funzione di classe Cn
funzione di classe Cn
funzione di classe Cn indicata come appartenente alla classe Cn(E), è una funzione che nell’insieme E ammette derivate continue fino all’ordine n. Per ogni n naturale, esistono funzioni di classe Cn che non sono di classe Cn+1: per esempio, la funzione y = xn+1/3, che nell’origine non ammette derivata (n + 1)-esima. Se una funzione ammette derivate di ogni ordine, si dice che è di classe C∞: per esempio, le funzioni razionali, la funzione ex, le funzioni sin(x) e cos(x) sono esempi di funzioni di classe C∞(R). Una funzione di classe C∞ è anche detta funzione liscia nell’ambiente in cui è definita. È molto importante specificare l’insieme in cui valgono tali proprietà, perché una funzione può ammettere un numero differente di derivate in diversi intervalli. Per esempio, la funzione ƒ(x) = (x 5 − 2x 4)1/3 è di classe C0 in R, di classe C1 in [−1, 1] e di classe C∞ in [3, +∞). Se E è un insieme chiuso e limitato di Rn, gli insiemi Cn(E) costituiscono degli spazi di Banach, in caso contrario non lo costituiscono, pur essendo comunque spazi vettoriali.