funzione polidroma

funzione polidroma

funzione polidroma o funzione plurivoca, in termini generali, corrispondenza che associa a uno stesso valore della variabile indipendente più valori della variabile dipendente. Si tratta dunque di una estensione del concetto di funzione, utilizzata quasi esclusivamente nel campo delle funzioni analitiche, e quindi di funzioni ƒ: C → C. Tuttavia oltre che nel campo delle funzioni di variabile complessa, il concetto di funzione polidroma trova applicazione nel campo delle funzioni di variabile reale. Un esempio di funzione polidroma è dato da

per il valore x = 1, y assume i quattro valori +1, −1, +i, −i.

Vi sono due tipi di funzioni polidrome: quelle che assumono un numero finito di valori e quelle che ne assumono un’infinità numerabile. Il prototipo delle prime è la funzione radice n-sima,

Scritto z nella forma trigonometrica z = ρ(cosθ + isinθ),

assume gli n valori distinti

(i valori si ripetono periodicamente per k ∈ Z), che si situano nel piano di → Argand-Gauss ai vertici di un poligono regolare di n lati avente il centro nell’origine. Se, partendo da un punto qualsiasi z₀ ≠ 0 e scelto un valore θ₀ dell’argomento di z₀, si percorre un circuito Γ che non contiene l’origine facendo variare θ con continuità, i valori di

a partire da una certa determinazione, variano anch’essi con continuità e, ritornati a z₀, la funzione assume lo stesso valore di prima; se invece Γ circonda l’origine ed è percorsa in verso antiorario, il valore di θ risulterà incrementato di 2π, e quindi la determinazione di

cambierà, risultando moltiplicata per il fattore

che è una radice n-esima dell’unità. Si dice che l’origine è un punto di diramazione algebrico per la funzione

e che Γ è un ciclo di polidromia. Dopo n giri, si ritorna alla determinazione precedente. Per descrivere la funzione

è utile ricorrere alla sua superficie di → Riemann, costituita da n copie (o rami) del piano di Argand-Gauss tagliate lungo il semiasse reale negativo θ = π e collegate l’una all’altra facendo combaciare il lembo del taglio della prima superficie corrispondente a π⁻ con quello corrispondente a π⁺ della seconda e così via, finché l’ultimo taglio della n-esima superficie viene incollato al taglio π⁺ della prima. Se l’immagine di

si muove lungo tale superficie, essa risulta continua (→ Puiseux, sviluppi di).

La più semplice funzione polidroma con infinite determinazioni è invece la funzione logaritmo, data da logz = lnρ + i(θ + 2kπ), i cui valori si distribuiscono, equidistanziati, su una retta del piano complesso. L’origine è in questo caso un punto di diramazione trascendente perché, dopo aver percorso come nel caso precedente il ciclo Γ che contiene l’origine, la funzione logz assume una determinazione che differisce per 2πi dalla precedente. La superficie di Riemann corrispondente ha ora infiniti rami. Questo tipo di singolarità si incontra quando si determina la funzione primitiva di una funzione analitica ƒ(z) che ammette poli semplici, ognuno dei quali diviene punto di diramazione trascendente per F(z), il cui valore, dopo aver percorso un ciclo Γ attorno al punto z₀, viene incrementato di 2πiR(z₀), dove R(z₀) è il residuo di ƒ(z) in z₀. Per esempio, la funzione F(z) = arctan(z) ammette due punti di diramazione trascendenti in ±i, che sono i poli della sua derivata

In particolare, logz è la primitiva di 1/z.