ELLITTICHE, FUNZIONI

ELLITTICHE, FUNZIONI

. Fra gl'integrali abeliani (v. abeliano) si dicono ellittici gl'integrali della forma

dove Φ denota una funzione razionale dei suoi due argomenti e Q un polinomio di 3° o 4° grado in x (l'un caso essendo facilmente riducibile all'altro). La ragione del nome dipende dal fatto che ad integrali di questo tipo si riduce la lunghezza di un arco di ellisse (v. coniche), come pure di iperbole, di cicloide, di lemniscata, ecc. Questi integrali definiscono, in tutto il piano complesso, altrettante funzioni trascendenti, non esprimibili per mezzo di funzioni elementari; e A. M. Legendre mostrò che essi sono riducibili a tre forme tipiche (integrali ellittici di 1ª, 2ª, 3ª specie). Si tratta di funzioni che, considerate nell'intero piano complesso, sono a più valori o polidrome. Ma se s'inverte l'integrale ellittico di 1ª specie, cioè se si considera l'estremo superiore x come funzione del valore dell'integrale, si ottiene una funzione ad un sol valore in tutto il piano, che ammette a distanza finita sole singolarità polari (punti di infinito di ordine intero) ed è dotata di una doppia periodicità. È questo il primo, tipico esempio di funzione ellittica. Oggi si dicono funzioni ellittiche tutte le funzioni analitiche (v. funzione) a un sol valore in tutto il piano complesso, che hanno una doppia periodicità e a distanza finita ammettono sole singolarità polari. Le funzioni goniometriche si possono considerare come casi limiti di degenerazione di funzioni ellittiche. Per più ampî sviluppi sull'argomento v. funzione: Funzioni notevoli, n. 46.