generatore
generatore
generatore elemento di un sottoinsieme di un insieme dato A (dotato di un’opportuna struttura algebrica) che genera l’insieme A stesso in un senso chiarito dalla struttura algebrica di A. Tale sottoinsieme è appunto detto insieme di generatori per A. Se G è un gruppo, un insieme di generatori per G è un sottoinsieme S di G tale che ogni elemento di G è ottenibile applicando l’operazione di G agli elementi di S o ai loro inversi, opportunamente composti. Se esiste un insieme di generatori costituito da un solo elemento, allora G è detto ciclico. Sono per esempio ciclici (come gruppi additivi, generati dall’unità) il gruppo Z dei numeri interi e i gruppi Zn delle classi resto modulo un intero n. Sono invece esempi di gruppi generati da due (e non uno) elementi il gruppo di Klein e i gruppi diedrali. Se A è un anello e se / è un suo ideale, allora un insieme di generatori per / è un sottoinsieme S di I tale che ogni elemento di I è scrivibile come somma di elementi di S, eventualmente moltiplicati per un elemento di A. Per esempio, se l’anello considerato è quello Z dei numeri interi e se l’ideale considerato è quello costituito dai multipli di un fissato intero n, allora un insieme di generatori è l’insieme costituito dal solo n: un ideale generato da un solo elemento è detto principale. Se V è uno spazio vettoriale su un campo K (o più in generale un modulo su un anello A), allora un insieme di generatori è un sottoinsieme S di V tale che ogni elemento di V è scrivibile come somma di elementi di S, eventualmente moltiplicati per un elemento di K (o di A). Nel caso di uno spazio vettoriale, un insieme di generatori i cui elementi siano linearmente indipendenti è detto una base per V. Ogniqualvolta l’insieme S può essere scelto finito, allora il gruppo (rispettivamente l'ideale, lo spazio vettoriale, il modulo) è detto finitamente generato.