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funtore

Enciclopedia della Matematica (2017)
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funtore


funtore trasformazione tra due categorie che ne conserva le strutture. Più precisamente, assegnare un funtore F da una categoria C a una categoria D significa dare:

• una legge: Ob(C) → Ob(D), che associa a ogni oggetto X di C uno e un solo oggetto F(X) di D;

• per ogni coppia di oggetti A e B appartenenti a C, una legge che associa a ogni morfismo ƒ*: A → B un morfismo F(ƒ*): F(A) → F(B) (nel qual caso il funtore viene detto covariante) oppure un morfismo F(ƒ*): F(B) → F(A) (nel qual caso il funtore viene detto controvariante).

Si richiede inoltre che siano soddisfatte le seguenti proprietà funtoriali:

a) per ogni oggetto A appartenente alla categoria C, vale F(idA) = idF(A);

b) per ogni morfismo ƒ*: A → B e per ogni morfismo g: B → C, vale F(g ∘ ƒ*) = F(g) ∘ F(ƒ*) (se il funtore è covariante) oppure F(g ∘ ƒ*) = F(ƒ*) ∘ F(g) (se il funtore è controvariante), dove A, B e C sono arbitrari oggetti della categoria C.

Un esempio di funtore covariante è il funtore HomK(V*, .), dove V* è un fissato spazio vettoriale definito su un campo K dalla categoria VetK degli spazi vettoriali definiti su K in sé stessa, che associa a uno spazio vettoriale W* lo spazio HomK(V*, W*) delle applicazioni lineari da V* in W* (dotato in modo naturale della struttura di spazio vettoriale), e che associa a un’applicazione lineare ƒ*: W* → U l’applicazione H(ƒ*): HomK(V*, W*) → HomK(V*, U) definita da H(ƒ*)(φ) = ƒ φ.

Sono invece esempi di funtori controvarianti:

• il funtore, dalla categoria Top degli spazi topologici alla categoria AlgC delle algebre definite su C, che associa a uno spazio topologico X l’algebra C(X) delle funzioni continue su X a valori in C e a un’applicazione continua ƒ*: X → Y l’applicazione c(ƒ*): C(Y) → C(X) definita da c(ƒ*)(φ) = φ ƒ*;

• il funtore, dalla categoria VetK degli spazi vettoriali definiti su K in sé stessa, che associa a uno spazio vettoriale V iI suo spazio duale V* e a un’applicazione lineare ƒ*: V* → W* l’applicazione trasposta ƒ*: W* → V* definita da ƒ* (φ)(v) = φ(ƒ*(ν)).

Vedi anche
morfismo Ente matematico associato alle coppie di ‘oggetti’ di una data categoria. Si tratta di una nozione astratta e di grande generalità, che comprende come casi particolari molte nozioni classiche, come quelle di applicazione tra due insiemi, di omomorfismo tra due insiemi algebrici, di rappresentazione continua ... omologia Conformità o equivalenza tra più parti, termini, elementi. Biologia fig. 1Concetto che esprime il rapporto fra organi o strutture morfologiche propri di categorie tassonomiche diverse (fig. 1), ma aventi la stessa origine embrionale (la mano di un primate e l’ala di un uccello), e in base al quale ... topologia Matematica Lo studio delle proprietà geometriche delle figure che non dipendono dalla nozione di misura, ma sono legate a problemi di deformazione delle figure stesse. Proprietà topologiche La t., che è oggi un capitolo fondamentale della matematica, in origine si limitava allo studio di aspetti geometrici ... algebra Uno dei rami fondamentali delle scienze matematiche: in senso lato l’a. studia le operazioni, definite in un insieme, che godono di proprietà analoghe a quelle delle ordinarie operazioni dell’aritmetica. Con significato specifico è sinonimo di sistema ipercomplesso. La parola al-giabr è usata per la ...
Tag
  • APPLICAZIONE LINEARE
  • SPAZIO TOPOLOGICO
  • SPAZIO VETTORIALE
  • FUNZIONI CONTINUE
  • SPAZIO DUALE
Altri risultati per funtore
  • funtore
    Enciclopedia on line
    In matematica, trasformazione di una categoria C in un’altra categoria D, definita da una coppia di ‘funzioni’, ϕ e ψ, tali che: a) se A, B, ... indicano ‘oggetti’ di C, ϕ(A), ϕ(B) ... sono ‘oggetti’ ben determinati di D; b) se g, h, ... sono ‘morfismi’ di C, ϕ (g), ϕ (h), ... sono ‘morfismi’ di D; ...
  • funtore
    Dizionario delle Scienze Fisiche (1996)
    funtóre [Der. del lat. functor -oris, dal part. pass. functus del lat. fungi "fungere", e quindi "che funge da, che adempie una funzione"] [ALG] Corrispondenza tra categorie (→ categoria) che preserva la struttura delle stesse. Precis., si consideri una trasformazione di una categoria C in un'altra ...
Vocabolario
funtóre
funtore funtóre s. m. [der. di funto, part. pass. di fungere]. – 1. non com. Chi esercita un ufficio o adempie una funzione, spesso a carattere provvisorio o temporaneo. 2. In matematica, funzione che interviene in una particolare trasformazione...
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