funzione biometrica

funzione biometrica

funzione biometrica in matematica attuariale, locuzione con cui ci si riferisce a una classe di funzioni che descrivono l’andamento nel tempo della probabilità dei principali eventi relativi alla vita o alla morte degli individui e sulla base delle quali si calcolano i premi per le assicurazioni di vita e di morte.

Le principali funzioni biometriche sono:

• funzione di sopravvivenza, espressa con il simbolo l_x; indica il numero di sopravviventi fino all’età x (con riferimento a una popolazione iniziale di 100.000 individui);

• funzione di probabilità di morte, indicata con il simbolo q_x; indica la probabilità che un individuo di età x muoia prima dell’età x + 1. Si ha

• funzione di mortalità o dei decessi, espressa con il simbolo d_x; indica il numero degli individui di età x che muoiono tra l’età x e l’età x + 1. Si ha

• funzione di vita media, espressa con il simbolo e_x; indica il numero di anni che mediamente restano da vivere a un individuo di età x. Si ha

Con la lettera greca ω si indica l’età estrema, cioè l’età alla quale tutta la popolazione iniziale di 100.000 individui si suppone estinta. L’Istituto nazionale di statistica (istat) pubblica periodicamente le cosiddette tavole di mortalità, nelle quali sono indicati, anno per anno, il numero convenzionale di individui che sopravvive fino a una determinata età, a partire da una ipotetica popolazione iniziale di 100.000 nati vivi, definita mediante opportuni metodi statistici. Anno per anno, o per gruppi di anni, sono ulteriormente definite le probabilità di sopravvivenza, cioè di sopravvivere per uno o più anni. La probabilità di sopravvivere per un anno p_x, cioè fino al compimento del successivo compleanno, è la probabilità dell’evento complementare a quello di morire entro un anno q_x (→ probabilità) ed è data da:

Tale probabilità di sopravvivenza è detta anche tasso annuo di sopravvivenza e la relativa funzione è detta funzione di sopravvivenza; il suo andamento è la curva di sopravvivenza.

La probabilità di sopravvivere per più anni è indicata con _np_x (si legge «p con x differito n») ed è data dal rapporto:

La probabilità di morire entro un determinato periodo di tempo, necessaria per calcolare determinati tipi di premi di assicurazione, è indicata con _n /mq_x (si legge «q con x, differito n e temporaneo m») ed è data dal rapporto tra il numero dei decessi tra l’età x + n e l’età x + n + m e il numero dei viventi all’età x:

La funzione di vita probabile, indicata con π_x, rappresenta il numero di anni che ciascun individuo di età x spera di vivere con probabilità uguale al 50%, ovvero di vivere finché la popolazione di viventi di età x si dimezza. Questo valore è fornito direttamente dalle tavole istat alla “colonna dei sopravviventi”.