gruppo di Lie

gruppo di Lie

Un gruppo G sul quale sia definita una struttura di varietà analitica tale che la mappa μ:(x,y)→xy⁻¹ dal prodotto diretto G×G in G stesso sia analitica. In altre parole, un gruppo di Lie è un insieme dotato delle strutture tra loro compatibili di gruppo e varità analitica. Un gruppo di Lie è detto reale, complessso o p-adico a seconda del campo sul quale si considera la varietà analitica che lo definisce. Ogni gruppo di Lie complesso è dotato naturalmente della struttura di gruppo di Lie reale per semplice restrizione del campo complesso. Il principali esempi di gruppo di Lie sono quelli del gruppo lineare generale GL(n,ℝ) sul campo dei numeri reali ℝ e i suoi sottogruppi chiusi nella topologia euclidea naturale. Non a caso, tali gruppi furono originariamente introdotti da Sophus Lie come gruppi di trasformazioni locali dello spazio euclideo n-dimensionale ℝⁿ dipendenti analiticamente da un insieme finito di parametri, con la richiesta addizionale che i parametri di un prodotto fossero esprimibili in termini dei parametri dei fattori per mezzo di funzioni analitiche. La sostituzione dell’analiticità con ipotesi più deboli (per es., la differenziabilità) non conduce ad alcuna estensione della classe dei gruppi di Lie. È questo il contenuto del famoso quinto problema di Hilbert, risolto affermativamente da Andrew M. Gleason, Dean Montgomery e Leo Zippin: se G è una varietà topologica n-dimensionale e la mappa μ:(x,y)→xy⁻¹ è semplicemente continua esiste su G una struttura di varietà analitica rispetto alla quale G è un gruppo di Lie. Il principale metodo di studio nella teoria dei gruppi di Lie è il metodo infinitesimale introdotto da Lie medesimo. Tale approccio permette di ridurre quasi completamente lo studio di un oggetto complicato come un gruppo di Lie G a quello di un oggetto algebrico, la sua algebra di Lie g. Questa è costruita come segue. Per g∈G, un campo vettoriale X(g) su G (visto come varietà) invariante a sinistra è un campo vettoriale invariante per i differenziali della traslazione a sinistra. Più precisamente (dL_h)X(g)=X(hg) per ogni g,h∈G, dove L_h(g)=hg. Tali campi invarianti formano uno spazio vettoriale, che può essere identificato con lo spazio tangente alla varietà G nell’identità e, T_e(G). Dotato del prodotto di Lie [X,Y]=XY−YX esso diviene un’algebra. Localmente (ovvero in un intorno dell’identità), è possibile allora ricostruire il gruppo G tramite la mappa esponenziale exp: g G.

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