Parseval, identita di
Parseval, identita di
Parseval, identità di o uguaglianza di Parseval, stabilisce che se X è uno spazio di Hilbert e {ek} è un sistema ortonormale in X mediante il quale si sviluppi un elemento x ∈ X nella serie
allora
L’identità di Parseval rappresenta quindi la generalizzazione infinito-dimensionale del teorema di Pitagora. Se l’uguaglianza di Parseval vale per ogni x ∈ X, si dice che il sistema {ek} è completo, nel senso che costituisce una base di X (→ Bessel-Parseval, disuguaglianza di). Questa uguaglianza è anche riportata in letteratura come teorema di Parseval e può essere anche enunciata, con riferimento alle serie di Fourier nel seguente modo: la sommatoria del prodotto dei coefficienti di Fourier di due funzioni periodiche è uguale all’integrale del loro prodotto (→ Fourier, serie di).