funzione limitata
funzione limitata
funzione limitata funzione F su un sottoinsieme E del suo dominio la cui immagine ƒ(E) è limitata. Questa definizione è del tutto generale (→ insieme limitato), ma si specifica in R, dove si traduce nel fatto che esiste una costante M > 0 tale che per ogni x ∈ E risulti |ƒ(x)| ≤ M. Va sottolineato il fatto che non è richiesto che il valore M sia assunto per qualche x, e neppure che M sia il più piccolo valore per cui è verificata la disuguaglianza precedente. Per esempio, la funzione ƒ(x) = arctan(x) è limitata in R, essendo |ƒ(x)| < π/2; la funzione ƒ(x) = esin(x) + 1/(1 + x 2) è pure limitata in R, essendo |ƒ(x)| < e + 1; la funzione ƒ(x) = x 2 è limitata in ogni intervallo limitato, ma non su tutto R; la funzione ƒ(x) = 1/x è limitata in [1, +∞).
Si distingue poi tra funzione limitata inferiormente o superiormente. Una funzione ƒ(x) è limitata superiormente in un intervallo (a, b) se esiste una costante M tale che per ogni x ∈ (a, b) si ha ƒ(x) ≤ M; si dice invece che è limitata inferiormente nell’intervallo (a, b) se esiste una costante m tale che per ogni x ∈ (a, b) si ha ƒ(x) ≥ m e fissato un numero ε positivo qualunque esiste almeno un valore della funzione nell’intorno destro (m, m + ε). Si dice limitata tout court una funzione limitata sia inferiormente sia superiormente.
La nozione si applica a funzioni reali o complesse di argomento reale o complesso, e anche di più variabili. Se la funzione è a valori vettoriali, basta sostituire al modulo una norma.