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SIMMETRICHE, FUNZIONI

di Fabio Conforto - Enciclopedia Italiana (1936)
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SIMMETRICHE, FUNZIONI

Fabio Conforto

Si chiamano, in matematica e in specie nell'analisi algebrica, funzioni simmetriche le funzioni, di un qualsivoglia numero di variabili α1, α2, ..., αn, le quali godono della proprietà di non mutare di forma, quando le variabili α1, α2, ..., αn vengano sottoposte a una sostituzione qualsivoglia.

Sono esempî semplici di funzioni simmetriche di due variabili le seguenti:

Se infatti in queste funzioni si cambia α1 con α2 e viceversa, eseguendo così quella sostituzione che nel caso di due variabili è l'unica distinta dalla permutazione identica, in cui α1 ed α2 vengono mutati in sé stessi, si ha che (qualunque sia il valore numerico di α1 ed α2) è:

I seguenti sono invece esempî di funzioni simmetriche di tre variabili:

In generale, date n variabili α1, α2, ... αn, la loro somma, la somma dei loro prodotti a due a due, a tre a tre,... e infine il loro prodotto forniscono altrettanti esempî di funzioni simmetriche, le quali si chiamano le funzioni simmetriche elementari delle α.

La teoria delle funzioni simmetriche ha particolare importanza nell'algebra in virtù del seguente teorema fondamentale: se è data l'equazione algebrica di grado n (a eoefficienti reali o complessi):

e se α1, α2 ... αn sono le sue n radici (reali o complesse, distinte o in parte coincidenti), ogni funzione razionale dei coefficienti p1, p2, ..., pn è una funzione razionale e simmetrica delle radici α1, α2, ... αn; reciprocamente, ogni funzione razionale e simmetrica delle radici α1, α2, ... αn si esprime in funzione razionale dei coefficienti p1, p2, ... pn.

Sono particolarmente importanti alcuni casi di questo teorema, che sono usati, nei trattati di algebra, per la dimostrazione del caso generale del teorema stesso. Scrivendo che i coefficienti dell'equazione (1) sono identici a quelli della medesima equazione scritta sotto la forma:

si ottengono immediatamente le formole del Newton, che esprimono le funzioni simmetriche elementari delle α in funzione razionale dei coefficienti. Indicando con Σα1, Σα1α2, Σα1α2α3 ... Σα1α2 ... αh, ... le somme dei prodotti delle n radici α1, α2, ..., αn ad una ad una, a due a due, a tre a tre, ..., ad h ad h, ... si ha precisamente (F. Viète, 1591; A. Girard, 1629):

Se l'equazione algebrica, anziché sotto la forma (1), è scritta

basta sostituire nelle formule precedenti al posto di p1, p2, ..., pn, i rapporti a1/a0, a2/a0, ... an/a0 rispettivamente.

Altre importanti funzioni simmetriche delle radici sono le somme di potenze simili di esse. Posto

le somme successive s0, s1, s2, ..., quando l'equazione sia scritta sotto la forma (1), si possono calcolare per mezzo delle formule (I. Newton, 1707):

da cui si ricava per i primi casi:

Per determinare la quantità sh per h maggiore di n −1, si ha la formula ricorrente (m = o, 1, 2, 3, ...):

Per ulteriori notizie, v. algebra, n. 43.

Vedi anche
equazione matematica 1. Definizioni Si chiama equazione un’uguaglianza tra due espressioni contenenti una o più variabili ovvero una o più funzioni o anche enti di natura più generale ( incognite dell’equazione); se essa è soddisfatta, qualunque sia la determinazione delle variabili o delle funzioni o degli enti ... Leopold Kronecker Kronecker ‹króonekër›, Leopold. - Matematico (Liegnitz 1823 - Berlino 1891); discepolo di E. E. Kummer e di G. Dirichlet; prof. nell'univ. di Berlino (1883), direttore del Journal für reine und angewandte Mathematik (1881). Socio straniero dei Lincei (1883). Fu uno dei più insigni algebristi del sec. ... gruppo simplettico In matematica, il gruppo costituito dalle matrici simplettico, gruppo di ordine 2n (simbolo Sp2n). Una matrice A di ordine 2n si chiama simplettico, gruppo se risulta A*J=JA–1, ove J è la matrice di ordine 2n formata da n blocchi (01 –10) situati lungo la diagonale principale e A*, A–1 sono rispettivamente ... algebra Uno dei rami fondamentali delle scienze matematiche: in senso lato l’algebra studia le operazioni, definite in un insieme, che godono di proprietà analoghe a quelle delle ordinarie operazioni dell’aritmetica. Con significato specifico è sinonimo di sistema ipercomplesso. ● La parola al-giabr è usata ...
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Vocabolario
simmetrìa
simmetria simmetrìa s. f. [dal gr. συμμετρία, comp. di σύν «con» e μέτρον «misura»]. – 1. Ordinata distribuzione delle parti di un oggetto (di un edificio, di una struttura, di un’opera d’arte, ecc.) tale che si possa individuare un elemento...
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