Dirichlet, funzione di

Dirichlet, funzione di

Dirichlet, funzione di particolare funzione reale di una variabile reale, spesso indicata con Dir(x); è la funzione che assume valore 1 se x è razionale e 0 altrimenti. Quindi: Dir(x) = 1 se x ∈ Q, Dir(x) = 0 se x ∈ R/Q. La funzione di Dirichlet è la funzione caratteristica dell’insieme Q dei razionali. È una funzione discontinua in ogni punto, essendo il suo grafico formato da due sequenze parallele, infinite e dense di punti, una sull’asse delle ascisse e l’altra di ordinata y = 1. Essa può essere ottenuta con il limite iterato

e appartiene perciò alla seconda classe di Baire. Essa è integrabile nel senso di Lebesgue (ed equivale alla funzione nulla), ma non in quello di Riemann (→ Lebesgue, integrale di; → Riemann, integrale di).