Peano, Giuseppe

Giuseppe Peano

Negli ultimi decenni dell’Ottocento e nei primi del Novecento le ricerche matematiche, logiche e linguistiche di Giuseppe Peano ebbero una straordinaria eco internazionale. Autore di una ventina di libri e di oltre quattrocento contributi, spaziò dall’analisi matematica alla logica e alla critica dei principi, dalla geometria al calcolo vettoriale, dal calcolo numerico alla didattica e alla divulgazione. Fondò e curò riviste, diresse un’accademia di interlingua e un’impresa enciclopedica, il Formulaire de mathématiques.

La vita

Nato a Spinetta (Cuneo) il 27 agosto 1858, Peano si trasferì a Torino nel 1870-71 e, conseguita la licenza ginnasiale nel 1873, frequentò il liceo Cavour. Nel 1876 si iscrisse al corso di laurea in matematica e si laureò con il massimo dei voti il 16 luglio 1880, discutendo una tesi di geometria superiore (Sul connesso di secondo ordine e di seconda classe), con relatore Enrico D’Ovidio (1843-1933), che subito lo accolse fra i suoi assistenti e presentò tre sue note all’Accademia delle scienze di Torino. Dall’anno successivo fu assistente e poi supplente di Angelo Genocchi (1817-1889) nel corso di calcolo infinitesimale, e in questa disciplina ottenne nel 1884 la libera docenza e nel 1890 la cattedra. Professore straordinario e poi ordinario (1895) all’Università di Torino, oltre al calcolo infinitesimale insegnò applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale, analisi superiore (1908-10), matematiche complementari (1925-32), e tenne corsi liberi di geometria superiore (1894-95) e di logica matematica (1906-1907). Dal 1886 al 1901 fu docente di analisi all’Accademia di artiglieria e genio.

Dal 1894 al 1928 partecipò a vari congressi internazionali di matematica, filosofia, didattica, storia della scienza e sulle lingue ausiliarie, dove fu invitato a tenere conferenze e fu più volte eletto referente per l’Italia.

Dal 1903 si lasciò convincere da Louis Couturat (1868-1914) a occuparsi della costituzione di una lingua ausiliaria internazionale. Seguendo un’idea di Gottfried Wilhelm von Leibniz, Peano scelse il latino sine flexione, che privava la lingua classica delle desinenze e delle coniugazioni. Eletto nel dicembre del 1908 presidente dell’Academia pro interlingua, mantenne la carica fino alla morte, avvenuta a Torino il 20 aprile 1932. Compì studi di glottologia e di filologia e pubblicò nel 1915 un Vocabulario commune, dove spiegava il significato e l’origine di migliaia di vocaboli latini, affiancati ai loro derivati in varie lingue indoeuropee. Attento alle problematiche educative, e assiduo ai congressi e riunioni della Mathesis, la prima associazione italiana di insegnanti di matematica, dal 1915 al 1925 Peano organizzò le Conferenze matematiche torinesi.

Fra gli esponenti della sua scuola che condivisero i suoi assunti pedagogici e si impegnarono a rinnovare ordinamenti e programmi e a produrre pregevoli libri di testo e articoli spiccano Giovanni Vailati, Rodolfo Bettazzi, Alessandro Padoa, Cesare Burali-Forti e Marco Nassò. Le loro proposte furono recepite dalla Commissione reale sull’insegnamento della matematica e dall’International commission on mathematical instruction.

Dalla libera docenza alla cattedra, ai successi internazionali

Le attitudini critiche di Peano emersero fra il 1881 e il 1884. Frutto di lezioni furono infatti le prime note di analisi sull’integrabilità delle funzioni, sulle funzioni interpolari, sulla definizione di area di una superficie curva, e i celebri ‘controesempi’, così semplici e ben scelti, escogitati per il trattato di Genocchi, Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, pubblicato con aggiunte dal Dr. Giuseppe Peano (1884), per dimostrare la fallacia di risultati accolti nei migliori testi in uso in Italia e all’estero. Fra le ‘aggiunte’ compaiono i teoremi e le osservazioni sui limiti di espressioni indeterminate, la generalizzazione alle funzioni di più variabili di un teorema di Weierstrass sui massimi e minimi, l’esempio di funzione di due variabili, continua su ogni retta del piano, ma non continua in tutto il piano, il teorema sulla continuità uniforme delle funzioni di più variabili, la generalizzazione del teorema del valor medio, le proprietà di esistenza e derivabilità delle funzioni implicite, le condizioni per lo sviluppo di una funzione di più variabili in serie di Taylor, l’integrazione delle funzioni razionali quando non si conoscono le radici del denominatore, l’espressione analitica della funzione di Dirichlet e la definizione di integrale definito come estremo superiore e inferiore di somme finite. Accanto a questi risultati, spiccavano i paragrafi sull’assiomatica dei numeri reali, sul limite superiore e inferiore e sulla continuità e la convergenza uniforme, che evidenziavano l’innesto posto in opera da Peano sulle lezioni di Genocchi, modellate sul Cours d’analyse (1821) di Augustin-Louis Cauchy, dei contributi della scuola tedesca, desunti dalla lettura critica dei lavori di Georg Cantor, Julius Wilhelm Richard Dedekind, Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, Karl Hermann Amandus Schwarz, Heinrich-Eduard Heine e Paul Du Bois-Reymond. L’opera ebbe vasta risonanza internazionale e fu tradotta in tedesco e in russo.

La fama di ‘maestro del contro-esempio’ si consolidò con le Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale (1887) e con le Lezioni di analisi infinitesimale (1893). Le prime si distinsero per l’approccio sintetico e per l’uso del calcolo sui segmenti. Sotto l’influsso di G. Cantor e Carl Gustav Axel Harnack, Peano vi introdusse i concetti di campo di punti, di misura esterna, misura interna e di insieme misurabile. Nel 1892 Camille Jordan (1838-1922) riprese le definizioni di lunghezza, di area e di volume di un campo, elaborando la teoria della misura, oggi detta di Peano-Jordan, e i contributi sulle funzioni distributive, che anticiparono i risultati ottenuti da Henri-Léon Lebesgue (1875-1941) nel 1910 (Medvedev 1991, pp. 67-68).

A conferire a Peano una posizione di prestigio nella comunità internazionale furono i contributi pubblicati fra il 1885 e il 1897 negli Atti dell’Accademia delle scienze di Torino e sui «Mathematische Annalen». Si trattava di un gruppo di note sulle equazioni differenziali ordinarie, per le quali Peano dovette rivendicare la priorità nei confronti di analisti illustri, come Charles-Émile Picard, Cesare Arzelà, Onorato Nicoletti e Oscar Perron, che li trovarono anni dopo in modo indipendente. Nel 1886 Peano dimostrò il teorema sull’esistenza delle soluzioni di una data equazione differenziale ordinaria (teorema noto come Cauchy-Peano), e nel 1890 lo estese ai sistemi di tali equazioni, mediante l’utilizzo dei complessi a n unità. Tuttavia il fatto che egli si fosse servito del suo simbolismo logico ne ritardò l’apprezzamento e solo in seguito alla riesposizione fattane da Gustav Adolf Mie (1868-1957) nel 1893 sui «Mathematische Annalen», con il linguaggio comune, i suoi contributi furono accolti e sviluppati negli Stati Uniti da William Fogg Osgood (1864-1943), e in Europa da Charles-Jean de la Vallée-Poussin (1866-1962) e da Arzelà (1847-1912).

Nel gennaio del 1890, ancora nei «Mathematische Annalen», Peano stupì i contemporanei con l’esempio geniale di una curva che riempie un’area o un solido. Prendendo le mosse da un’idea di Cantor in cui si stabiliva la corrispondenza fra un segmento e un quadrato, egli definì in modo aritmetico, mediante la rappresentazione in base tre dei numeri reali, le equazioni parametriche di una linea continua passante per tutti i punti di un quadrato. Al termine accennò alla possibilità di costruire una curva che riempie un cubo, e indicò interessanti proprietà analitiche e topologiche di questi nuovi oggetti matematici.

L’evento fu salutato come una tappa fondamentale negli studi di analisi, di topologia, di teoria degli insiemi e di teoria della misura, e diede l’avvio a una serie innumerevole di studi di matematici di diverse nazionalità: il tedesco David Hilbert (1891), lo statunitense Eliakim Hastings Moore (1900), lo svedese Helge von Koch (1904), l’italiano Ernesto Cesaro (1897, 1905), i francesi Lebesgue e Picard (1904), il polacco Wacław Sierpiński (1912) e molti altri.

La sua singolare capacità di rendere semplici le questioni più ardue dell’analisi emerse anche nell’esempio del ‘lampioncino alla veneziana’, presentato nel 1890 all’Accademia dei Lincei da Felice Casorati (1835-1890), cui Peano l’aveva sottoposto nel 1889. Oggi noto con i nomi di Peano e Schwarz, per essere stato elaborato contemporaneamente e indipendentemente dai due matematici, l’esempio derivava dalla critica alla definizione di area di una superficie curva, come limite dell’area di una superficie poliedrica inscritta, data da Joseph-Alfred Serret (1819-1885). Le alternative proposte da Peano per risolvere il problema esercitarono notevole influenza sugli sviluppi successivi di Hermann Minkowski (1901) e di Lebesgue (1902). Fra il 1889 e il 1890 Peano intensificò i suoi interventi su riviste internazionali, dove espose suoi risultati o ne rivendicò la priorità. A Charles Hermite (1822-1901) inviò nel 1889 una breve nota per l’Académie des sciences, in cui segnalava che la formula approssimata per la rettificazione dell’ellisse, edita da Valentin-Joseph Boussinesq (1842-1929), era già apparsa nelle sue Applicazioni geometriche (1887). Al periodico belga «Mathesis» presentò nel 1889 l’espressione del resto nella formula di Taylor (oggi nota come il resto di Peano) e nel 1890 la dimostrazione di un teorema sulle derivate parziali di una funzione di due variabili, sul quale si erano cimentati illustri analisti.

I fondamenti della geometria e dell’aritmetica

Peano diede contributi di rilievo internazionale anche alla geometria, all’aritmetica, alla critica dei fondamenti e alla logica matematica. Il saggio Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann (1888) e gli opuscoli Arithmetices principia nova methodo exposita e I principii di geometria logicamente esposti, entrambi del 1889, furono segnalati come modelli di rigore e di chiarezza sui fondamenti delle discipline coinvolte. Peano riuscì, anche in quest’ambito, a cogliere le tendenze della ricerca, anticipando i moderni metodi assiomatici. Mediante la sua opera semplificatrice, i metodi geometrici, intuiti da Leibniz e presentati da Hermann Grassmann (1809-1877) in modo ermetico, si trasformarono in un elegante calcolo geometrico, in cui troviamo la prima definizione assiomatica di spazi vettoriali, che comprendeva anche spazi di dimensione infinita. La trattazione di Peano forniva un’interpretazione geometrica concreta delle forme e delle operazioni dell’Ausdehnungslehre e si collocava nel solco degli studi di William Rowan Hamilton (1805-1865) sui quaternioni, di August Ferdinand Möbius (1790-1868) sul calcolo baricentrico e di Giusto Bellavitis (1803-1880) sul metodo delle equipollenze. Il calcolo con i vettori fu applicato in modo sistematico alla geometria differenziale e alla meccanica razionale e trovò ampi sviluppi per merito di allievi e collaboratori di Peano. Dal calcolo geometrico scaturì la teoria delle omografie, applicata in fisica matematica.

Nell’opuscolo I principii di geometria logicamente esposti Peano affrontò il problema dei fondamenti della geometria di posizione e della geometria metrica, partendo dai contributi di Moritz Pasch (1843-1930), che egli semplificò, riducendo le idee primitive a punto, segmento e moto. In seguito egli sostituì all’idea di moto quella di distanza di due punti, o di angolo retto. I Principii anticiparono di una decina d’anni il metodo assiomatico moderno, attribuito di solito a Hilbert (Grundlagen der Geometrie, 1899), e mostrarono con evidenza il ruolo cruciale che Peano assegnava alla logica matematica, in grado di esprimere in forma simbolica e per via assiomatica, tutte le teorie classiche.

Il saggio in latino classico Arithmetices principia nova methodo exposita è la più famosa fra le opere di Peano, sia per i celebri assiomi sui numeri naturali, sia per l’uso del simbolismo logico per delineare i fondamenti dell’aritmetica.

Dopo aver assunto i concetti primitivi di zero, numero, successore e uguale (quest’ultimo poi espunto, essendo considerato un concetto logico), Peano enunciò i cinque assiomi per l’aritmetica, ancor oggi universalmente noti con il suo nome: zero è un numero naturale; il successore di un numero naturale è un numero naturale; due numeri con successori uguali sono uguali; zero non è il successore di alcun numero; ogni classe che contenga zero e il successore di ogni suo elemento, contiene tutti i numeri (principio di induzione completa). Oggetto di perfezionamenti e modifiche, i postulati furono ripresi da Peano nell’articolo Sul concetto di numero (1891), ricco di riflessioni metodologiche sui problemi della definibilità in aritmetica, sulla coerenza, sull’indipendenza e sulla categoricità degli assiomi. Oltre al confronto con la teoria di Dedekind, egli dimostrava l’indipendenza dei suoi postulati aritmetici, definiva geneticamente le varie specie di numeri (negativi, interi, razionali, reali) e accennava al progetto di una raccolta di formule matematiche scritte in linguaggio logico-ideografico, che si concretizzerà successivamente nel Formulaire de mathématiques.

Convinto dell’importanza di riversare queste ricerche nella pratica didattica, nel manuale Aritmetica generale e algebra elementare (1902), destinato agli insegnanti, Peano fornì un’esposizione elementare della teoria assiomatica di quelle discipline, desunta dal Formulaire. La conferenza Sui libri di testo di aritmetica (1924), stesa a ridosso della relazione ministeriale di Giuseppe Lombardo Radice (1879-1938) e di Michele Cipolla (1880-1947), stigmatizzò i difetti di vari manuali scolastici, per ovviare ai quali alcuni esponenti della sua scuola curarono testi di aritmetica ‘razionali’ e ‘pratici’, improntati all’utilizzo della logica simbolica, in cui si teneva conto delle recenti conquiste delle critiche fondazionali.

La logica matematica e il Formulaire

Per conservare alla matematica l’assoluto rigore che le è proprio, e ispirandosi all’ideale leibniziano della characteristica universalis, Peano ambì a forgiare un mezzo in grado di formalizzare i processi mentali, attraverso l’individuazione delle idee primitive e l’ideazione di simboli appropriati. Raggiunto l’obiettivo e plasmata la sua logica ideografica, per circa un ventennio, dal 1888 al 1908 egli investì ogni energia nella realizzazione dell’ambizioso Formulaire de mathématiques. Opera enciclopedica, che avrebbe dovuto concentrare in un solo volume il sapere matematico dell’epoca, scritto in forma condensata, mediante i simboli logici, sarebbe stata utile sia come fonte di ispirazione per nuove ricerche, sia come base di confronto con altre sistemazioni assiomatiche e trattati, sia come catalogo di risultati, sia infine come elenco bibliografico. Anche la «Rivista di matematica», che Peano curò dal 1891 al 1906, con preminenti finalità didattiche e indirizzata a un pubblico internazionale, costituì uno degli strumenti di realizzazione e diffusione del Formulaire.

Concepito, al suo esordio, come opera collettiva internazionale con l’intento di raccogliere tutte le matematiche superiori, nelle cinque edizioni (1895-1908), le prime quattro in francese e l’ultima in latino sine flexione, il Formulaire finì tuttavia per realizzare solo un compendio delle matematiche elementari. Nella stampa del 1908 esso raccoglieva oltre quattromila proposizioni scritte in simboli, con l’enunciato esplicito delle condizioni di validità e la loro dimostrazione. Vi erano citate le fonti e i passi originali e si trovavano notizie biografiche e bibliografiche degli autori dei teoremi richiamati, la storia dei concetti fondamentali e l’etimologia di oltre cinquecento vocaboli di logica e di matematica. Peano si prodigò con ogni mezzo per far conoscere l’opera al di fuori dei confini nazionali. Fra i collaboratori che aderirono con entusiasmo fin dall’inizio, troviamo Vailati per la logica e la storia, Filiberto Castellano per l’algebra, Burali-Forti per l’aritmetica e la teoria delle grandezze, Bettazzi per i limiti, Gino Fano per la teoria dei numeri algebrici, Francesco Giudice per le serie e Giulio Vivanti sulla teoria degli insiemi; fra gli stranieri, Couturat, Gustav Eneström e Otto Stolz.

I giudizi espressi sul Formulaire furono lusinghieri in Inghilterra e negli Stati Uniti, dove i simboli di Peano furono adottati, ma in Francia, in Prussia e in Italia l’opera suscitò reazioni apertamente critiche, o di tiepido assenso, o fu accolta con indifferenza. Nel 1910 Moore ne propose l’introduzione nell’analisi matematica, riportando la lista dei segni di logica della quinta edizione del Formulario, e Clarence Irving Lewis (1883-1964) dell’Università di Berkeley affermò che il «Formulaire de mathématiques di Peano segnava una nuova epoca nella storia della logica simbolica» (Roero, in Giuseppe Peano between mathematics and logic, 2010, p. 101).

In Francia e in Italia le discussioni si intrecciarono con la polemica su intuizione e rigore, divampata fra il 1905 e il 1907 sulla «Revue de metaphysique et de morale», con echi nel «Leonardo». Il dibattito coinvolse matematici e filosofi come Jules-Henri Poincaré, Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, Couturat, Émile Borel, Maximilien Winter, Giovanni Vacca, Vailati, Mario Pieri e Benedetto Croce. L’emergere delle antinomie della teoria degli insiemi e i dubbi sull’utilizzo dell’assioma di scelta – temi di grande risonanza dopo l’uscita delle Cinq lettres sur la théorie des ensembles di René Baire, Borel, Lebesgue e Jacques Hadamard – contribuirono ad attirare l’attenzione sui rapporti fra logica e matematica. Di fronte al proliferare dei paradossi, si mossero dure critiche alle logiche simboliche di Peano, Russell e Hilbert, accusate di frenare l’intuizione e la creatività, senza riuscire a salvaguardare le teorie dai circoli viziosi. La reazione ironica di Poincaré nei confronti di Peano e la polemica scoppiata in Francia crearono tuttavia le basi per un dialogo fra matematici e filosofi su argomenti logico-fondazionali poco frequente in altri Paesi e assai superficiale in Italia. Anche se l’esito dello scontro non fu del tutto positivo e gli sviluppi successivi della logica presero un’altra strada per merito di Russell, Hilbert e Kurt Gödel, questi ultimi riconobbero il loro debito nei confronti di Peano.

Le influenze sulla cultura matematica italiana del pensiero logico e matematico di Peano sono evidenti nelle enciclopedie delle matematiche elementari degli anni Venti e Trenta del Novecento e nei testi per le scuole secondarie, dove troviamo un’attenzione nuova ai fondamenti dell’aritmetica, della geometria e dell’analisi, alla teoria degli insiemi, alla logica matematica e alla storia dei concetti, dei teoremi, dei metodi e delle teorie.

Opere

A. Genocchi, G. Peano, Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, pubblicato con aggiunte dal Dr. Giuseppe Peano, Torino 1884.

Sull’integrabilità delle equazioni differenziali di primo ordine, «Atti della R. Accademia delle scienze di Torino», 1885, 21, pp. 677-85.

Integrazione per serie delle equazioni differenziali lineari, «Atti della R. Accademia delle scienze di Torino», 1886-1887, 22, pp. 437-46.

Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale, Torino 1887.

Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann, preceduto dalle operazioni della logica deduttiva, Torino 1888.

Intégration par séries des équations différentielles linéaires, «Mathematische Annalen», 1888, 32, pp. 450-56.

Arithmetices principia nova methodo exposita, Augustae Taurinorum 1889.

I principii di geometria logicamente esposti, Torino 1889.

Sur une formule d’approximation pour la rectification de l’ellipse, «Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences», 1889, 109, pp. 960-61.

Une nouvelle forme du reste dans la formule de Taylor, «Mathesis», 1889, 9, pp. 182-83.

Démonstration de l’intégrabilité des équations différentielles ordinaires, «Mathematische Annalen», 1890, 37, pp. 182-228.

Sulla definizione dell’area d’una superficie, «Atti della Reale Accademia dei Lincei. Rendiconti», 1890, 6, pp. 54-57.

Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane, «Mathematische Annalen», 1890, 36, pp. 157-60.

Sulla formula di Taylor, «Atti della R. Accademia delle scienze di Torino», 1892, 27, pp. 40-46.

Lezioni di Analisi infinitesimale, 2 voll., Torino 1893.

Formulaire de mathématiques, publié par la Rivista di matematica, t. 1, Turin 1895.

Formulaire de mathématiques, publié par la Revue de Mathématiques, t. 2, Turin 1897-1899.

Formulaire de mathématiques, t. 3, Turin 1901.

Formulaire mathématique, édition de l’an 1902-03, t. 4, Turin 1903.

Super theorema de Cantor-Bernstein, «Rendiconti del Circolo matematico di Palermo», 1906, 21, pp. 360-66.

Formulario mathematico, Editio V, Torino 1908.

Opere scelte, 3 voll., a cura di U. Cassina, Rom, 1957-1959.

Giuseppe Peano-Louis Couturat. Carteggio (1896-1914), a cura di E. Luciano, C.S. Roero, Firenze 2005.

L’Opera omnia e i Marginalia di Giuseppe Peano (with English version), a cura di C.S. Roero, 3 DVD-ROM, Torino 2008.

Bibliografia

Celebrazioni in memoria di Giuseppe Peano nel cinquantenario della morte, Atti del Convegno organizzato dal Dipartimento di Matematica dell’Università di Torino (27-28 ottobre 1982), Torino 1986.

F.A. Medvedev, Scenes from the history of real functions, Basel 1991.

Peano e i fondamenti della matematica, Atti del Convegno, Modena (22-24 ottobre 1991), Modena 1993.

J. Ferreirós, Labyrinth of thought. A history of set theory and its role in modern mathematics, Basel 1999.

E. Luciano, Il trattato Genocchi-Peano (1884) alla luce di documenti inediti, «Bollettino di storia delle scienze matematiche», 2007, 2, pp. 219-64.

E. Luciano, C.S. Roero, Giuseppe Peano matematico e maestro, Torino 2008.

Giuseppe Peano between mathematics and logic, Proceeding of the International conference in honour of Giuseppe Peano on the 150th anniversary of his birth and the centennial of the “Formulario mathematico”, Torino (2-3 ottobre 2008), ed. F. Skof, Milano 2010 (in partic. C.S. Roero, The “Formulario” between mathematics and history, pp. 83-133).

Peano e la sua Scuola fra matematica, logica e interlingua, Atti del Congresso internazionale di studi, Torino (6-7 ottobre 2008), a cura di C.S. Roero, Torino 2010.

E. Luciano, C.S. Roero, From Turin to Göttingen: dialogues and correspondence (1879-1923), «Bollettino di storia delle scienze matematiche», 2012, 1, pp. 1-232.