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identificabilità

di Samantha Leorato - Dizionario di Economia e Finanza (2012)
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identificabilita

Samantha Leorato

identificabilità  Proprietà che un modello statistico deve soddisfare perché sia possibile condurre inferenza statistica (➔) circa i suoi parametri. Intuitivamente si afferma che un modello è identificabile se a ogni parametro θ corrisponde una e una sola distribuzione di probabilità per i dati.

Modello identificabile

In modo più formale, dato un modello definito da una famiglia F={f(z;θ)} di distribuzioni di probabilità per i dati indicizzata da un parametro θ in uno spazio dei parametri Θ, si dice che tale modello è identificabile se esiste una corrispondenza biunivoca tra Θ e F, ovvero se a ciascun valore di θ corrisponde uno e un solo elemento di F (figura 1). La definizione formale di i. comprende sia il caso parametrico, in cui lo spazio dei parametri è finito-dimensionale (un vettore di parametri), sia il caso non parametrico, in cui lo spazio dei parametri è infinito-dimensionale (una funzione). Nel contesto di un modello parametrico regolare l’i. è assicurata dalla non singolarità della matrice di informazione di Fisher (➔ verosimiglianza massima, metodo della).

Modello non identificabile

Un modello non è identificabile quando la corrispondenza tra Θ e F non è biunivoca. Ci sono due casi in cui questo può accadere: il primo si ha quando più valori di θ sono compatibili con lo stesso elemento di F (figura 2); il secondo quando un particolare elemento di θ è compatibile con più elementi di F (figura 3).Per illustrare il primo caso, si consideri il modello lineare gaussiano (➔ gaussiana, distribuzione) con due regressori e un’intercetta: la distribuzione condizionata di Y∣X1,X2 è quella di una variabile aleatoria (➔) normale N(α+β1X1+β2X2,1). Si assuma che X1 e X2 siano due variabili dummy (➔ dummy, variabili), per es., che X1 sia 1 per un maschio e 0 per una femmina, e X2 sia 1 per una femmina e 0 per un maschio. Il modello parametrico è:

{f(y∣X1=x1,X2=x2;θ)∼N(α+β1+(β2−β1)x2,1), θ=(α,β1,β2)∈Θ},

dove x1  e x2 soddisfano x1=1−x2 per via della relazione X1=1−X2. In questo caso il modello presenta collinerità (➔) tra i regressori e il parame-tro θ=(α,β1,β2) non è identificabile. Infatti, esiste un numero infinito di vettori θ′=(α′,β′1,β′2), per i quali si ha f(y∣X1=x1,X2=x2;θ)=f(y∣X1=x1,X2= x2;θ′) per ogni x1=1−x2. Per illustrare il secondo caso si consideri una variabile Y gaussiana di varianza unitaria, ma con media uguale a μA e μB nelle due sottopopolazioni A e B. Si assuma, che la probabilità π di appartenere al gruppo B sia nota. Si ipotizzi, inoltre, che non sia possibile osservare il valore di Y per le unità che appartengono al gruppo B. Il parametro di interesse è la media μ=E(Y)=μAπ+μB(1−π), la quale non è identificabile poiché non lo è la media μB per la sottopopolazione B. Un modo per affrontare questo problema è quello di reperire informazioni aggiuntive. Per es., se si potesse affermare che μB fosse compresa tra due valori noti c e d, allora se ne dedurrebbe che μ deve essere necessariamente compresa nell’intervallo

μ

A+(c−μA)π≤μ≤μA+(d−μA)π,

di ampiezza (d−c)π.. Si parla in questo caso di identificazione per intervalli. Se il parametro di interesse è invece il vettore θ=(μA,μB), pur essendo θ non identificabile, si dice che esso è parzialmente identificabile, poiché è identificabile il sottovettore costituito dalla sola componente μA.

identificabilità

Tag
  • DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ
  • VARIABILE ALEATORIA NORMALE
  • CORRISPONDENZA BIUNIVOCA
  • INFERENZA STATISTICA
  • VARIANZA
Vocabolario
identificabilità
identificabilita identificabilità s. f. [der. di identificabile]. – La possibilità di identificare, di essere identificato. Nella teoria dei sistemi, la possibilità di un dato problema di essere espresso con un opportuno modello matematico....
firma elettronica avanzata
firma elettronica avanzata loc. s.le f. Firma elettronica che consente l'identificazione del firmatario del documento, garantendone la connessione univoca al firmatario, in modo da consentire a quest'ultimo di rilevare se i dati connessi...
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