funzione matematica

funzione matematica

Grandezza che varia in dipendenza di un’altra. Si dice che una quantità Y (variabile dipendente) è f. di un’altra quantità X (variabile indipendente) se esiste una legge che a ogni X fa corrispondere uno o più valori della Y. La f. m. viene utilizzata in ambito economico o statistico.

Esempi di funzioni economiche

La f. di utilità, nella teoria microeconomica, è un modo di rappresentare le preferenze del consumatore definite sull’insieme dei panieri di beni possibili (➔ utilità, funzione di) e si ipotizza che il consumatore scelga le quantità domandate dei vari beni allo scopo di massimizzare il suo benessere (cioè la sua f. di utilità), dato il suo vincolo di bilancio. Poiché lo scopo fondamentale della f. di utilità è quello di rappresentare l’ordinamento dei vari panieri di beni da parte del consumatore, essa è definita a meno di una trasformazione monotona (➔ monotono), che non modifica l’ordine di preferenza indotto dalla f. di utilità. Frequentemente si assume che la f. di utilità sia strettamente concava (➔ convessità). In questo caso, infatti, se l’insieme dei possibili panieri è opportunamente definito (in particolare, se descrive un insieme convesso), esiste un unico paniere che massimizza la f. di utilità. Esempi di f. di utilità sono la f. di Cobb Douglas (➔ Cobb Douglas, funzione di) e quella a elasticità di sostituzione costante (➔ CES, Constant Elasticity of Substitution), di cui la prima è un caso particolare.

La f. di domanda, nella teoria microeconomica, è la soluzione del problema di massimizzare le preferenze del consumatore, dato il suo vincolo di bilancio, e descrive la relazione che lega la quantità domandata di un qualunque bene al reddito del consumatore, al prezzo del bene in esame e a quelli di tutti gli altri beni.

La f. di spesa, nella teoria microeconomica, descrive la spesa minima che il consumatore deve sostenere per raggiungere un livello di utilità prefissato, dati i prezzi dei beni. È il duale (➔ duale, problema) del problema di massimizzazione delle preferenze del consumatore.

La f. di produzione, nella teoria microeconomica, descrive il legame tecnologico tra le quantità dei fattori di produzione utilizzati (input) e la quantità di prodotto ottenuto (output). Si ipotizza che l’impresa scelga gli input e l’output allo scopo di massimizzare il suo profitto, dati i prezzi degli input, la f. di domanda e il vincolo tecnologico rappresentato dalla f. di produzione. Esempi di f. di produzione sono la f. di Leontief (➔ Leontief, Wassily), detta anche ad angolo per indicare la rigida complementarità dei fattori di produzione (coefficienti fissi) quella di Cobb Douglas e quella a elasticità di sostituzione costante (o CES).

La f. di costo, nella teoria microeconomica, descrive il costo minimo che l’impresa deve sostenere per raggiungere un livello di output prefissato, dati i prezzi degli input. È il caso analogo della f. di spesa per il consumatore.

Esempi di funzioni statistiche

Si ricordano tra le f. statistiche quelle di distribuzione e di densità (➔ anche distribuzione di probabilità).

La f. generatrice dei momenti è la trasformata di Laplace di una distribuzione di probabilità (➔ momenti, funzione generatrice dei; Laplace, trasformata di).

La f. di verosimiglianza è quella che, dato un modello parametrico F={f(x;θ),θ∈Θ} (➔ modello statistico) e un campione {x₁,...,x_n} estratto da esso, a ogni parametro θ nell’insieme Θ associa la densità del campione osservato. Nel caso di campionamento casuale semplice si ha L(θ;x₁,...,x_n)=∏ⁿ_i=1f(x₁;θ)=f(x₁;θ)∙f(x₂;θ)...f(x_n;θ). Spesso, invece della f. di verosimiglianza, si utilizza il suo logaritmo naturale, detto f. di logverosimiglianza.

La f. gradiente (o f. score) è la f. (o il vettore di f.) definita dalle derivate prime della f. di logverosimiglianza rispetto al parametro (o ai parametri). Ha un ruolo fondamentale nel calcolo degli stimatori di massima verosimiglianza e nello studio delle loro proprietà asintotiche.

La f. di regressione, dati una variabile aleatoria Y e un vettore X di variabili aleatorie, descrive il comportamento della media condizionata di Y, dato l’evento {X=x}.