gruppoide

gruppoide

gruppoide o magma, in algebra, insieme A dotato di un’operazione binaria interna rispetto alla quale è chiuso. Formalmente un gruppoide è una coppia (A, ∗) dove A è un insieme non vuoto e ∗ è un’operazione binaria su A che associa a ogni coppia di elementi a e b di A un terzo elemento di A denotato con a ∗ b. Per esempio, l’insieme N dei numeri naturali dotato dell’addizione è un gruppoide, indicato con (N, +), come anche è un gruppoide l’insieme N rispetto alla moltiplicazione, indicato con (N, ⋅). Non è invece un gruppoide l’insieme N dotato della sottrazione, in quanto N non è chiuso rispetto a essa: la sottrazione in effetti non è un’operazione binaria interna sull’insieme dei numeri naturali N; lo è invece sull’insieme dei numeri interi Z, che costituiscono pertanto un gruppoide rispetto a essa (e più precisamente un → gruppo).

Tutti i monoidi, tutti i semigruppi e tutti i gruppi sono in particolare gruppoidi: tali strutture sono semplicemente un rafforzamento della struttura algebrica di gruppoide, mediante l’aggiunta di ulteriori assiomi oltre alla chiusura rispetto a un’operazione binaria. Similmente al caso dei gruppi, un gruppoide si dice moltiplicativo se l’operazione è formalmente trattata come una moltiplicazione (notazione moltiplicativa); solitamente, in questo caso, l’operazione è indicata con i simboli ⋅ o ∗. Un gruppoide si dice invece additivo se l’operazione è formalmente trattata come un’addizione (notazione additiva); in questo caso l’operazione è solitamente indicata con il simbolo +. Mentre (N, +) è un esempio di gruppoide additivo, (N, ⋅) è un esempio di gruppoide moltiplicativo. Solitamente, se (A, ∗) è un gruppoide moltiplicativo, nella scrittura si usa omettere il segno di moltiplicazione: il prodotto x ∗ y di due elementi x e y di A è semplicemente indicato con xy.