GRUPPO

GRUPPO

(XVII, p. 1012; App. II, 1, p. 1096) - Il concetto di gruppo di cui si tratta nell'articolo del vol. XVII, p. 1012, viene oggi comunemente introdotto seguendo una via un po' diversa da quella indicato nell'articolo citato; così anche il linguaggio usato nella teoria dei gruppi si è alquanto modificato.

Oggi infatti si usa partire dalla definizione astratta di gruppo. In base ad essa si chiama gruppo un insieme non vuoto G di elementi (di natura qualsiasi) nel quale sia definita una legge di composizione che associa a ogni coppia ordinata di elementi x, y (distinti o no) di G un elemento f(x, y) ancora in G, tale che:

a) valga la proprietà associativa; cioè se x, y, z sono elementi di G, si abbia

b) esista in G un elemento e, detto elemento neutro, tale che, qualunque sia l'elemento x di G, si abbia

c) dato un qualsiasi elemento x di G, esista in G un elemento x tale che

Comunemente, la legge di composizione di un g. prende il nome di moltiplicazione, nel qual caso, in luogo di f (x, y), si scrive più semplicemente xy. Allora la [1] diviene (xy)z = x(yz), espressione formalmente simile a quella che fornisce la proprietà associativa dell'ordinaria moltiplicazione tra numeri; l'elemento neutro vien chiamato unità e indicato col simbolo 1, onde la [2] diviene x • 1 = 1 • x = x; l'elemento x viene chiamato inverso di x e indicato col simbolo x^-1, onde la [3] diviene xx^-1 = x^-1x = 1.

Il g. verrà in tal caso chiamato talora g. moltiplicativo.

In certi casi la legge di composizione viene indicata col nome di addizione, e allora si scrive x + y in luogo di f(x,y), l'elemento neutro viene chiamato mro e indicato col simbolo 0, l'elemento ù viene chiamato opposto di x e indicato col simbolo −x. Il g. viene allora chiamato spesso g. additivo.

Un g. G si dice abeliano se in esso vale la proprietà commutativa, se cioè, qualunque siano x ed y in G, si ha f(x, y) = f(yy,x). Nel caso dei g. abeliani viene oggi usata prevalentemente la terminologia dei g. additivi.

Dicesi sottogruppo di un g. G un sottoinsieme di G che sia un g. rispetto alla stessa legge di composizione definita in G.

Considereremo d'ora in poi g. moltiplicativi. Se n è un intero > 1, e a è un elemento di un g. G, il prodotto di n elementi uguali ad a si scriverà aⁿ, il prodotto di n fattori uguali ad a^-1 si scriverà a^-n, e si porrà a⁰ =1, a¹ = a. Gli elementi della forma a^m con m intero qualunque si dicono potenze di a e costituiscono un sottogruppo di G. Se nel g. G c'è un elemento a tale che ogni elemento di G è potenza di a, G si dirà g. ciclico. Un g. costituito da un numero finito di elementi dicesi finito e il numero dei suoi elementi dicesi ordine del g. Se un elemento ha solo un numero finito di potenze distinte, tale numero dicesi ordine dell'elemento.

Se H è un sottogruppo del g. G, l'insieme Hx degli elementi di G ottenuti moltiplicando i varî elementi di H per un elemento fisso x di G viene detto un laterale destro di H in G, mentre l'insieme xH dei prodotti di x per i varî elementi di H viene detto un laterale sinistro di H. Due laterali destri (o sinistri) che abbiano un elemento in comune coincidono. H stesso è un laterale (destro e sinistro) di H.

Un sottogruppo N di G si dice normale se, comunque si prenda un elemento x di G, i due laterali sinistro e destro xN ed Nx coincidono (nella voce gruppo del vol. XVII, in luogo del termine "sottogruppo normale", veniva adoperato quello di "sottogruppo invariante", oggi meno usato). Se Nx ed Ny sono due laterali (distinti o no) del sottogruppo normale N di G, l'insieme degli elementi di G ottenuti moltiplicando i singoli elementi di Nx per quelli di Ny è ancora un laterale di N in G che si chiamerà il prodotto dei laterali Nx ed Ny. Si viene in tal modo a definire, entro l'insieme dei laterali di N in G, una moltiplicazione che fa corrispondere a ogni coppia ordinata di laterali il loro prodotto. Rispetto a tale moltiplicazione, l'insieme dei laterali è un g., che prende il nome di g. fattoriale di G rispetto ad N e si indica col simbolo G/N (il g. fattoriale coincide sostanzialmente, nel caso dei g. finiti, con quello che nell'originaria voce del vol. XVII viene chiamato g. complementare).

Dati due g. G e G′, una legge ϕ che associ a ogni elemento x di G un elemento ϕ(x) di G′ tale che, se x e y sono due elementi qualunque di G, si abbia ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) dicesi omomorfismo di G entro G′. Un omomorfismo ϕ di G entro G′ tale che, comunque si prenda un elemento x′ di G′, esista almeno un elemento x di G, per cui ϕ(x) = x′ dicesi omomorfismo di G sopra G′. Un omomorfismo ϕ di G entro G′ tale che, comunque si prenda un elemento x′ di G′, esiste al più un elemento x di G per cui ϕ(x) = x′ dicesi isomorfismo di G entro G′. Un omomorfismo ϕ di G entro G′ tale che, comunque si prenda un elemento x′ di G′, esista uno e un solo elemento x di G per cui ϕ(x) = x′ dicesi isomorfismo di G sopra G′. Se esiste un isomorfismo di G sopra G′, G e G′ sono strutturalmente identici (nella voce gruppo del vol. XVII, l'isomorfismo sopra è chiamato isomorfismo oloedrico o anche omomorfismo, mentre l'omomorfismo sopra è chiamato isomorfismo meriedrico).

Dato un omomorfismo ϕ di G entro G′, l'insieme degli elementi x di G per cui ϕ (x) coincide con l'unità di G′ dicesi nucleo di ϕ, mentre l'insieme degli elementi x′ di G′ per cui esiste almeno un elemento x di G tale che ϕ(x) = x′ dicesi immagine di ϕ. Il nucleo di ϕ è un sottogruppo normale di G; l'immagine di ϕ è un sottogruppo di G'.

Se G è un g., un insieme M di elementi di G si dirà un sistema di generatori per G se ogni elemento di G si può esprimere almeno in un modo come prodotto di potenze di elementi (non necessariamente distinti) appartenenti ad M. Naturalmente, un g. ammette, in generale, diversi sistemi di generatori. I g. ciclici sono i soli g. che ammettono un sistema di generatori formato da un solo elemento.

Se G è un g. ed M un suo sistema di generatori, un'eguaglianza, valevole in G, della forma R = 1, ove R è un prodotto di potenze di elementi appartenenti ad M, dicesi relazione tra gli elementi di M. Per es., se G è un g. ciclico finito d'ordine m, e g è un suo generatore, sono relazioni le uguaglianze della forma g^km = 1, con h intero qualunque.

Se in un gruppo G con un sistema M di generatori valgono alcune relazioni, ne valgono di conseguenza altre: per es., se valgono le relazioni R₁ = 1, R₂ = 1, valgono anche le relazioni R₁R₂ = 1, R₁R₂^-1 = 1, g^-1R₁g = 1, con g elemento appartenente ad M, ecc. Per individuare un g. basta quindi assegnare un sistema di generatori e un insieme di relazioni tra essi, dalle quali discendano come conseguenza tutte le relazioni valevoli nel gruppo.

Un g. G si dice libero se ammette un sistema di generatori M tale che in G non sia verificata nessuna relazione tra elementi di M all'infuori di quelle che sono conseguenza della definizione generale di g. (come è ad es. la relazione gg^-1 = 1, con g in M). Per es., se G è un g. libero con un sistema di generatori M formato da un solo elemento g, G è un g. ciclico infinito costituito dalle potenze di g; se G è un g. libero con un sistema di generatori M formato da due elementi g₁, g₂, G è costituito da tutti e soli gli elementi forniti dalle espressioni della forma g₁^x₁g₂^y₁g₁^x₂g₂^y₂ ... g₁^x_rg₂^y_r, con r intero > 0 e x₁, ..., x_r, y₁, ..., y_r interi tali che

espressioni distinte dando luogo ad elementi distinti di G. Dato un insieme I non vuoto di simboli, esiste sempre un g. libero, pienamente individuato a meno di isomorfismi sopra, che ammette I come sistema di generatori.

Sia ora G un g. qualunque, ed M un suo sistema di generatori. Si faccia corrispondere a ogni elemento g_i appartenente ad M un simbolo γ_i, e sia I l'insieme di questi simboli. Detto F il g. libero generato da I, esiste un omomorfismo ω di F sopra G, in cui a ogni simbolo γ_i corrisponde l'elemento g_i di M. Un elemento di F (cioè un prodotto di potenze dei simboli γ_i) appartiene al nucleo N di ω se e solo se, sostituendo in esso a ogni γ_i il corrispondente g_i, si ottiene il primo membro di una relazione di G. Esiste pertanto un isomorfismo di F/N sopra G, onde ogni g. si può identificare, a meno di isomorfismi, col g. fattoriale di un conveniente g. libero rispetto a un conveniente sottogruppo normale.

La teoria dei g. liberi è stata generalizzata, e ha dato luogo alla teoria dei prodotti liberi e a quella dei prodotti liberi con amalgama, per le quali rinviamo ai trattati di A.G. Kuroš, W. Specht, M. Hall, citati nella bibliografia.

Indichiamo ora alcuni tra i più significativi degli innumerevoli risultati ottenuti recentemente nella teoria dei gruppi.

Il teorema di Jordan-Holder è stato esteso in varî modi ai g. infiniti (Schreier, H. Zassenhaus, A.G. Kuroš).

Lo Schreier, il Baer, ed altri hanno studiato il problema dell'ampliamento: dati due gruppi N e F, costruire ogni gruppo G che conenga un sottogruppo normale N̄ tale che esista un isomorfismo di N̄ sopra N e uno di G/N̄ sopra F.

Negli ultimi anni sono stati compiuti, specie per opera della scuola russa (Sanov, Kostrikin, Novikov), progressi sostanziali verso la risoluzione del problema di Burnside: dati due interi positivi n ed m, vedere se esistono g. infiniti, dotati di un sistema di generatori contenente n elementi, e tali che l'ordine di ogni elemento del g. sia un divisore di m.

La teoria dei g. abeliani infiniti ha preso un notevole sviluppo; per essa rimandiamo ai trattati di I. Kaplansky e di L. Fuchs, citati nella bibliografia.

Bibl.: H. Zassenhaus, Lehrbuch der Gruppentheorie, I, Lipsia 1937; G. Scorza, Gruppi astratti, Roma 1942; A. G. Kuroš, Teoria dei gruppi (in russo), Mosca 1944 (traduzione tedesca, Berlino 1953; 2ª ed. in russo, Mosca 1953; traduzione inglese, New York 1955); I. Kaplansky, Infinite abelian groups, Ann Arbor 1954; W. Specht, Gruppentheorie, Berlino 1956; M. Suzuki, Structure of a group and the structure of its lattice of subgroups, Berlino 1956; L. Fuchs, Abelian groups, Budapest 1958; M. Hall, The theory of groups, New York 1959.