IDRAULICA

IDRAULICA (XVIII, p. 711)

Sviluppi recenti dell'idraulica. - La teoria della turbolenza, ed i fondamentali concetti di strato limite e di separazione vorticosa in una corrente, hanno profondamente modificato gli indirizzi prima seguiti nella valutazione della distribuzione delle velocità e della resistenza al moto. Interessano l'idraulica soprattutto le manifestazioni dello stato turbolento in prossimità di pareti solide (cosiddetta "turbolenza di parete"), quali si verificano nel moto entro tubi ed altri condotti (v. in seguito). Da essa si distingue la cosiddetta "turbolenza libera", che si manifesta in corrispondenza a strati fluidi animati da diversa velocità (ad es. nella diffusione di un getto in rapido allargamento, studiata da D. Citrini e H. Rouse).

La turbolenza (v. anche fluidodinamica, in questa App.) è uno stato eminentemente diffusivo, e pertanto i processi di trasferimento sono assai più intensi che nel moto non turbolento, dove tali scambî sono di natura molecolare, cioè dovuti all'attrito viscoso. Fra le varie teorie proposte, quella basata sul concetto di lunghezza di mescolamento (introdotto da G. I. Taylor e indipendemente da L. Prandtl) ha dato i migliori risultati per i problemi applicativi, trovando ampia conferma dai risultati sperimentali. Si riconosce che un'espressione del tipo:

è atta a caratterizzare l'intensità del trasporto laterale, nella direzione y, di una caratteristica del fluido la cui intensità (o concentrazione) varia con y; il coefficiente cinematico ε rappresenta l'attitudine alla diffusione laterale. Se si considera un moto bidimensionale, con velocità media u nella direzione principale di trasporto (cui si sovrappongono le velocità di fluttuazione turbolenta u′ nella stessa direzione e v′ in direzione normale) e per n si assume la quantità di moto unitaria ρu, N viene a corrispondere allo sforzo tangenziale τ dovuto al trasporto laterale. Si può però pensare che n sia una quantità unitaria di calore (prodotto del calore specifico e della temperatura), o una concentrazione di sostanze disciolte o sospese, ed N allora è l'intensità del relativo flusso laterale. Nel caso del trasporto di quantità di moto (e, sembra, con un modesto fattore di correzione anche negli altri casi) può assumersi per il coefficiente di diffusione turbolenta

mentre vale e = μ/ρ il corrispondente coefficiente per l'azione viscosa molecolare. Col simbolo l si denota, in analogia con la teoria cinetica dei gas, il percorso libero medio delle formazioni vorticose, o, ciò che è lo stesso, la loro dimensione media. In realtà sono presenti entrambi i termini sopra indicati per il coefficiente ε nel moto turbolento, ma quello dovuto all'agitazione del fluido nettamente prevale su quello d'attrito viscoso.

Secondo la basilare ipotesi di L. Prandtl (1904), la resistenza che subisce una corrente fluida turbolenta a contatto di una parete si manifesta in uno strato sottile aderente ad essa, detto strato limite, dove il moto conserva carattere laminare. Molto importante anche nel campo idraulico è la cosiddetta separazione dello strato limite, che ha luogo quando il moto è ritardato e la pressione in aumento. Lo sforzo tangenziale alla parete diminuisce allora nel senso del moto, e può avvenire che esso si annulli e inverta il proprio segno. Ne consegue che il moto, dapprima in prossimità alla parete e poi interessando ampia zona della corrente, assume andamento invertito rispetto a quello del moto principale. La separazione vorticosa (ted. Ablösung) che ne risulta è causa, oltre che di maggior resistenza al moto, di oscillazioni della pressione e di diminuzione di portata nei condotti; è perciò buona regola cercare di evitarla.

Si possono ottenere buoni risultati con un'adatta profilatura, quando si tratti di condotti convergenti, facendo sì che il moto risulti sempre accelerato lungo la parete. L'artificio dell'aspirazione dello strato limite per mezzo di fessure, già studiato per i profili alari, ha trovato pure applicazione alle strutture idrauliche (L. Escande), con la possibilità di evitare il distacco della corrente anche se a contatto di pareti divergenti.

L'approfondimento di questi fenomeni ha d'altra parte rivalutato l'importanza delle analisi teoriche dei moti irrotazionali (v. idrodinamica, XVIII, p. 735; irrotazionale, XIX, p. 577; fluidodinamica, in questa App.) per una serie di fenomeni sostanzialmente di moto accelerato, in cui quest'analisi è soddisfacente sotto l'aspetto fisico. Si sono potute così studiare con buoni risultati sagome di imbocchi, forme di pile, profili di paratoie e simili, allo stesso modo come in aerodinamica subsonica si studiano profili alari e forme di minima resistenza. La rete potenziale, sia per tracciamento grafico avvalendosi della proprietà di ortogonalità tra linee di flusso e linee di egual potenziale, sia con l'ausilio della trasformazione conforme, consente di rappresentare campi di velocità bidimensionali delimitati da contorni fissi o da una superficie di separazione con altro fluido, tenendo debito conto anche degli effetti della gravità ed eventualmente della tensione superficiale. Uno strumento importante per la risoluzione di questi problemi, riconducibili matematicamente all'equazione del potenziale, è il procedimento numerico detto di rilassamento (ingl. relaxation), applicabile anche a situazioni di moto tridimensionale. Modelli analogici, sia idraulici, avvalendosi del moto laminare tra due piani (procedimento di Hele-Shaw) o di un moto di filtrazione tra contorni riprodotti in similitudine, sia elettrici, simulando il campo di moto con un conduttore elettrico o metallico, completano la serie dei mezzi di indagine dei moti irrotazionali.

Queste acquisizioni sono da riguardarsi comuni ad ogni genere di fluidi, sia liquidi sia aeriformi, e meglio si inquadrano pertanto, almeno nelle loro comuni caratteristiche, in quella disciplina che si suole modernamente denominare "meccanica dei fluidi".

Agli sviluppi di questa disciplina ha potentemente contribuito l'applicazione dei risultati dell'analisi dimensionale (v. similitudine, XXX, pp. 800-802), accettando quanto di valido questo metodo presenta nell'organica presentazione dei dati empirici (G. De Marchi, G. Supino), pur senza pretendere da esso specifiche facoltà euristi che.

Fra le possibili combinazioni adimensionali delle grandezze che intervengono nella meccanica dei fluidi, le seguenti hanno dimostrato miglior rispondenza, come quelle che rappresentano il rapporto tra forze agenti in un dato volume fluido e la relativa inerzia (L rappresenta la dimensione lineare geometrica di riferimento, U la velocità e ρ la densità):

Nella sua formulazione più complessa, un fenomeno idraulico, delimitato da contorni di data forma, è funzione dei numeri suddetti, mediante un'espressione del tipo:

Se alcuni di questi valori hanno importanza nulla, o trascurabile, tale essendo l'effetto delle rispettive forze rispetto all'inerzia, l'espressione completa di cui sopra può sensibilmente semplificarsi. D'altra parte, le grandezze che vi compaiono (escluse ovviamente quelle che costituiscono proprietà fisiche del fluido) vanno opportunamente specificate, con la guida non tanto dell'analisi dimensionale, quanto delle equazioni fondamentali che reggono il fenomeno considerato. Così ad esempio per il moto uniforme nei tubi si introduce un particolare numero di Reynolds

dove U è la velocità media e D il diametro del tubo; per gli aspetti energetici delle correnti a pelo libero (Δγ = γ) si introduce un particolare numero di Froude

dove U è ancora la velocità media ed h la profondità della corrente.

Fenomeni particolari richiedono l'impiego di altri numeri, derivati dai precedenti; così ad esempio per i processi di cavitazione si introduce un indice (detto di Thoma)

che è un particolare numero d'Eulero (p₀, U₀ pressione e velocità di riferimento). Per ogni dato contorno o profilo esiste un valore limite di quest'indice, al di sotto del quale (e cioè per σ 〈 σ_lim) insorge la cavitazione, cioè si raggiunge in qualche punto la tensione del vapore p_v. Nei fenomeni di colpo d'ariete si attribuisce importanza alla cosiddetta caratteristica di Allievi

(v. idraulica, XVIII, p. 717), la quale è la combinazione di un numero di Eulero e di un numero di Mach, ed individua il rapporto, per un dato volume, esistente fra l'energia cinetica e l'energia potenziale elastica del fluido.

Nei riguardi propriamente idraulici, lo studio delle correnti a pelo libero ha trovato una chiara formulazione su base energetica, con la netta distinzione fra stato subcritico o supercritico, fondata sulla possibilità o meno, da parte d'una perturbazione ondosa, di propagarsi contro corrente.

L'assunzione di energia specifica costante ha portato ad una chiara impostazione dei fenomeni di derivazione laterale di portata da un canale (G. De Marchi); altrettanto dicasi per l'impiego del concetto di spinta totale costante, con applicazione particolare ai canali collettori di portata. Ed in base ad un'analogia formale con le equazioni dell'aerodinamica dei fluidi compressibili, la teoria bidimensionale delle correnti piane stazionarie a pelo libero di piccola profondità e di velocità supercritica ha avuto sviluppi molto fruttuosi (v. in seguito).

Anche l'argomento dei moti ondosi nei canali (v. onde, XXV, pp. 360-361 e 366-368) ha ricevuto importanti contributi dalla teoria delle caratteristiche e dei fronti d'onda, trattando i problemi, non lineari, della propagazione di intumescenze finite nei canali poco profondi. Si sono così ottenute, estendendo e perfezionando i metodi indicati da B. Riemann e I. Massau, soluzioni di problemi applicativi, quali la propagazione di onde di piena nei fiumi, ed in particolare delle onde conseguenti all'ipotetica rottura di una diga. D'altra parte, lo studio degli effetti dissipativi dovuti all'attrito nelle onde di tipo periodico ha portato ad interessanti conclusioni sulla possibilità che l'ampiezza delle onde stesse cresca nel senso della propagazione (G. Supino).

Un argomento, connesso sia alla turbolenza sia al moto ondoso gravitazionale, che ha acquistato recentemente importanza, è quello delle cosiddette correnti di densità, cioè di liquidi sovrapposti di diversa densità. Fino a che non avviene il mescolamento, l'andamento del moto permanente, ed in particolare il profilo della superficie, possono venir indagati per estensione delle equazioni valide per una corrente a pelo libero, introducendo un valore ridotto dell'accelerazione di gravità g′ = gΔρ/ρ, dove ΔΡ è la differenza, supposta piccola, delle due densità dal loro valore medio ρ. Casi particolari interessanti sono quelli dell'introduzione in acqua dolce di un cuneo d'acqua salata, o di una corrente torbida sul fondo di un serbatoio d'acqua chiara. Nel moto vario possono esaminarsi, con analoga estensione dal caso più semplice, propagazioni di fronti d'onda interni e di onde periodiche di piccola ampiezza. Ne risulta, trascurando la dissipazione viscosa, un'inerente instabilità della superficie di contatto, già messa in luce da H. Helmholtz. L'effetto stabilizzante della viscosità si manifesta entro certi limiti, che nel caso del moto di uno strato sottile a contatto d'altro più profondo sono individuati da particolari valori dei numeri di Froude e di Reynolds riferiti alle caratteristiche del primo strato.

Il processo di mescolamento, che al di là dei limiti di stabilità si manifesta tra fluidi a contatto, ha pure luogo nell'aerazione delle correnti rapide a pelo libero animate da forte velocità. Esse si presentano allora costituite da tre parti: uno strato inferiore d'acqua con bolle d'aria in sospensione; uno strato superiore d'aria che trasporta gocce d'acqua; ed uno strato intermedio eterogeneo in cui l'acqua e l'aria si alternano. Nello strato inferiore il moto dipende dalla resistenza di parete, e la distribuzione delle velocità è quella logaritmica dei fluidi omogenei turbolenti. Nel miscuglio sovrastante l'aria si muove con velocità quasi eguale a quella massima dello strato inferiore; la dispersione delle particelle d'acqua sembra ivi regolata dalla legge del caso (M. Viparelli).

Sempre nel caso dei fluidi inomogenei, i fenomeni di sospensione di particelle in seno a correnti hanno ricevuto chiarimento dall'impostazione basata sulla teoria della diffusione turbolenta. La condizione d'equilibrio richiede che la quantità di particelle trasportate verso l'alto nel processo di mescolamento sia eguale, in un dato tempo, a quella delle particelle che tendono a depositarsi verso il basso per effetto del peso. Questa quantità è a sua volta eguale al prodotto della concentrazione locale per la cosiddetta "velocità di caduta" (un parametro, quest'ultimo, che è significativo anche per altre applicazioni, conglobando le caratteristiche fisiche della particella ed in particolare la forma e dimensione). Si ottiene, secondo ricerche di M. P. O' Brien e di H. Rouse, una legge di distribuzione delle particelle alle varie quote, che ha trovato buona conferma da indagini sperimentali. Su queste basi può essere valutata la portata di trasporto solido di una corrente, e possono venir studiate le caratteristiche dei sedimentatori.

Significativi sviluppi, specie ad opera di autori italiani (M. Marchetti, G. Evangelisti), si sono avuti in argomenti connessi alle oscillazioni nei condotti chiusi (vasche piezometriche, colpo d'ariete), per i quali le formulazioni teoriche avevano già in precedenza assunto aspetto soddisfacente. È da sottolineare l'importanza dell'applicazione dei metodi risolutivi basati sulla teoria già accennata delle caratteristiche, con il possibile impiego di calcolatrici elettroniche ad alta velocità; come puo farsi per i casi più complessi di colpo d'ariete tenendo anche conto dell'attrito.

Ai progressi della scienza idraulica hanno molto contribuito le ricerche sperimentali che si svolgono sempre più ampiamente presso Istituti e Centri di ricerca specializzati di molti paesi europei, in particolare in Francia, e negli S. U. A. Anche in Italia i laboratorî universitarî d'idraulica hanno ampliato le loro attrezzature e possibilità di ricerca; a Padova (Voltabarozzo) è sorto anche un vasto impianto all'aperto, specialmente attrezzato per la sperimentazione su grandi modelli nel campo dell'idraulica fluviale.

Gli strumenti di misura hanno rispecchiato il generale progresso, e si sono giovati soprattutto degli sviluppi dell'elettronica; è da citare particolarmente la misura delle fluttuazioni anche rapide di pressione, mediante speciali celle a variazione di resistenza elettrica. Sensibili difficoltà presentano ancora le misure locali delle velocità, specialmente quando è in gioco la loro individuazione spaziale, nonostante il progresso negli strumenti di tipo piezometrico (in particolare sonde sferiche) e nelle applicazioni dell'anemometro a filo caldo, specialmente adatto al rilievo di componenti turbolente rapidamente variabili. Sono pure stati elaborati metodi di rilievo delle velocità su basi elettromagnetica ed elettroacustica.

Per le misure di portata, specialmente di canali a uso irriguo, è stato studiato (da G. De Marchi) ed applicato con buon successo il "misuratore a risalto", dispositivo nel quale la portata, entro certi limiti, è funzione del solo carico a monte (funzionamento semimodulare). Sono stati sviluppati inoltre i metodi basati sulla diffusione di sostanze chimiche, specialmente con titolazione per via colorimetrica; ed è stato applicato il metodo termometrico a determinazioni di rendimento, e quindi di portata, nei collaudi di turbine idrauliche.

La fotografia ultrarapida, e l'impiego di gallerie idrodinamiche analoghe alle gallerie del vento dell'aerodinamica (nella fig. 1 quella del laboratorio di idraulica di Padova) hanno permesso lo studio approfondito dei fenomeni di cavitazione, prima limitato al settore delle eliche e macchine idrauliche.

Resistenza d'attrito nei condotti. - In un tubo a regime laminare lo strato limite di parete si espande a partire dall'imbocco fino a raggiungere l'asse alla distanza

dove

con D diametro del tubo e U velocità media. Superato il valore critico (Re = 2500 circa), il moto è turbolento a partire da una sezione, posta a circa x = 50D dall'imbocco, dove si fondono gli opposti strati limiti di parete, che hanno pure acquistato carattere turbolento a qualche distanza dall'imbocco. Le indagini teoriche di L. Prandtl e Th. von Kármán e quelle sperimentali di I. Nikuradse consentirono, all'incirca dal 1925 al 1935, di porre su basi scientifiche l'interpretazione dei fenomeni di moto turbolento nei condotti, particolarmente di sezione circolare. La distribuzione radiale dei valori di l e di

è all'incirca quella data dalla fig. 2 e se ne ha di conseguenza quella del coefficiente ε. Può assumersi, con sufficiente approssimazione, l = ky, con k eguale a circa 0,40 (v. aerodinamica, App. I, p. 27). Alla parete si conserva un substrato laminare, per il quale considerazioni di stabilità indicano uno spessore

essendo τ₀ lo sforzo tangenziale alla parete. Ponendo τ = τ₀ (e cioè considerando punti poco distanti dalla parete), ed assumendo col Prandtl

si ottiene

e per integrazione un'espressione del tipo:

dove y₁, è una piccola distanza dalla parete, a cui si può assegnare (dalle esperienze del Nikuradse) il valore

se il tubo è liscio, e

se il tubo è scabro, essendo e una misura della scabrezza (la prominenza delle rispettive asperità). La distinzione fra tubo liscio e tubo scabro è basata sullo spessore dello strato limite in confronto alla misura della scabrezza, cioè per δ′ > 4e si ha il primo caso e per e > 6 δ′ il secondo caso; tra i quali esiste una fase di transizione.

Ne discendono le leggi di distribuzione logaritmica delle velocità (Prandtl-von Kármán):

che sono bene verificate sperimentalmente anche a distanza dalla parete, nella zona centrale del tubo.

È interessante notare come il cosiddetto "difetto di velocità" u_max-u, se riferito alla "velocità d'attrito"

risulti dalle precedenti (e già dalle indagini di T. E. Stanton, 1911) funzione della sola distanza dalla parete (e non della maggiore o minore scabrezza), in base all'espressione:

e quindi risulti

dove U è la velocità media nella sezione. La forma delle curve "ridotte" di distribuzione della velocità è perciò la medesima qualunque sia la condizione della parete interna del tubo (fig. 3).

Da queste relazioni la velocità media U risulta data in funzione di

D'altra parte l'analisi dimensionale mostra valida la relazione

dove

funzione del numero di Reynolds

e della scabrezza relativa

Si hanno quindi, con qualche correzione numerica per tener meglio conto delle risultanze sperimentali, le relazioni di Prandtl - von Kármán:

a cui può aggiungersi (per Re 〈 100.000) la relazione di Blasius:

D'altra parte, tenendo conto della relazione

che lega lo sforzo tangenziale τ₀ alla pendenza piezometrica i, si ha infine

come relazione razionale fra il diametro, la velocità media e la pendenza piezometrica, dando ad f i valori di volta in volta più appropriati. Questi possono opportunamente desumersi, anche per il campo di transizione fra il tubo liscio e quello scabro, dalla formula proposta da C. F. Colebrook e G. M. White (1938) sulla base di numerosi dati sperimentali di varî autori:

che per e S-107??? 0 dà la precedente formula del tubo liscio e per Re S-107??? ∞ quella del tubo scabro. La formula è rappresentata graficamente (fig. 4) dalle curve del diagramma di Moody (f, Re) per varî

ove è pure indicato il campo del moto laminare per Re 〈 2500 con

L'espressione precedente può essere trasformata nella formula di Chézy-Tadini:

con

questi valori sono pure riportati in ordinate nel citato diagramma.

Le formule pratiche non razionali (tra cui quelle di Kutter, Bazin, Forchheimer, Manning-Strickler), che esprimono C in funzione del diametro D = 4 R e di un parametro che definisce la scabrezza (v. idraulica; XVIII, p. 715) trovano miglior giustificazione nel campo dei maggiori numeri di Reynolds, dove le curve

tendono a disporsi parallele all'asse delle ascisse.

Correnti a pelo libero. - La trattazione delle correnti a pelo libero come correnti lineari (assumendo in ogni sezione una distribuzione uniforme delle velocità, α = 1, ed idrostatica della pressione) acquista espressivo significato con l'introduzione dell'energia specifica riferita al fondo, data dall'espressione:

per una corrente quasi orizzontale di profondità y e di velocità media

È particolarmente semplice ed evidente il caso della sezione rettangolare molto larga, di portata q = Uy per unità di larghezza.

La funzione

per q = costante ammette un minimo per

il suo andamento, nelle variabili adimensionali

è rappresentato nella fig. 5.

Si ha pure dalla

per H = costante, un massimo ancora per

cui corrisponde

il suo andamento, nelle variabili adimensionali

è rappresentato nella fig. 6.

Si ha quindi un massimo di portata, per data energia specifica, nella stessa condizione, detta critica, per cui si ha minima energia specifica per data portata.

rappresenta l'altezza critica;

rappresenta la corrispondente velocità critica.

Le correnti per cui y>y_c e U〈U_c sono dette lente o subcritiche; quelle per cui y〈y_c e U>U_c sono dette rapide o supercritiche.

Questi caratteri sono anche individuati dai valori ≶ 1 del numero di Froude

od indice di cineticità della corrente. Si ha pure, nel moto uniforme, una pendenza critica del fondo i_c che, applicando le formule della resistenza al moto (v. sopra) può scriversi

essa varia quindi con la scabrezza dell'alveo, da valori dell'ordine di 0,001 per canali molto lisci a valori di o,006 per alvei molto scabri. Per i_f>i_c il moto uniforme è di corrente lenta, per i_f〈i_c è di corrente rapida.

La curva H (y) permette di individuare in modo significativo il moto permanente di una corrente, la cui equazione (v. idraulica, XVIII, p. 715) può scriversi

Essendo

l'andamento del pelo libero risulta dal rapporto delle derivate dell'energia specifica rispetto alla distanza longitudinale ed alla profondità.

Tenuto conto che

è ≶ 0 a seconda che y ≶ y₀ (y₀ profondità a moto uniforme) e

a seconda che y ≶ y_c, i possibili andamenti del pelo libero, per alvei a debole o forte pendenza, sono quelli indicati, rispettivamente, nella fig. 7A e 7B.

La conoscenza dei dati in una sezione (detta allora sezione di controllo) permette di ricostruire il profilo a monte e a valle.

In particolare sono sezioni di controllo quelle in cui l'altezza è univocamente determinata in funzione della portata, come avviene in corrispondenza allo stato critico (sezione d'altezza critica).

Mentre per una corrente accelerata è possibile una variazione continua dallo stato lento allo stato rapido, l'inverso, per una corrente ritardata, non è in generale possibile senza una discontinuità. L'applicazione del teorema delle quantità di moto si traduce nell'eguaglianza di valore, fra due sezioni arbitrarie, dell'espressione

che viene anche indicata come spinta totale.

Questa funzione, come la H(y), ha un minimo per y=y_c; il suo andamento, per sezione rettangolare larga, è dato nella fig. 5 in coordinate adimensionali

Per due sezioni (una in corrente rapida, una in lenta) per cui

assume valore costante, necessariamente

denuncia una diminuzione. Essa si manifesta in una discontinuità localizzata, che ha caratteristiche analoghe all'onda d'urto dei fluidi compressibili (v. aerodinamica, App. II, p. 31). Il fenomeno, intuito dal Guglielmini, è stato formulato da G. Bidone e da lui prende il nome di risalto idraulico o salto del Bidone. La relazione fra le altezze (dette coniugate) y₁ a monte ed y₂ a valle è la seguerite:

essendo F₁ il numero di Froude della corrente a monte.

La lunghezza del risalto è circa 5y₂ ed è in relazione all'angolo di espansione della vena rapida incidente, dell'ordine di 6°-8°; al disopra si forma un vortice di copertura, sede della dissipazione dell'energia.

Questa formazione netta si ha a partire da F²₁=3; al disotto si ha invece una transizione caratterizzata da ondulazioni del pelo libero. La perdita localizzata si calcola in

e cresce sensibilmente con la differenza delle profondità.

La costituzione di un risalto è perciò artificio opportuno per dissipare l'energia in eccesso di una corrente rapida.

Poiché la velocità critica

ha anche il significato di velocità relativa di propagazione di piccole perturbazioni ondose in acqua poco profonda, la velocità assoluta di queste propagazioni in una corrente di velocità U sarà data da

che, per essere U > U_c, Fr > 1, sarà solo positiva (cioè nello stesso senso del moto) nel caso che la corrente sia rapida o supercritica. A differenza dalle correnti lente o subcritiche, le correnti rapide reagiscono pertanto a disuniformità delle pareti di guida con discontinuità localizzate che denotano l'impossibilità della perturbazione a risalirle.

Riguardando queste correnti come bidimensionali, si applica ad esse, in quanto definite da un'equazione lineare alle derivate parziali del tipo iperbolico, la teoria delle linee caratteristiche. Sono, queste, linee nel piano del moto lungo le quali si propagano discontinuità nelle derivate delle grandezze rappresentative. L'inclinazione di queste linee (corrispondenti alle linee di Mach dell'aerodinamica) rispetto alla direzione iniziale della corrente è data da

Alle caratteristiche nel pian0 fisico corrispondono altre caratteristiche nel piano delle velocità, che, essendo indipendenti dalle condizioni al contorno del moto, possono venire previamente stabilite. Un'utile rappresentazione grafica è quella fornita dal diagramma epicicloidale (in coordinate polari) introdotto da Prandtl e Busemann per le correnti aeriformi supersoniche (v. aerodinamica, App. II, p. 30). Tenute presenti le relazioni d'ortogonalità fra le caratteristiche nel piano fisico e quelle nel piano delle velocità, l'uso del diagramma permette di stabilire le direzioni delle linee di perturbazione nel campo del moto, e quindi di ricavare in modo discreto i valori delle velocità e delle profondità della corrente, tenendo debito conto delle interferenze fra perturbazioni provenienti da diversi tratti delle pareti.

Lungo una parete in curva di un canale in cui non si avverta l'influenza della parete opposta, può farsi corrispondere con buona approssimazione (Th. von Kármán, D. Citrini) una profondità y in sopraelevazione o depressione rispetto alla profondità y₀ a monte della curva, data dalla relazione:

dove θ è l'angolo di deviazione dall'aniziale andamento rettilineo.

La convergenza, nel piano fisico, delle linee caratteristiche, che è sempre associata a convergenza delle pareti verso la corrente, dà luogo ad un inviluppo di queste linee, che può risultare così rilevante da costituire una netta discontinuità superficiale con locale dissipazione dell'energia. Si hanno così fronti d'onda stazionarî, bene evidenti all'osservazione delle correnti supercritiche, il cui andamento, nel caso semplice di una brusca deviazione angolare θ, si desume applicando le equazioni di continuità e delle quantità di moto alla situazione indicata in fig. 8, ottenendo la relazione:

per l'angolo β formato dal fronte di perturbazione.

Fra l'angolo β e la deviazione θ sussiste la relazione:

che è interpretata dal grafico di fig. 9.

È interessante osservare che, per piccole perturbazioni (y₂ S-107??? y₁),

cioè il fronte d'onda coincide con una linea caratteristica. D'altra parte, il fronte si dispone normale alla parete in assenza di deviazione angolare (β = 90°; θ = 0°), nelle condizioni in cui è verificata l'equazione, già riportata, del risalto.

Anche nel caso delle onde stazionarie di ampiezza finita si possono applicare i metodi d'indagine sviluppati nell'aerodinamica supersonica.

Bibl.: B. A. Bakhmeteff, Hydraulics of open channels, New York e Londra 1932; H. Rouse, Fluid mechanics for hydraulic engineers, New York e Londra 1938; G. De Marchi, Nozioni di idraulica con particolare riguardo ai problemi delle bonifiche e delle irrigazioni, Bologna 1948; H. Rouse (ed.), Engineering hydraulics, New York e Londra 1949; G. Birkhoff, Hydrodynamics, New York 1950; E. Scimemi, Compendio di idraulica, Padova 1952, rist. 1959; J. Kozény, Hydraulik, Vienna 1953; A. Ghetti, Ricerche su modelli idraulici, Padova e Milano 1955; Ch. Jaeger, Engineering fluid mechanics, Londra 1956; J. J. Stoker, Water waves, New York e Londra 1957; W. Kaufmann, Technische Hydro- und Aeromechanik, Berlino 1958; H. Schlichting, Grenzschicht-Theorie, Karlsruhe 1958; J. O. Hinze, Turbulence, New York, Toronto, Londra 1959; Ven Te Chow, Open-channel hydraulics, ivi 1959.