Fuzzy

Fuzzy

L'aggettivo fuzzy − che potrebbe essere reso in italiano con sfocato o sfumato ma solitamente non viene tradotto − è usualmente associato a sostantivi quali insieme, logica, sistema.

L'aspetto più stimolante di tutto ciò che riguarda la logica (gli insiemi o i sistemi) fuzzy riguarda sostanzialmente l'idea generale. Per questa ragione non faremo cenno a risultati tecnici specifici a quello che, nel corso degli ultimi quarant'anni, si è strutturato come un campo autonomo di indagine con svariate applicazioni soprattutto in settori dell'ingegneria e dell'elaborazione dell'informazione, per i quali esiste una vastissima letteratura.

La teoria di Lotfi A. Zadeh può essere vista come un modo di trattare i predicati vaghi, che hanno sempre posto molti problemi a causa della loro elusività e che hanno spinto Gottlob Frege a espungerli dall'orizzonte della logica. La proposta di Zadeh ha sollevato, in effetti, alcune questioni interessanti dal punto di vista fondazionale. Un problema metodologicamente significativo è quello della rappresentazione degli insiemi fuzzy in termini matematici tradizionali, così come il problema del rapporto esistente tra la fuzziness e la probabilità, nonché il problema di 'misurare' il livello di fuzziness presente in una data descrizione.

Per comprendere lo sviluppo impetuoso, le critiche e le polemiche che hanno accompagnato la proposta di Zadeh è necessario ricordare il terreno culturale in cui tale idea è sorta. Egli era un ingegnere, un teorico dei sistemi che aveva ottenuto risultati che gli consentivano di porre con autorevolezza questioni di fondo alla comunità scientifica, anche se il linguaggio usato poteva apparire bizzarro. La questione da lui maggiormente sentita era quella della crescente distanza tra l'accuratezza dei metodi e degli strumenti matematici e la natura sfuggente, la scivolosità dei sistemi che si volevano modellare. Il rigore e la precisione formale, che costituivano il loro merito, era proprio ciò che impediva un uso efficace di alcuni raffinati modelli e tecniche in problemi nei quali fin dall'inizio erano presenti elementi di incertezza e imprecisione intrinseci alla definizione stessa del problema e, per queste ragioni, non catturabili (e neutralizzabili) immediatamente mediante le tradizionali tecniche statistiche o probabilistiche.

Il mondo dell'ingegneria così come quello dei "sistemi biologici" − osserva Zadeh − non può essere efficacemente descritto dalla "matematica convenzionale, dei punti, funzioni, insiemi, misure di probabilità definite in modo preciso" ed è per questo che vi è "bisogno di un tipo di matematica radicalmente diversa, la matematica delle quantità sfocate (fuzzy) o nebulose (cloudy) che non si possono descrivere in termini di distribuzioni di probabilità".

Ma l'articolo che segna l'atto di nascita ufficiale degli insiemi fuzzy apparve tre anni dopo sulla rivista "Information and Control". In esso si possono già individuare le idee base che avrebbero guidato Zadeh nel corso dei decenni successivi: la nozione di insieme fuzzy come più generale di quella di insieme della teoria ordinaria e con un maggiore campo di applicabilità; quella di fuzziness come diversa da quella di probabilità (e del tutto non statistica); la convinzione che tale contesto concettuale fornisca uno schema naturale per affrontare problemi nei quali la sorgente dell'imprecisione è appunto non statistica, utile per trovare risultati adeguati per applicazioni specifiche.

Una lettura dell'introduzione generale di Zadeh agli "Handbook of fuzzy sets series" permette di valutare il suo punto di vista quarant'anni dopo. Ciò che maggiormente colpisce è la sua capacità di proporre sempre nuove idee estremamente stimolanti e contemporaneamente destinate a lasciare perplesso un ricercatore abituato a una metodologia scientifica tradizionale. In questa sua introduzione una particolare attenzione è rivolta al ruolo della percezione nel ragionamento umano e al problema delle limitazioni di fondo delle abilità cognitive dell'uomo a risolvere dettagli ed elaborare l'informazione.

Possiamo intravedere una notevole continuità metodologica tra l'impostazione iniziale e le sue convinzioni attuali: i punti più significativi di cambiamento si possono forse individuare in un ampliamento delle ambizioni del suo programma, che ora si configura come una sofisticata teoria fenomenologica degli aspetti percettivi e comportamentali dell'uomo, ambizione temperata però dal riconoscimento che la sua impostazione è complementare alle teorie esistenti e non alternativa a esse.

I precursori

Zadeh aveva cominciato ad avvicinarsi all'idea di in alcune considerazioni pubblicate a partire dall'inizio degli anni Sessanta del secolo scorso.

In un contesto diverso e con una differente terminologia, un'anticipazione dell'idea di fondo si può rintracciare in alcune note di Karl Menger. Egli si muove in un contesto probabilistico, sia pure assolutamente non dogmatico, ma sviluppa idee molto vicine a quelle di Zadeh oltre a introdurre il termine è il corrispettivo francese di insieme fuzzy e che, in modo naturale, verrà successivamente usato per denotare gli sviluppi della teoria di Zadeh.

Un interessante caso a sé è rappresentato dalle indagini di Dieter Klaua (e della sua scuola), il cui primo lavoro appare un anno dopo quello di Zadeh. Pur trattandosi fondamentalmente della stessa idea di base − elaborata in modo del tutto indipendente da Klaua, che lavorava nella Repubblica Democratica Tedesca − il contesto concettuale in cui operavano i due studiosi era totalmente diverso. La motivazione di fondo di Klaua era puramente teorica: ciò che egli intendeva costruire era una teoria degli insiemi a più valori, che in qualche modo stesse alla logica a più valori di Jan Lukasiewicz come la teoria degli insiemi tradizionale sta alla logica a due valori. Una breve ricostruzione del lavoro di Klaua e del suo gruppo in questi primi anni (prima che gli scambi di informazione facessero intrecciare i due percorsi) è stata efficacemente delineata da Sigfried Gottwald.

Infine, va ricordata anche la definizione di profilo di consistenza data da Max Black nel 1937.

Aspetti sociologici

Resta il problema di capire perché tra tutti i tentativi precedenti, quello di Zadeh sia stato l'unico ad avere un forte e subitaneo impatto da un punto di vista 'sociologico', riuscendo a coinvolgere in un breve lasso di tempo − sia pure tra fortissimi contrasti e critiche − un numero crescente di ricercatori. Alcuni hanno visto nel suo punto di vista metodologico una specie di ponte tra l'impostazione propria della tradizione scientifica in senso stretto e quella delle scienze umanistiche e sociali. Altri − come per esempio Rudolf Kalman − hanno criticato l'impostazione di Zadeh sottolineando i rischi di un possibile allontanamento dai canoni di rigore della tradizione scientifica.

Al di là dei contrastanti giudizi, tra le ragioni principali del subitaneo successo della proposta di Zadeh può esservi stato il fatto che, di tutti i vari tentativi simili, è stata quella che più coraggiosamente si è allontanata dalla tradizione classica dell'uso della matematica, senza preoccuparsi troppo delle conseguenze che le sue scelte avrebbero avuto e delle eventuali critiche. Nella sua visione, la matematizzazione 'dal volto umano' da lui proposta sarebbe stata più adatta e pronta a dare una descrizione fenomenologica della realtà.

D'altra parte, è stata anche l'unica proposta fortemente motivata da ragioni applicative, più esattamente dall'inadeguatezza dei linguaggi matematici tradizionali a rappresentare e risolvere in modo soddisfacente problemi concreti di un alto grado di complessità. Uno dei suggerimenti più innovativi dati da Zadeh, infatti, è stato quello di rendere più semplice la descrizione di sistemi molto complessi proprio utilizzando fin dall'inizio un linguaggio meno idealizzato, dal momento che uno dei problemi consisteva proprio nello scarto tra le situazioni estremamente flessibili del mondo reale e la precisione del linguaggio matematico tradizionale.

Aspetti logici

Lo sviluppo della teoria degli insiemi fuzzy ha contribuito a riscoprire l'importanza delle − in particolare quelle a infiniti valori − di Lukasiewicz, rimaste a lungo confinate tra una piccola nicchia di ricercatori.

La teoria di Zadeh ha contribuito a rilanciarle e ad arricchirle, stimolando sviluppi nuovi e imprevisti motivati da suggerimenti e contributi provenienti dai più diversi settori di ricerca. L'apporto maggiore è stato dato dall'introduzione di , i più interessanti dei quali utilizzano strumenti tecnici e risultati della teoria degli spazi metrici probabilistici (uso delle T-norme) a loro volta sviluppo di idee di Menger.

È il caso di osservare che lo stesso Zadeh ha sempre sottolineato come questi sviluppi puramente formali non corrispondano a quanto riteneva − e continua a ritenere − essere l'aspetto principale del suo programma di innovazione: esso, per la parte logica, è più interessato a rafforzare il legame della teoria con proprietà di base in uso nel linguaggio quotidiano e con procedure di ragionamento proprie del senso comune.

D'altra parte, questi imprevisti sviluppi delle logiche a più valori − che ricorrono anche a tecniche della matematica del continuo nel trattare problemi squisitamente logici − costituiscono una sorta di convalida a posteriori della correttezza della convinzione di John von Neumann: A suo parere riuscire a sfuggire alla costrizione dell'opposizione si/no, tutto/nulla avrebbe permesso di introdurre e usare risultati e tecniche dell'analisi nel campo della logica, rendendo possibile sia una maggiore flessibilità degli strumenti logici sia una più ampia applicazione a campi differenti.

Misurare il livello di fuzziness

Se si accetta il fatto che le teorie fuzzy siano descrizioni matematicamente significative di sistemi di un alto livello di complessità, sorge il problema di vedere se e come sia possibile controllare e misurare il livello di fuzziness della descrizione presa in esame. E questo porta al problema delle .

Una misura di fuzziness h è semplicemente un funzionale h: ✄(X)→ℝ⁺, dove ℝ⁺ denota i numeri reali non negativi, che soddisfa alcune condizioni che dipendono dal sistema considerato.

Gli assiomi base sono i seguenti :

a) h(f)=0 se e solo se f è una funzione caratteristica classica.

b) h(f) raggiunge il suo valore massimo se e solo se f=f′.

c) h è isotona rispetto all'ordine ≤′, ovvero se f≤′g allora h(f)≤h(g).

Possono inoltre essere introdotti altri assiomi da imporre in situazioni specifiche. Bruce R. Ebanks ha effettuato uno studio completo del problema, presentando tutte le misure di fuzziness che soddisfano opportuni insiemi di assiomi.

Il problema di misurare quanto un insieme fuzzy sia lontano da una funzione caratteristica classica è stato affrontato anche in altri modi. Un'idea stimolante dovuta a Ronald R. Yager propone di misurare la distanza o distinzione tra un insieme fuzzy e il suo negato usando la nozione reticolare di betweeness. Il nuovo punto di partenza di Yager, però, non conduce fuori dallo schema assiomatico delineato sopra, pur arricchendolo di una interessante visualizzazione: in tutti i casi in cui è possibile definire la misura di Yager allora è anche possibile definire una misura di fuzziness nel senso prima descritto.

Vaghezza, fuzziness e matematica

Quali sono i rapporti che intercorrono tra fuzziness, vaghezza e matematica? In particolare, la nozione di insieme fuzzy permette di formalizzare adeguatamente quella di ? D'altra parte, è invece possibile riuscire a regimentare la nozione di predicato vago (mantenendo però di essa sfumature sottili e caratteristiche significative) mediante il linguaggio tradizionale della matematica senza sottoporlo a modifiche non banali, se non proprio radicali? Jiři Bečvář ha fornito alcune considerazioni innovative sul rapporto tra vaghezza e matematica, e Petr Vopenka ha proposto una teoria alternativa degli insiemi nel cui ambito è possibile ottenere una differente formalizzazione dei predicati vaghi.

È banale osservare che in se stesse le funzioni caratteristiche generalizzate (che rappresentano i sottoinsiemi fuzzy di un universo di discorso fissato) sono realmente una generalizzazione delle funzioni caratteristiche classiche.

Ma la generalizzazione delle funzioni caratteristiche sembra in realtà troppo semplice per riuscire a carpire aspetti essenziali di una nozione estremamente sottile e sfuggente come la vaghezza, anche perché sembra aver miracolosamente funzionato senza aver costretto a compiere alcun cambiamento sostanziale nei settori coinvolti, né di tipo tecnico né di tipo concettuale.

Si ha l'impressione che l'impostazione data dalla teoria degli insiemi fuzzy al problema della abbia ottenuto vari risultati riuscendo a sfuggire molte difficoltà con le quali avrebbe dovuto necessariamente scontrarsi. Ma, a ben riflettere, tali difficoltà avrebbero dovuto riguardare essenzialmente il livello che potremmo definire dei presupposti concettuali delle teorie stesse. Pur essendo possibili (e da alcuni auspicate) sue diverse fondazioni, tutta la matematica così come è venuta storicamente configurandosi è esprimibile nel linguaggio della teoria classica degli insiemi. Come per esempio Paul Halmos affermava che il concetto matematico di insieme può essere usato come il fondamento di tutta la matematica conosciuta. La nozione di vaghezza sembra riferirsi proprio ad alcuni aspetti che le idealizzazioni insiemistiche classiche hanno espunto, e che invece sono presenti in maniera massiccia nel linguaggio naturale. Se conveniamo con Ludwig Wittgenstein che la vaghezza è una caratteristica essenziale del linguaggio, allora una teoria che carpisca realmente aspetti essenziali di essa, una teoria astratta, formale dei predicati vaghi non dovrebbe essere integralmente riducibile alla teoria degli insiemi così come si è storicamente affermata e che, seguendo Antonin Sochor, indicheremo come cantoriana. La ragione di ciò non risiederebbe in specifiche limitazioni tecniche di questa o di quella teoria, ma proprio nel fatto che i presupposti concettuali di una sono più ampi − anche se attualmente più nebulosi e sfuggenti − di quelli dell'altra e quindi non riducibili a essi. Da questo punto di vista, quindi, le funzioni caratteristiche generalizzate sarebbero ciò che è possibile proiettare in un universo cantoriano di entità più complesse, che non si possono rappresentare integralmente in quell'universo. Questa sensazione è rafforzata da un risultato di Ales Pultr, il quale mostra che "parlando alla buona, gli insiemi fuzzy, forniti di equivalenze fuzzy, possono essere adeguatamente rappresentati dalle sole equivalenze fuzzy. In questa rappresentazione, gli insiemi fuzzy appaiono come coppie (X′,X″) di normali sottoinsiemi di un certo universo con una sorta di distanza (che proviene dalle equivalenze fuzzy), e si opera su di essi in modo tradizionale".

Se tutto ciò che è possibile descrivere mediante il linguaggio degli insiemi fuzzy può essere ricondotto a concetti rigorosamente classici come quello di distanza, allora dobbiamo concludere che tale nozione, se ha realmente colto alcuni aspetti non banali dei predicati vaghi, li ha anche integralmente filtrati attraverso il linguaggio tradizionale della matematica.

Il fatto di avere utilizzato una visualizzazione particolarmente allettante ha indotto a credere di essere riusciti a oltrepassare i presupposti concettuali della impostazione cantoriana.

Il risultato di Pultr, però, è ben lontano dal negare l'utilità dell'impostazione seguita nella teoria degli insiemi fuzzy; al contrario esso la rafforza, mostrando che esiste un teorema di rappresentazione facente uso di nozioni matematiche totalmente tradizionali. Modelli basati sulla teoria dei sottoinsiemi fuzzy (o che fanno uso di tale teoria per alcuni aspetti) possono essere visti come rappresentazioni rigorose di modelli del tipo descritto da Pultr; allo stesso tempo, la teoria dei sottoinsiemi fuzzy, attraente e semplice dal punto di vista intuitivo, mostra che il suo ruolo euristico non può essere facilmente sostituito da altre impostazioni e modi di affrontare questo tipo di problemi.

Ciò che principalmente caratterizza i predicati vaghi è proprio il fatto che la loro struttura, l'informazione da essi trasportata, è estremamente complessa e non facilmente riducibile a nozioni puramente estensionali. Potremmo dire che siamo in grado di astrarre da tutto, tranne che dalla pura relazione di appartenenza. Un insieme fuzzy sarebbe quindi una prima approssimazione utile alla rappresentazione di un predicato vago, in quanto arricchirebbe un nucleo puramente estensionale con gradi di appartenenza. Per usare la terminologia di Josep-Maria Terricabras e Enric Trillas, i sottoinsiemi fuzzy possono essere visti come classi di estensionalità di predicati vaghi, cioè rappresentano il massimo che possiamo ottenere mantenendo contemporaneamente un orizzonte cantoriano e una qualche forma di estensionalità. Questo spiega, a nostro avviso, l'estrema efficacia del linguaggio dei sottoinsiemi fuzzy in molti campi innovativi, nonostante la possibilità in linea di principio di applicare una strategia 'riduzionista' che trasformi tutto in un linguaggio di tipo tradizionale.

Per quanto riguarda, infine, il problema del rapporto tra fuzziness e probabilità, il dibattito non si presenta più in termini di confronto tra posizioni irriducibili come avveniva trent'anni fa, ma è da considerare risolto nel contesto delle probabilità condizionate coerenti grazie al lavoro di Giulianella Coletti e Romano Scozzafava. Oggi si può dire che Zadeh aveva ragione nel sostenere che la fuzziness, come da lui proposta, non è direttamente riconducibile a valutazioni di tipo statistico; aveva invece torto se pensava che la nozione da lui introdotta fosse irriducibile a nozioni probabilistiche in generale.

Conclusioni

L'impatto delle idee di Zadeh non può che essere considerato positivo. Esse sono state in grado di innescare innovazioni concettuali molto forti e profonde, unite a sperimentazioni effettuate in modo naturale in diversi settori applicativi, riuscendo a ridare vitalità e attualità a idee e considerazioni rimaste fino ad allora poco più che pure curiosità da eruditi.

Le idee di Zadeh, e il suo modo di presentarle, si sono dimostrate abbastanza efficaci e flessibili da permettere un dialogo costruttivo con altre teorie. I contrasti a volte violenti da esse suscitati hanno portato a esaminare in modo critico molti dei problemi posti, ma sia pure lentamente hanno condotto a progressi su alcune questioni di fondo. La possibilità di una completa rilettura dei risultati degli insiemi fuzzy mediante nozioni matematiche tradizionali come quella di distanza, nonché una chiarificazione soddisfacente e definitiva dei rapporti tra le nozioni di fuzziness e di probabilità si sono rivelate essere le garanzie migliori per poter esprimere al meglio tutte le potenzialità insite nella piccola grande idea di fuzzy.

La nozione di insieme fuzzy, come tutte le innovazioni vere, grazie alla semplicità della presentazione fattane da Zadeh si è alla fine affermata come classica, destinata a continuare a svolgere un ruolo decisivo nel territorio tra le idee informali e la costruzione di nuovi costrutti formali che non vogliono perdere il rigore a cui la tradizione scientifica ci ha abituati.

Bibliografia

Alsina 1983: Alsina, Claudi - Trillas, Enric - Valverde, Llorenç, On some logical connectives for fuzzy sets theory, "Journal of mathematical analysis and applications", 93, 1983, pp. 15-26.

Becvár 1984: Becvár, Jiri, Notes on vagueness and mathematics, in: Aspects of vagueness, edited by Heinz K. Skala, Settimo Termini, Enric Trillas, Dordrecht-Boston, Reidel, 1984, pp. 1-11.

Black 1937: Black, Max, Vagueness, "Philosophy of science", 4, 1937, pp. 427-455.

Coletti, Scozzafava 1999: Coletti, Giulianella - Scozzafava, Romano, Conditional subjective probability and fuzzy the-ory, in: 18th international conference of the North American fuzzy information processing society - NAFIPS, edited by Rajesh N. Davé, Piscataway (N.J.), IEEE Service center, 1999, pp. 77-80.

Coletti, Scozzafava 2001: Coletti, Giulianella - Scozzafava, Romano, Fuzzy sets as conditional probabilities: which meaningful operations can be defined?, in: Joint 9th IFSA world congress and 20th NAFIPS international conference, Vancouver, IEEE, 2001, pp. 1892-1895.

De Luca, Termini 1972: De Luca, Aldo - Termini, Settimo, A definition of a non probabilistic entropy in the setting of fuzzy sets theory, "Information and control", 20, 1972, pp. 301-312 (rist. in: Readings in fuzzy sets for intelligent systems, edited by Didier Dubois, Henri Prade, Ronald R. Yager, San Mateo (Cal.), Morgan Kaufmann, 1993, pp. 197-202).

De Luca, Termini 1988: De Luca, Aldo - Termini, Settimo, Entropy measures in fuzzy set theory, in: Systems and control encyclopedia, edited by Madan Singh, Oxford, Pergamon, 1988, pp. 1467-1473.

Dubois, Prade 2000: Fundamentals of fuzzy sets, in: Handbook of fuzzy sets series, edited by Didier Dubois, Henri Prade, Boston-London, Kluwer Academic, 2000.

Ebanks 1983: Ebanks, Bruce R., On measures of fuzziness and their representations, "Journal of mathematical analysis and applications", 94, 1983, pp. 24-37.

Gaines 1976: Gaines, Brian R., Foundations of fuzzy reasoning, "International journal of man-machine studies", 8, 1976, pp. 623-668.

Goguen 1967: Goguen, Joseph A., L-fuzzy sets, "Journal of mathematical analysis and applications", 18, 1967, pp. 145-174.

Gottwald 1984: Gottwald, Siegfried, Fuzzy set theory: some aspects of the early development, in: Aspects of vagueness, edited by Heinz K. Skala, Settimo Termini, Enric Trillas, Dordrecht-Boston, Reidel, 1984, pp. 13-30.

Hajek 1998: Hajek, Petr, Metamathematics of fuzzy logic, Dordrecht-Boston, Kluwer, 1998.

Menger 1951: Menger, Karl, Ensembles flous et fonctions aléatoires, "Comptes rendus de l'Académie des Sciences", 232, 1951, pp. 2001-2003.

Menger 1951: Menger, Karl, Probabilistic theory of relations, "Proceedings of the National Academy of Sciences USA", 37, 1951, pp. 178-180.

Pultr 1984: Pultr, Ales, Fuzziness and fuzzy equality, in: Aspects of vagueness, edited by Heinz K. Skala, Settimo Termini, Enric Trillas, Dordrecht-Boston, Reidel, 1984, pp. 119-135 (rist. da: "Commentationes mathematicae Universitatis Carolinae", 23, 1983).

Skala 1984: Aspects of vagueness, edited by Heinz K. Skala, Settimo Termini, Enric Trillas, Dordrecht-Boston, Reidel, 1984.

Sochor 1984: Sochor, Antonin, The A.S.T. and its approach to Cantor set theory, in: Aspects of vagueness, edited by Heinz K. Skala, Settimo Termini, Enric Trillas, Dordrecht-Boston, Reidel, 1984, pp. 161-203.

Termini 2002: Termini, Settimo, On some vagaries of vagueness and information, "Annals of mathematics and artificial intelligence", 35, 2002, pp. 343-355.

Terricabras, Trillas 1988: Terricabras, Josep-Maria-Trillas, Enric, Some remarks on vague predicates, "Theoria", 10, 1988, pp. 1-12.

Van Heijenoort 1985: van Heijenoort, Jean van, Frege and vagueness, in: Selected essays, Napoli, Bibliopolis, 1985, pp. 85-97.

Von Neumann 1951: von Neumann, John, The general and logical theory of automata, in: Cerebral mechanisms in behaviour. The Hixon symposium, edited by Lloyd A. Jeffress, New York, Wiley, 1951 (rist. in: Collected works of John von Neumann, New York, Pergamon, 1961-1963, pp. 288-328).

Von Neumann 1956: von Neumann, John, Probabilistic logi-cs and the synthesis of reliable organisms from unreliable components, in: Automata studies, edited by Claude E. Shannon, John McCarthy, Princeton University Press, 1956 (rist. in: Collected works of John von Neumann, New York, Pergamon, 1961-1963, pp. 329-378).

Von Neumann 1961: von Neumann, John, Design of computers, theory of automata and numerical analysis, in: Collected works of John von Neumann, V, New York, Pergamon, 1961.

Vopenka 1979: Vopenka, Petr, Mathematics in the alternative set theory, Leipzig, Teubner, 1979.

Yager 1980: Yager, Ronald R., On the measures of fuzziness and negation. II. Lattices, "Information and control", 44, 1980, pp. 236-260.

Yager 1987: Fuzzy sets and applications: selected papers by L.A. Zadeh, edited by Ronald R. Yager, New York, Wiley, 1987.

Zadeh 1962: Zadeh, Lotfi A., From circuit theory to system theory, "Proceedings of IRE", 50, 1962, pp. 856-865.

Zadeh 1965: Zadeh, Lotfi A., Fuzzy sets, "Information and control", 8, 1965, pp. 338-353.