geometria

geometria

geometrìa [Der. del gr. gÝeometría, comp. di G✄è "Terra" e -metría "misurazione della Terra" (intesa soprattutto come porzioni di superficie terrestre), e dunque propr. "agrimensura", come in effetti tale scienza nacque circa intorno al 1000 a.C. nel delta del Nilo per ridelimitare i terreni a scopi fiscali dopo ogni inondazione] [ALG] In senso ampio e generico, ramo della matematica che studia gli spazi e le figure spaziali: v. geometria. Sono ricordate qui di seguito alcune discipline geometriche, rinviando per altre al termine di qualificazione. ◆ [FTC] In molte discipline, spec. applicate, la disposizione spaziale degli elementi di un dispositivo, in relazione alla quale si parla di buona, cattiva, ecc. g.: per es., la g. di un reattore nucleare è la disposizione relativa e il dimensionamento relativo delle parti principali (combustibile, moderatore, riflettore, scambiatore di calore), che contribuiscono a determinarne il rendimento. ◆ [ALG] G. algebrica: la branca della matematica che tende a unificare la g. e l'algebra; intuitivamente, è lo studio delle proprietà geometriche delle soluzioni delle equazioni algebriche. In tempi recenti, le ricerche di g. algebrica hanno contribuito ad affinare strumenti matematici moderni e complessi, quali la teoria degli schemi (v. varietà algebrica: VI 476 e) e la topologia algebrica. ◆ [ALG] G. analitica: metodo che permette di tradurre problemi e questioni geometriche in problemi o questioni algebriche o analitiche o viceversa, in modo da poter risolvere problemi geometrici con i mezzi del-l'analisi, ovvero problemi analitici con i mezzi della g.; così, per es., il problema di determinare il punto comune a due rette del piano equivale a quello di determinare la soluzione di un sistema di due equazioni lineari in due incognite. Lo scopo della g. analitica si raggiunge con l'introduzione di un sistema di coordinate (per cui essa prende anche nome di metodo delle coordinate, o, dal nome del suo ideatore, metodo di Cartesio), cioè associando a ciascun ente geometrico di una certa famiglia un insieme ordinato di numeri, che siano individuati da quell'ente e che a loro volta lo individuino. Per es., un punto in un piano è individuato da due numeri, le sue distanze da due rette incidenti, generalm. ortogonali, prefissate (coordinate cartesiane nel piano). La g. analitica si suddivide usualmente in g. sulla retta, g. nel piano, g. nello spazio e g. negli iperspazi. Argomenti tradizionali della g. analitica piana sono le proprietà proiettive, affini e metriche del piano e delle curve piane (in partic., la teoria delle coniche), dello spazio e delle curve e superfici in esso (per es., la teoria delle quadriche e delle superfici rigate). ◆ [STF] [MCC] G. del movimento: nel passato, lo stesso che cinematica. ◆ [ALG] G. descrittiva: la parte della g. che ha per scopo la rappresentazione delle figure spaziali mediante figure di un certo piano detto quadro (o, in casi particolari, mediante figure di una prefissata superficie), in modo che dal-l'immagine della figura (e, s'intende, dalla conoscenza della legge di rappresentazione) si possa ricostruire la figura spaziale; ogni insieme di regole che permetta di realizzare tale rappresentazione costituisce un metodo della g. descrittiva. I metodi più usati sono: (a) metodo di Monge, o della doppia proiezione ortogonale, che consiste nel proiettare ortogonalmente la figura spaziale sopra due piani mutuamente ortogonali, e nel ribaltare poi l'un piano sull'altro; (b) metodo dell'assonometria, che consiste nel proiettare ortogonalmente la figura spaziale sopra tre piani mutuamente ortogonali e nel proiettare poi tali tre proiezioni e la stessa figura spaziale sopra il quadro da un centro di proiezione improprio; (c) metodo della proiezione centrale e metodo della prospettiva, che consistono nel proiettare la figura spaziale sopra il piano rappresentativo da un centro di proiezione proprio; (d) metodo delle proiezioni quotate, che consiste nel proiettare ortogonalmente la figura spaziale sopra un piano e nell'associare a ogni punto-proiezione un numero, indicante la distanza dal piano del punto obiettivo; (e) ciclografia, in cui ogni punto è rappresentato da un cerchio orientato avente per centro la proiezione ortogonale del punto sopra il piano rappresentativo e per raggio la distanza del punto dal piano. Poiché sostanzialmente il mezzo con il quale si realizzano i metodi della g. descrittiva è quello di proiettare la figura in uno o più modi, i metodi della g. descrittiva si chiamano anche metodi di proiezione (→ proiezione). In ciascuno dei metodi, assegnata la legge di rappresentazione, per poterlo utilmente applicare è opportuno determinare in quali relazioni si traducano le condizioni di appartenenza, di parallelismo, di ortogonalità, come si risolvano le questioni metriche (misure di distanze e angoli, ribaltamenti), i problemi elementari (per es., data la rappresentazione di tre punti non allineati, determinare la rappresentazione del piano che li contiene), ecc. La g. descrittiva permette quindi di sostituire la considerazione di ogni figura spaziale con quella della corrispondente figura piana, e quindi di risolvere problemi spaziali mediante costruzioni piane. Tra le applicazioni tecniche della g. descrittiva ricordiamo la rappresentazione delle superfici topografiche, la teoria delle ombre e del chiaroscuro, la fotogrammetria. ◆ [ALG] G. differenziale: lo studio "in piccolo" degli enti geometrici, cioè lo studio delle proprietà degli intorni di un punto, le quali rimangono invariate di fronte ai movimenti (g. differenziale metrica) o alle omografie (g. differenziale proiettiva); sono, per es., concetti di g. differenziale proiettiva la tangente a una curva, il piano osculatore a una curva sghemba, il piano tangente a una superficie, ecc. e sono concetti di g. differenziale metrica la normale a una curva piana, il triedro fondamentale, la curvatura e la torsione di una curva sghemba, la curvatura gaussiana e media di una superficie, ecc. In tal senso si parla, più propr., di g. differenziale in piccolo, in contrapposto alla g. differenziale in grande o globale, che consiste invece nello studio delle proprietà differenziali di un dato ente (curva, superficie, ecc.) le quali implicano la considerazione del-l'ente stesso nella sua integrità, senza limitarsi quindi all'intorno di un punto. Quantunque le origini storiche della g. differenziale si possano far risalire alle origini del calcolo differenziale, del quale essa utilizza i metodi, e quantunque siano da segnalare risultati di rilievo nel sec. 18o (si ricordi, per es., il teorema di Eulero sulla curvatura delle superfici), è però necessario giungere fino a K.F. Gauss e B. Riemann, nel sec. 19o, per poter parlare della g. differenziale in senso moderno. L'opera di Gauss apre infatti un nuovo capitolo nello studio di una superficie, con l'introduzione di alcuni concetti fondamentali e con l'uso sistematico di nuovi strumenti rivelatisi assai fecondi. L'idea che sta alla base della g. differenziale gaussiana consiste anzitutto nel riferire i punti della superficie a un sistema di due coordinate u, v (coordinate gaussiane, analoghe alle ordinarie coordinate cartesiane x, y nel piano), e nel far discendere le proprietà metriche intrinseche della superficie (come distanze, angoli, aree sulla superficie, curvatura gaussiana della stessa, ecc.) da una forma differenziale quadratica definita positiva, nelle u, v, del tipo ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2, in cui E, F, G sono convenienti funzioni del punto (u, v) e ds2 non è altro che il quadrato dell'elemento d'arco di una linea tracciata sulla superficie, ovvero, come si suol dire, è pari al differenziale della distanza tra due punti della superficie. La forma differenziale quadratica ds2 è a sua volta il punto di partenza di Riemann per introdurre e studiare una metrica in una varietà qualsiasi, anche a più dimensioni e anche non immersa in uno spazio euclideo. Gli sviluppi più elevati dell'impostazione della g. differenziale secondo Riemann hanno in seguito dato origine ad algoritmi assai validi per trattare la g. differenziale di una varietà in senso moderno, quali il calcolo differenziale, la teoria delle connessioni, ecc., che dovevano fornire ad A. Einstein i mezzi per l'enunciazione delle sue teorie fisiche. La g. differenziale studia oggi le proprietà e la classificazione di enti quali, per es., le varietà differenziabili, le varietà riemanniane e i fibrati, per i quali si rinvia alle voci relative. ◆ [PRB] G. differenziale stocastica: v. geometria differenziale stocastica. ◆ [FNC] G. di riflessione, di trasmissione: v. raggi gamma: IV 727 c. ◆ [ALG] G. elementare: s'identifica praticamente con la g. euclidea (v. oltre). ◆ [ALG] G. empirica: l'insieme di regole e procedimenti volti a fini particolari che costituì il primo sviluppo della g., che, come ricordato nell'etimo, nacque come agrimensura. ◆ [ALG] G. euclidea: la g. del piano e dello spazio il cui contenuto e i cui metodi sono modellati direttamente sugli Elementi di Euclide; si può identificare con la g. elementare sviluppata secondo il metodo euclideo. Secondo il programma di Erlangen (←) la g. euclidea è lo studio delle proprietà delle figure invarianti rispetto al gruppo dei movimenti (v. gruppo: III 127 c). ◆ [ALG] G. intrinseca: relativ. a un dato ente, è la g. che si può costruire sopra quell'ente pensato a sé stante e a prescindere dall'ambiente in cui è o può essere immerso: v. curve e superfici: II 81 f. Esempi di g. intrinseca sono la g. metrica costruita sopra una varietà riemanniana in base al concetto di metrica riemanniana e la g. proiettiva piana non desarguesiana. ◆ [ALG] G. non commutativa: v. algebre di operatori: I 96 d. ◆ [ALG] G. non euclidea: è una g. nella quale non vale il 5o postulato di Euclide, o postulato delle parallele (per un punto esterno a una retta passa una e una sola parallela a una retta data). Esistono due tipi di g. non euclidea, la g. iperbolica, o di Lobacevskij, nella quale si postula che da ogni punto escono infinite parallele a una retta data, e la g. ellittica o di Riemann, nella quale si postula la non esistenza di parallele. Come caso limite di entrambe si ha la g. parabolica, che è la g. euclidea. Si deve a E. Beltrami la costruzione di un modello della g. iperbolica piana, nello ordinario spazio a tre dimensioni, e precis. sulla superficie della pseudosfera, nel quale si rappresentano i punti del piano nei punti della pseudosfera e le rette del piano nelle geodetiche della stessa superficie. La costruzione di un modello siffatto è molto importante anche dal punto di vista logico poiché la sua esistenza dimostra l'assenza di contraddizioni nei postulati e quindi dà piena validità alla costruzione geometrica fatta per via ipotetico-deduttiva. Si conoscono anche altri modelli di g. non euclidee, costruiti, per es., nell'ambito della g. proiettiva, della g. iperbolica come pure della g. ellittica. ◆ [ALG] G. proiettiva: è l'insieme delle proprietà delle figure degli spazi proiettivi che siano invarianti rispetto alle proiettività, cioè alle trasformazioni direttamente legate alle operazioni di proiezione e sezione. ◆ [ALG] G. sperimentale: indirizzo della g. che si avvale sistematicamente dell'esperienza fisica come mezzo di verifica e di ricerca.