momenti, funzione generatrice dei

momenti, funzione generatrice dei

Trasformazione di Laplace (➔ Laplace, trasformata di) della distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria X (➔ variabile aleatoria): G(u)=E(e^uX). Prende il nome dal fatto che esiste una relazione biunivoca tra la funzione G(u) e i m. della distribuzione. In particolare, se G^(r) indica la derivata r-esima di G, si ha E(X^r)=G^(r), r≥0. La funzione generatrice dei m. non è sempre definita. Condizione necessaria, ma non sufficiente, è che esistano tutti i m. della distribuzione di X. Data una variabile aleatoria X e un numero r, il m. r-esimo di X è la media della potenza r-esima di X, E(X^r). Si chiama m. r-esimo centrato la media E(X−μ)^r, con μ=EX. Casi notevoli sono il m. primo, che coincide con la media (➔), il m. secondo centrato, che coincide con la varianza (➔), il m. terzo centrato, che è usato come misura di asimmetria (➔ skewness), e il m. quarto centrato, che è utilizzato come misura di curtosi (➔). Esistono distribuzioni di probabilità (➔ distribuzione di probabilità) i cui m. sono tutti finiti, altre che hanno m. fino a un certo ordine, altre ancora che non hanno nessun m. finito. Esempi del primo tipo di distribuzione sono la normale, la multinomiale, l’esponenziale. Esempi del secondo tipo sono la distribuizione t di Student (➔ Student, t di) con k gradi di libertà, che ha m. finiti fino all’ordine r<k. Una distribuzione che non ha m. di alcun ordine è la distribuzione di Cauchy (➔ Cauchy, metodo di).