geometria analitica

geometria analitica

Metodo che permette di tradurre sistematicamente problemi e questioni geometriche in problemi o questioni algebriche o analitiche, e viceversa, in modo da poter risolvere problemi geometrici con i mezzi dell’analisi, ovvero problemi analitici con gli strumenti della geometria. Così, per es., il problema di determinare il punto comune a due rette su di un piano equivale a quello di determinare la soluzione di un sistema di due equazioni lineari in due incognite. Lo scopo della g. a. si raggiunge con l’introduzione di un sistema di coordinate (per cui essa prende anche il nome di metodo delle coordinate, o, dal nome del suo ideatore, metodo di Cartesio), cioè associando a ciascun ente geometrico di una certa famiglia un insieme ordinato di numeri, che siano individuati da quell’ente e che a loro volta lo individuino. Per es., un punto in un piano è individuato da due numeri e la sua distanza dall’origine da due rette ortogonali prefissate, dette coordinate cartesiane nel piano. La suddivisione usuale della g. a. è la seguente: g. sulla retta, g. nel piano, g. nello spazio e negli iperspazi. Gli argomenti tradizionali della g. a. piana sono: proprietà proiettive, proprietà affini, proprietà metriche del piano e delle curve (algebriche o no), e in particolare la teoria delle coniche; nello spazio, proprietà proiettive, affini, metriche dello spazio e delle curve e superfici, e in particolare la teoria delle quadriche e delle superfici rigate.

Impieghi della geometria analitica nella teoria economica

La teoria economica utilizza molti strumenti e risultati della g. a., per es. nella teoria del consumatore e dell’impresa e nell’analisi dell’equilibrio economico, parziale e generale. Per ragioni sia analitiche sia teoriche, è conveniente rappresentare l’insieme dei beni e servizi, prodotti e consumati, in un’economia come un vettore di variabili reali che prende valori in un iperspazio geometrico. Per es., il problema del consumo, nel caso di due beni, è risolto graficamente nel punto di tangenza tra la retta di bilancio (➔ bilancio, vincolo di) e una curva di indifferenza (➔ curva) del consumatore, nel piano che misura lungo le coordinate le quantità dei due beni. Un altro esempio è costituito dalla scatola di Edgeworth (➔ Edgeworth, scatola di), che offre un’analisi grafica delle allocazioni efficienti e dell’equilibrio competitivo in un’economia con due agenti e due beni. Ancora più rilevante, dal punto di vista analitico, è l’utilizzo del teorema di g. a. di separazione degli iperpiani nella dimostrazione del secondo teorema del benessere (➔ benessere, teoremi dell’economia del): esso infatti assicura l’esistenza di un vettore di prezzi che supporti, in equilibrio, una qualsiasi allocazione Pareto efficiente.