identita
identita
identità in algebra, uguaglianza tra due espressioni che risulta valida a prescindere dai valori assunti dalle eventuali variabili che in esse compaiono. È per esempio un’identità, nell’insieme R dei numeri reali, l’uguaglianza (x + y)2 = x 2 + y 2 + 2xy, che esprime il quadrato di un binomio: essa è una regola formale e vale a prescindere dai valori reali assunti dalle variabili x e y. Un’identità è dunque una equazione che risulta sempre vera (equazione identica).
Con altro significato, il termine identità è talvolta usato per indicare l’elemento neutro di un gruppo moltiplicativo, come per esempio nel contesto funzionale, in cui indica l’applicazione di un insieme in sé stesso che lascia invariato ogni suo elemento (detta anche applicazione identica; → funzione identità), e nel contesto matriciale, in cui la matrice identica è la matrice diagonale in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono uguali a 1 e tutti gli altri elementi sono uguali a zero.
☐ In generale, si dice identità di un insieme I la corrispondenza che associa a ogni elemento di I l’elemento stesso. Per questo si parla di identità anche nell’ambito delle trasformazioni geometriche, come la trasformazione che fa corrispondere a ogni elemento dell’ambiente geometrico considerato sé stesso.
☐ In logica, relazione che ogni ente intrattiene esclusivamente con sé stesso. Negli usuali sistemi formali è spesso assimilata alle costanti logiche, ed è caratterizzata da un assioma che ne stabilisce la proprietà riflessiva e dal principio di sostitutività: due espressioni che indichino uno stesso ente possono essere sostituite l’una all’altra in ogni contesto, senza alterarne le condizioni di verità. Nella logica del secondo ordine (in cui si ammette a pieno titolo che, oltre alle variabili individuali, vi siano anche variabili predicative), l’identità può essere definita dall’assioma «se x e y sono identici, hanno in comune tutte le proprietà», in unione con il suo inverso (il principio di identità degli indiscernibili di Leibniz) per cui «se x e y hanno in comune tutte le proprietà, allora x = y». In questa formulazione cade però il principio di sostitutività in contesti in cui vi siano operatori modali (del tipo è necessario che..., ecc.) o quantificatori.