gruppo algebrico

gruppo algebrico

gruppo algebrico gruppo dotato di una struttura di varietà algebrica compatibile con la struttura di gruppo, vale a dire tale che le applicazioni

di moltiplicazione e di inverso siano applicazioni polinomiali. Esempi di gruppi algebrici sono costituiti dai gruppi finiti e dai → gruppi classici di matrici (fatta eccezione per i gruppi unitari, in quanto il coniugio non è un’applicazione polinomiale). Se K è un campo algebricamente chiuso, sono esempi di gruppi algebrici il gruppo GL(n, K) delle matrici quadrate invertibili di ordine n a coefficienti in K e il suo sottogruppo chiuso SL(n, K) delle matrici a determinante 1. Un’altra importante classe di gruppi algebrici è costituita dalle curve ellittiche. Se la varietà algebrica sottostante è affine, si parla di gruppo algebrico lineare; questo è per esempio il caso di tutti i gruppi algebrici classici. Tale terminologia si spiega con il fatto che ogni gruppo algebrico affine è un sottogruppo chiuso di un gruppo lineare GL(n, K). Se la varietà algebrica sottostante è proiettiva e connessa, allora il gruppo algebrico è necessariamente commutativo e si parla di → varietà abeliana: questo è il caso delle curve ellittiche, che coincidono con le varietà abeliane di dimensione 1.