produzione, funzione di
produzione, funzione di
Funzione che definisce l’ammontare massimo di produzione compatibile con un dato livello degli input, riferita a una o più imprese o a un’intera economia. La funzione di p. descrive quindi l’insieme delle possibilità tecnologiche ed è utilizzabile unitamente a una teoria dell’impresa, che ne individua la funzione obiettivo (massimizzazione dei profitti), per determinare la domanda di beni intermedi (materie prime, semilavorati, ecc.) o di fattori di produzione (lavoro e capitale) necessari per realizzare il processo produttivo, e l’offerta dei prodotti. Tali condizioni tecnologiche non sono osservabili empiricamente, ma possono essere espresse in modo equivalente in termini di grandezze misurabili, partendo dai dati osservabili di domanda, offerta, costi e profitti.
Funzione di produzione e livello degli input
Supponendo che ogni combinazione di input sia ammissibile a priori per produrre una certa merce, la funzione di p. (F) determina la quantità di prodotto (Y) rispetto al livello degli input, per es. capitale (K) e lavoro (L): in termini matematici, Y=F(K,L). Le proprietà della funzione di p. riguardano, tra l’altro, il grado di sostituzione tra gli input (➔ anche putty-putty; putty-clay) , la relazione tra la scala della produzione e la produttività, e la convessità dell’insieme di produzione.
Il livello di sostituibilità è descritto dal saggio marginale di sostituzione tecnica tra due input (➔ sostituzione, effetto di ), che misura la quantità addizionale di un input necessaria per mantenere costante l’output, data una riduzione marginale dell’altro input. Esso è pari al rapporto tra le rispettive produttività marginali. La relazione tra la quantità di produzione e l’efficienza della tecnologia è espressa dai cosiddetti rendimenti di scala (➔ scala, rendimenti di ): essi si dicono crescenti se, all’aumentare percentualmente identico degli input, il livello dell’output aumenta in misura più che proporzionale; in caso contrario, sono costanti o decrescenti, a secondo che le quantità di output e di input varino esattamente nella stessa proporzione, o le prime illustrino un incremento più che proporzionale. Inoltre, la funzione di p. è concava, ossia l’insieme di produzione è convesso, se una combinazione più bilanciata degli input è anche più produttiva. Nell’ipotesi di additività dei piani di produzione (verificata, per es., se c’è libertà di ingresso di nuove imprese), la concavità della funzione di p. equivale alla proprietà di rendimenti di scala non crescenti. Se esiste un unico fattore di produzione, ciò si verifica se la sua produttività marginale è positiva e decrescente (o costante); nel caso, invece, di una funzione di più variabili, l’analisi della concavità investe l’insieme delle derivate seconde, ossia l’hessiano (➔), della funzione di produzione
Da un punto di vista tecnico, se la funzione di p. è (strettamente) concava, allora il problema di massimizzazione del profitto per l’impresa ammette un’unica soluzione: in essa, il saggio marginale di sostituzione tecnica tra due input è uguale al rapporto tra i rispettivi prezzi. Inoltre, risolvendo il problema duale di minimizzazione dei costi, si verifica che nel punto di ottimo il costo marginale di produzione è pari al prezzo dell’output. Data la soluzione del problema dell’impresa, si possono ricavare le funzioni di domanda degli input, di costo e di profitto, al variare dei prezzi e della quantità prodotta.
Applicazioni
Un esempio di funzione di p. estremamente utilizzato nelle applicazioni è quella Cobb-Douglas (➔ Cobb-Douglas, funzione di), che assume la forma Y=cLaKb. Il coefficiente c determina la produttività totale, mentre a e b influenzano quella dei singoli fattori; il saggio marginale di sostituzione tecnica tra lavoro e capitale è pari al rapporto aK/bL; i rendimenti di scala sono costanti se a+b=1, sono decrescenti se a+b<1 e crescenti se a+b>1. La funzione di p. Cobb-Douglas rientra nella classe più generale delle cosiddette Constant Elasticity of Substitution production functions (➔ CES), per le quali l’elasticità (➔) di sostituzione tra i fattori è costante al variare delle quantità. Infine, un’altra funzione di p. molto nota, detta di Leontieff (➔ Leontieff, Wassily) o ‘a proporzioni fisse’, è la seguente: Y=c min(L/a,K/b). In essa, gli input non sono sostituibili tra loro liberamente; al contrario esiste un’unica proporzione tra loro, pari al rapporto a/b, che garantisce che essi vengano impiegati in modo efficiente nel processo produttivo.