hamiltoniano

hamiltoniano

Funzione matematica (dal nome del matematico irlandese W.R. Hamilton, 1805-1865) utilizzata per risolvere un problema di controllo ottimale (➔) in cui il tempo è trattato come una variabile continua, secondo il principio di massimo proposto da L. Pontryagin (➔ Pontryagin, principio di); alternativamente, R. Bellman ha sviluppato un’analisi equivalente in un modello in cui il tempo è una variabile discreta (➔ Bellman, equazione di).

Un problema di controllo ottimale consiste nel trovare le migliori politiche di controllo di un sistema dinamico, in presenza di vincoli sulle variabili di stato, che identificano la posizione del sistema in ogni momento, e su quelle di controllo, che possono essere manipolate dagli operatori economici. Per es., nel problema di consumo intertemporale di un agente, il livello del reddito e quello delle attività finanziarie nette sono variabili di stato e il consumo è una variabile di controllo; la funzione obiettivo del consumatore è data dall’utilità attesa del flusso di beni e servizi nel tempo e, infine, il vincolo è costituito dall’equazione di bilancio intertemporale, che determina l’evoluzione futura delle attività finanziarie in funzione delle variabili di stato e di controllo (ricchezza, reddito e consumo oggi). L’h. è definito, allora, dalla somma della funzione obiettivo valutata in un istante di tempo, ossia l’utilità derivante dal consumo corrente, e di una funzione che identifica i vincoli intertemporali, in questo caso l’equazione di bilancio, ponderata per una variabile, detta ‘di costato‘, che misura quanto il vincolo sia stringente, ossia, più precisamente, il prezzo ombra dell’investimento corrente in attività finanziarie. Intuitivamente, l’h. è l’equivalente, in un sistema dinamico con tempo continuo, del lagrangiano (➔) nel problema standard di massimizzazione vincolata. Il principio di Pontryagin afferma, dunque, che una condizione necessaria per un punto di ottimo è che esso massimizzi l’h., lungo tutta la traiettoria di sviluppo del sistema dinamico.