto complessi, che sono spesso anche immagini belle da vedere, vere opere d’arte

Che cos’è un frattale

Un frattale è una figura geometrica che si ripete all’infinito uguale a sé stessa, su scala sempre più piccola. Ciò significa che una parte qualsiasi del frattale riproduce, in piccolo, la figura nella sua totalità e in tutti i suoi dettagli. Per chiarire il concetto, vediamo due esempi: il fiocco di neve di von Koch e il triangolo di Sierpinski.

figura

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Per costruire il Fiocco di neve, prendiamo un triangolo isoscele, dividiamo ogni lato in tre segmenti uguali e sostituiamo quello centrale con due segmenti della stessa lunghezza. Immaginiamo di ripetere questo procedimento all’infinito. La figura mostra il procedimento ripetuto tre volte. Per costruire il triangolo di Sierpinski prendiamo un triangolo isoscele, dividiamolo in quattro triangoli uguali e eliminiamo il triangolo centrale (quello con il vertice che punta in basso). Ripetiamo l’operazione sui triangoli rimasti, e così via all’infinito. La figura mostra il procedimento ripetuto due volte.

Cosa lo contraddistingue

I frattali devono il loro nome a una curiosa proprietà che li contraddistingue: hanno dimensione frazionaria, non intera come le figure della geometria euclidea. Si può spiegare questo concetto partendo da alcuni elementi ben noti della geometria euclidea come il segmento, il quadrato, il cubo.

Per ottenere da un segmento il minimo numero di segmenti uguali fra loro basta dividerlo in due. Per ottenere da un quadrato il minimo numero di quadrati uguali fra loro bisogna dividere la figura in quattro. Per ottenere da un cubo il minimo numero di cubi uguali fra loro bisogna dividere il cubo in otto. Nel primo caso abbiamo 2 = 2¹ segmenti, nel secondo 4 = 2² quadrati, nel terzo 8 = 2³ cubi. Insomma, il minimo numero di figure uguali fra loro, ottenibile nei diversi casi, è pari a una potenza di 2 il cui esponente è esattamente la dimensione della figura che si sta considerando: 1 per il segmento, 2 per il quadrato, 3 per il cubo. Possiamo scrivere, in generale, N = 2^d, dove N è il minimo numero di figure uguali fra loro, ottenibile da una data figura, e d è la dimensione di quella figura. Prendiamo in considerazione, ora, il triangolo di Sierpinski. Il minimo numero di figure uguali fra loro ottenibile da un triangolo di Sierpinski è 3 (si veda il primo passaggio illustrato nella figura 2). Se applichiamo a questo caso la formula precedente otteniamo 3 = 2^d. 3 è maggiore di 2 (2¹) e minore di 4 (2²); quindi, nel caso del triangolo di Sierpinski, d deve essere compresa fa 1 e 2, cioè deve assumere un valore non intero.

Frattali famosi

Le figure schematiche, presentate per illustrare le caratteristiche dei frattali, non rendono l’idea della complessità (caos e caso) e della bellezza di questi oggetti geometrici. A titolo di esempio, mostriamo due dei frattali più famosi, quello di Mandelbrot e quello di Julia. Prendono nome da Benoît Mandelbrot, nato in Polonia nel 1924, che ha fondato, poco più di vent’anni fa, la teoria dei frattali dopo aver studiato l’opera del matematico francese, suo predecessore, Gaston Maurice Julia.

I frattali oggi interessano i più diversi campi di ricerca e persino l’arte figurativa e la musica: grazie all’uso dei computer, le formule matematiche che definiscono i frattali possono essere trasformate in immagini e in suoni. Negli anni Ottanta si è sviluppata la geometria dei frattali biomorfi, cioè simili a oggetti presenti in natura, il cui risultato più noto è la foglia di felce, un frattale che riproduce con incredibile somiglianza una vera foglia di felce.