Il paradosso di Russell
Il contributo è tratto da Storia della civiltà europea a cura di Umberto Eco, edizione in 75 ebook
Il paradosso di Russell (1902) è la più nota smentita al principio di comprensione per cui un insieme è identificato come l’estensione di una proprietà: il paradosso colpisce contemporaneamente la teoria cantoriana degli insiemi e il sistema logico fregeano. Il suo superamento ha comportato sviluppi determinanti nell’indagine sui fondamenti della matematica e in logica.
Un’antinomia all’interno della teoria degli insiemi
Il paradosso di Russell (PR) nasce all’interno della teoria cosiddetta “ingenua” degli insiemi di Georg Cantor, spodestando la corrispondenza intuitiva tra insiemi e proprietà meglio nota come assioma di comprensione: data una arbitraria proprietà (coerente), esiste sempre un insieme formato da tutti e solo gli oggetti che godono di essa. Poiché gli insiemi possono avere altri insiemi come elementi, risulta concettualmente chiaro che alcuni insiemi possono essere elementi di se stessi: Bertrand Russell considera precisamente la proprietà di un insieme di “non appartenere a se stesso”. Sia allora R l’insieme di tutti gli insiemi che godono di questa proprietà, cioè: R = { x: x è un insieme e }. Domanda: oppure ? La risposta è la seguente:
se , allora R gode della proprietà richiesta per appartenere a R, e quindi ;
se , allora R gode della proprietà che definisce R, e quindi .
Siamo quindi in presenza di un paradosso, o per meglio dire di un’antinomia, ossia di una coppia di proposizioni tra loro contraddittorie che si implicano a vicenda.
Il paradosso è comunicato da Russell a Gottlob Frege in una lettera del 16 giugno 1902, ed è pubblicato per la prima volta nel capitolo 10 de I Principi della matematica (1903). Frege si sta accingendo a dare alle stampe il secondo volume delle Leggi fondamentali dell’Aritmetica (1903): poiché il suo sistema logico permette la deduzione formale di PR, il sistema è contraddittorio. La reazione di Cantor al paradosso fu meno “costernata” di quella di Frege: ciò che il paradosso mette in evidenza è che certe moltitudini o totalità (Vielheiten) sono troppo larghe per essere considerate unitariamente.
Di solito è attribuita a Cesare Burali-Forti la scoperta del primo paradosso della teoria cantoriana degli insiemi, nel 1897: l’insieme di tutti i numeri ordinali ha un numero ordinale che è maggiore di ogni numero ordinale della classe, contraddicendo il fatto che non esiste un massimo ordinale. Tuttavia per Burali-Forti il paradosso vive in uno stato di latenza: lo scopo dell’autore era dimostrare attraverso una reductio ad absurdum che la legge di tricotomia non vale per i numeri ordinali e solo dopo la diffusione di PR, l’argomento Burali-Forti assume il carattere di antinomia. Certamente, però, il fenomeno descritto da PR era già noto a Ernst Zermelo che l’aveva comunicato a David Hilbert un anno prima della scoperta di Russell. Nella teoria assiomatica degli insiemi di Zermelo del 1908 uno speciale assioma, l’assioma di separazione, impedisce l’esistenza di un insieme formato da tutti gli insiemi che godono della proprietà di non appartenere a se stessi.
Nel 1918 Russell propone una versione più intuitiva della sua antinomia che non fa riferimento a nozioni insiemistiche: l’unico barbiere di un certo villaggio ha ricevuto l’ordine di radere tutti e solo quelli che non radono se stessi. La domanda è: chi rade il barbiere? Se il barbiere rade se stesso, allora non può radere se stesso; se egli non rade se stesso, allora deve radersi perché l’ordinanza gli impone di radere tutti coloro che non radono se stessi (è chiaro però che la contraddizione può essere banalmente elusa immaginando l’esistenza di un barbiere donna).
Secondo Russell per immunizzare la logica e la teoria degli insiemi dalla minaccia di situazioni paradossali come la precedente, occorre rispettare ciò che egli chiama il “principio del circolo vizioso”: nessun insieme può contenere elementi definibili in termini dell’insieme stesso. Guidato da questo principio, su cui erige assieme ad Alfred North Whitehead il sistema dei Principia Mathematica (1910-1913), Russell propone di organizzare tutte le entità della teoria degli insiemi in una gerarchia di livelli o tipi: il primo livello è formato da individui, ossia da quegli oggetti che non sono insiemi; il secondo livello è formato da insiemi di individui; il terzo livello è formato da insiemi di insiemi di individui; ecc. Questa gerarchia impone delle drastiche limitazioni alla formazione di un insieme, dal momento che per appartenere a uno stesso insieme due entità devono essere dello stesso tipo. Una nuova soluzione è proposta nel 1937 da Willard van Orman Quine che elabora un sistema nel quale il principio di comprensione è ristretto a certe formule.