grafico
grafico
grafico termine che indica una rappresentazione visiva di un ente matematico e più in generale di una relazione. Si consideri una relazione binaria R tra due insiemi X e Y ⊆ R: l’insieme G dei punti le cui coordinate (x, y) soddisfano tale relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano X × Y, e viene detto grafico della relazione. Quindi,
Per esempio, il grafico della relazione x < y è un semipiano aperto, formato da tutti i punti per i quali l’ascissa è minore dell’ordinata; il grafico di x 2 + y 2 ≤ 1 è un cerchio chiuso con centro nell’origine del piano cartesiano, mentre quello di x 2 + y 2 = 1 è la corrispondente circonferenza; il grafico di x 2 − y 2 ≤ 1 è un dominio angolare con vertice nell’origine ecc. Le coordinate dei punti del complementare di un grafico G corrispondono alla negazione della relazione R, indicata con ￢R. I punti appartenenti all’intersezione dei grafici G1 e G2 di due relazioni R1 e R2 soddisfano entrambe le relazioni e quindi soddisfano il sistema {x R1 y} ∧ {x R2 y}; l’unione G1 ∪ G2 corrisponde invece, per le leggi di → De Morgan, alla relazione R = ￢(￢R1 ∧ ￢R2).
Particolarmente importanti sono i grafici delle → funzioni reali a una variabile reale, siano esse in forma implicita o esplicita. Questi ultimi sono caratterizzati dal fatto che ogni parallela all’asse delle ordinate li interseca al più in un punto. La nozione si generalizza senza problemi concettuali al caso X × Y ⊆ Rn+m; tuttavia il termine grafico è impiegato in senso esteso anche quando gli insiemi X e Y sono astratti (per esempio, spazi di Banach) e quindi non vi è più alcuna possibilità “grafica”.
Lo studio del grafico di una funzione ƒ: R → R costituisce l’oggetto primario del calcolo differenziale: le nozioni di funzione continua, di derivata (col suo significato geometrico di coefficiente angolare della tangente) e delle derivate successive vi giocano un ruolo fondamentale.