Il Rinascimento. Le arti matematiche

Il Rinascimento. Le arti matematiche

Le arti matematiche

Il concetto di scienze matematiche

di Eberhard Knobloch

Il Rinascimento riprese dal Medioevo il concetto delle sette artes liberales, ma già Tommaso d'Aquino nel XIII sec. aveva affermato che queste non suddividevano in modo adeguato la filosofia teoretica. Con l'istituzionalizzazione delle sette arti meccaniche, si accrebbe non soltanto il numero delle scienze, in particolare nell'area della filosofia pratica, ma si moltiplicarono anche le scienze matematiche comprese nel quadrivium. Nello stesso tempo mutò la loro posizione entro le classificazioni delle scienze.

Le nuove tendenze emergono nel discorso che Johann Müller Regiomontano (1436-1476) tenne a Padova nel 1464 sul valore e sull'utilità della matematica. La matematica è definita come scienza della quantità ‒ scientia considerativa quantitatis. Nella tradizione di Aristotele (384/383-322 a.C.) sono distinti due tipi di quantità (genera quantitatis), continua e discreta, alle quali corrispondono, rispettivamente, la geometria e l'aritmetica. Entrambe queste artes rappresentano le branche principali (membra praecipua) del genus matematica.

Regiomontano continua a usare il concetto di quadrivium, ma esso non corrisponde più all'articolazione delle scienze matematiche. Tra le discipline secondarie, infatti, egli annovera l'astronomia, la musica e la prospettiva, ossia l'ottica. Seguendo Tommaso d'Aquino, egli definisce tali discipline anche come 'scienze intermedie', in quanto si collocano tra la geometria e l'aritmetica da un lato, e le scienze della Natura dall'altro. Altre scienze secondarie, meno affidabili, sarebbero quelle dei pesi (statica), degli acquedotti, del rapporto delle velocità nel moto, e via dicendo. Per le prime cinque scienze Regiomontano cita i nomi di famosi autori sia antichi sia medievali, primi tra tutti Euclide (300 a.C. ca.), Archimede (287-212 a.C.) e Apollonio (240-170 a.C. ca.) per la geometria, ancora Euclide, Diofanto (III sec. d.C.), Nicomaco di Gerasa (I-II sec. d.C.), Boezio (480 ca.-524/525), Giordano Nemorario (XIII sec.) per l'aritmetica. Nei 13 libri di Diofanto, non ancora tradotti in latino, sarebbe contenuto il fiore dell'intera aritmetica, l'Ars rei et census ‒ la teoria dell'incognita x (res) e della sua potenza quadrata x² (census) ‒ quella che oggi designiamo col nome arabo 'algebra'. Questa osservazione attesta la grande considerazione di Regiomontano per l'algebra, considerata ancora una branca dell'aritmetica, un'opinione che troverà peraltro un riflesso anche nel XVII sec. nel titolo dell'opera di Isaac Newton Arithmetica universalis.

Al di sopra delle consorelle e delle altre scienze intermedie, al di sopra persino della geometria e dell'aritmetica, Regiomontano pone, come una perla, l'astronomia. Egli sottolinea con forza il contributo degli Arabi in questo campo, e cita in particolare al-Battānī (834-901 ca.), al-Fārġanī (m. 861 ca.) e Geber Hispalensis (Ǧābir ibn Aflaḥ, XII sec.). Lo stesso vale per l'ottica, per la quale cita Ibn al-Hayṯam (965-1039 ca.), Vitellione (Witelo, 1220/1230 ca.-1280 ca.), Ruggero Bacone (1214 ca.-1294).

Il discorso di Regiomontano termina con un'esaltazione entusiastica delle scienze matematiche. La loro conoscenza sarebbe indubbiamente tanto utile quanto necessaria in tutti gli ambiti dell'esistenza e del sapere; per i rappresentanti delle arti meccaniche e gli artigiani (nella costruzione di edifici e d'impianti per le condotte dell'acqua) e (nel movimento di oggetti) per i commercianti, i soldati, i fabbricanti di strumenti e persino per coloro che vogliono studiare Aristotele. "Come potrà infatti non essere considerato ricco colui che dispiega le vele in questo mare incommensurabile?" (Opera collectanea, p. 49).

Un'analoga esaltazione della grandezza e dell'utilità della matematica, fonte di tutte le cose create dall'uomo, si ritrova nei testi sulle macchine degli ingegneri del XVI sec., soprattutto in quelli di Agostino Ramelli (1531-1608), che pubblicò a Parigi nel 1588 un'opera dal titolo Le diverse et artificiose machine. L'introduzione, De l'excellence des mathématiques, ou il est démonstré combien elles sont necessaires pour acquirir tous les arts liberaux, riecheggia le argomentazioni di Regiomontano, sin nell'attribuzione di una natura divina alle scienze matematiche. Ramelli aveva mutuato tali idee da Federico Commandino (1509-1575), Guidobaldo Dal Monte (1545-1607) e Cristoforo Clavio (1537-1612).

Allorché Regiomontano usava il concetto medievale di prospettiva, si riferiva alla perspectiva communis ('prospettiva comune', l'arte della percezione visiva) ossia all'ottica, che includeva l'ottica geometrica, quella fisica e quella fisiologica. Essa si distingueva dalla prospettiva degli artisti del Quattrocento, che era la costruzione prospettica di rappresentazioni della realtà tridimensionale. In considerazione della matematizzazione, e quindi del carattere scientifico dell'architettura, della scultura e della pittura, gli artisti fiorentini del XV sec. non volevano più essere considerati semplici artigiani; questa rivendicazione costituirà il tema di una ricca letteratura sino a buona parte del XVII secolo. Dalla connessione con la musica, scienza inclusa nel quadrivio e quindi disciplina matematica a tutti gli effetti, essi speravano il riconoscimento dello status di arte liberale per le loro attività.

Leonardo da Vinci (1452-1519) definiva la musica 'sorella della pittura'. Nello scritto De divina proportione, pubblicato per la prima volta nel 1509, il suo amico Luca Pacioli (1445 ca.-1517) propose analogamente di classificare la pittura tra le scienze. Tale scritto esercitò una profonda influenza sugli artisti e i tecnici del suo tempo. Pacioli dedicò l'opera al duca di Milano Ludovico Maria Sforza (1452-1508), figlio di Francesco II Sforza (1401-1466). Come già aveva fatto Regiomontano, Pacioli sottolinea come le scienze matematiche siano fondamento e guida per la conoscenza di ogni altra scienza. Qui il termine 'matematica' designa l'aritmetica, la geometria, l'astrologia, la musica, la prospettiva, l'architettura, la cosmografia e alcune discipline collaterali. Gli studiosi avrebbero riconosciuto soltanto le prime quattro, considerando le altre come discipline subordinate, ossia dipendenti da esse. Pacioli sostiene per contro che la prospettiva (pittorica) è una disciplina matematica allo stesso titolo della musica. Di conseguenza, o vi sono soltanto tre scienze principali, in quanto si escludono dal quadrivio la musica e la pittura, oppure ve ne sono cinque, in quanto si annoverano anche queste ultime.

Nel 1503, pochi anni prima della pubblicazione del De divina proportione di Pacioli, apparve a Friburgo la Margarita philosophica del monaco certosino Gregor Reisch (1470 ca.-1525). Il successo di quest'opera, che può essere considerata la prima enciclopedia a stampa, fu tale che ne furono realizzate ben dieci ristampe. A differenza di Regiomontano e di Pacioli, Reisch lascia inalterato il numero delle scienze quadriviali, ma modifica sia il loro ordinamento gerarchico sia il sistema di tutte le artes liberales. Quest'ultimo è, infatti, ampliato con l'aggiunta di una scienza della Natura, di una parte psicologica e di una parte pratica. Da allora in poi i progetti enciclopedico-architettonici di organizzazione del sapere proseguiranno ininterrotti sino all'inizio del XIX secolo. Laddove Seneca (4 a.C.-65) aveva istituito una netta separazione tra matematica e filosofia, ora la filosofia è considerata la regina delle sette artes liberales, e nella tradizione allegorica di Marziano Capella (prima metà del V sec.) è raffigurata come tale anche nelle xilografie.

L'arte della navigazione, che nelle classificazioni del XVII e del XVIII sec. figurerà tra le scienze matematiche, è fatta rientrare tra le arti meccaniche di tipo puramente artigianale, che a loro volta sono parte della filosofia pratica. Delle quattro scienze matematiche, Gregor Reisch considera sia la parte teoretica sia la parte pratica (in quest'ordine). L'orientamento pratico del suo trattato trova un riflesso nelle famose xilografie che corredano il testo e illustrano le caratteristiche delle discipline facendo riferimento alla sfera delle attività pratiche.

Questa classificazione tradizionale delle scienze del quadrivio si ritrova ancora nel 1570 nell'esteso commentario di Cristoforo Clavio alla Sphaera di Giovanni di Sacrobosco (attivo nel 1230). Come Regiomontano, anche Clavio si attiene alla caratterizzazione aristotelica delle discipline matematiche; queste avrebbero per oggetto le quantità discrete o continue, cui corrispondono le due coppie delle arti tradizionali del quadrivio. Tuttavia, nel compilare i suoi trattati matematici, Clavio non si attenne a questo schema, come attestano le sue opere dedicate all'algebra (1608), alla gnomonica (1581) e all'astrolabio (1593).

La matematica nelle università

di Eberhard Knobloch

L'insegnamento della matematica si afferma nelle università europee a partire dal Tardo Medioevo, ma soltanto gradualmente e con differenze significative tra i vari paesi. Nell'Università di Parigi le discipline matematiche erano relegate ai margini del curriculum artistico ed erano considerate di rango inferiore; spesso erano i teologi a dedicarsi agli studi del quadrivio. In Italia, per contro, matematica e astrologia, in quanto scienze ausiliarie della medicina, rientravano tra le discipline canoniche delle Facoltà delle arti e di conseguenza il loro insegnamento era spesso affidato ai professori di medicina. In Germania le scienze matematiche entrarono nelle università nel XV sec., grazie all'influenza dell'Umanesimo e dei matematici di corte.

La tradizione dei teologi con interessi matematici perdurò nei paesi d'oltralpe sino al XVI secolo. Giovanni di Gmunden (1383-1442), il fondatore della cosiddetta prima scuola matematica viennese, conseguì a Vienna nel 1415 il baccalaureato in teologia e si specializzò di sua iniziativa negli studi scientifici, preparando la strada per l'istituzione della prima cattedra di matematica dell'Università di Vienna. Tuttavia, non si trattava ancora di una istituzione stabile, tanto che dopo la sua morte nel 1442 non fu preso alcun provvedimento per assicurarne la continuità. L'idea d'introdurre insegnamenti per le singole discipline delle facoltà artistiche era, infatti, troppo estranea alle università d'oltralpe. Né l'allievo di Gmunden, Georg von Purbach (1423-1461), né l'allievo di questi Regiomontano trovarono all'Università di Vienna un posto retribuito che potesse offrire loro i mezzi finanziari per coltivare i propri interessi matematici.

Un altro esempio di matematico-teologo è il cardinale Niccolò Cusano (1400/1401-1464), al quale si devono intuizioni originali ed estremamente feconde, per quanto controverse, sulla quadratura del cerchio e sulla rettificazione della circonferenza. A partire dal 1489, nell'Università di Friburgo insegnò col titolo di magister delle arti liberali Gregor Reisch, il quale frequentò per un certo tempo anche l'Università di Ingolstadt, dove erano attivi altri due teologi che coltivavano interessi matematici, Johannes Stöffler (1452-1531) e Andrea Stiborio (m. 1515 ca.).

Le università italiane si distinguevano da quelle d'oltralpe fondamentalmente sotto tre aspetti, che ebbero grande importanza per lo sviluppo della matematica. In primo luogo, a partire dal XIV sec. le Facoltà delle arti formavano con quelle di medicina un'unità istituzionale. Non vi era una connessione con la teologia, come accadeva invece a Parigi e a Oxford. In secondo luogo, sin dall'inizio vi furono anche nelle Facoltà delle arti insegnamenti per le singole discipline del curriculum. Infine, nelle università italiane l'elemento laico aveva un peso maggiore rispetto a Parigi o a Oxford.

Sin dal XIV sec. esistevano professori di astrologia a Bologna, Padova, Firenze, Pavia e Siena, e nel secolo successivo in tutte le università italiane. Nell'Università di Bologna il professore di astrologia era scelto dagli studenti e riceveva uno stipendio dalla città. Il secondo docente per l'aritmetica, l'abaco o la geometria, la cui esistenza è attestata a partire dalla fine del XIV sec., sembra avesse lo status di matematico al servizio della città più che quello di professore universitario. Il professore di aritmetica aveva minor prestigio rispetto a quello di astrologia e questa differenza di status caratterizzò anche le università di lingua tedesca, allorché l'influenza italiana cominciò a diventare operante. Per lungo tempo nelle università tedesche l'aritmetica e la geometrica conservarono una posizione subordinata.

Tuttavia già nel XV sec., ossia prima della riforma degli studi universitari realizzata all'inizio del Cinquecento, furono istituiti singoli insegnamenti per le facoltà umanistiche e la matematica. La prima università europea in cui già all'inizio del XV sec. fu creato un insegnamento ‒ in seguito addirittura due ‒ di matematica, fu quella di Cracovia, che esercitò un influsso significativo sullo sviluppo della matematica nelle università tedesche. L'umanista con interessi matematici Conrad Celtis (1459-1508), per esempio, studiò a Cracovia dal 1488 al 1490 e riportò le esperienze fatte in quella università a Ingolstadt e successivamente a Vienna. Accanto a Heidelberg, Ingolstadt e Vienna, Wittenberg fu la quarta università tedesca in cui fu istituito un insegnamento di matematica secondo il modello di Cracovia.

Alla fine del XV sec. le scienze matematiche divennero parte integrante del programma di riforma dell'educazione propugnato dagli umanisti tedeschi. In ragione della vastità di tale programma fu usata talvolta l'espressione 'Umanesimo integrale' (in particolare tra la cerchia raccolta attorno a Celtis). Da questo 'Umanesimo integrale' restarono escluse le scienze naturali. Tuttavia, né nell'Università di Ingolstadt né in quella di Vienna gli umanisti e la riforma educativa da essi propugnata ebbero un ruolo determinante nell'introduzione dell'insegnamento della matematica.

Sia agli umanisti sia ai matematici umanisti mancava il titolo accademico, in quanto la loro specializzazione non consentiva un inserimento nell'insegnamento universitario. Al pari dei poeti itineranti vi furono dunque anche matematici itineranti ‒ come, per esempio, Johannes Tolhopf (m. 1503) ‒ che cambiavano costantemente corti e università alla ricerca di un posto fisso. In Germania esistevano sino alla metà del XVI sec. matematici che avevano studiato all'università ma che erano privi del grado di magister, e che esercitavano la professione senza aspirare a un titolo accademico superiore. Al pari dei lectores umanistici, essi erano esclusi dalla Facoltà delle arti. Tra questi vi furono Johannes Stabius (m. 1522), Pietro Apiano (1495-1552) e Filippo Apiano (1531-1589) a Ingolstadt, e Johannes Hyltebrand a Tubinga (metà del XVI sec.). Anche Georg von Purbach aveva un semplice baccellierato artistico quando, nel 1449, tenne a Padova i suoi corsi di matematica. Tra i matematici di professione a Wittenberg vi erano però anche alcuni magistri, come Erasmus Reinhold (1511-1553) e Georg Joachim Rhaeticus (1514-1576), cui restava precluso l'accesso a un titolo superiore a quello di 'lettore di matematica'. Nella stessa Wittenberg chi, come Filippo Melantone (1497-1560), si adoperò per una riforma in senso umanistico delle università, dimostrò anche una grande considerazione per i matematici di professione. Tuttavia, nella misura in cui determinati elementi del programma educativo umanistico furono recepiti nei curricula delle Facoltà delle arti, i matematici di professione persero il sostegno dell'Umanesimo e incominciarono a dedicarsi alla medicina. Alla fine del XVI sec. tutti i professori di matematica delle università protestanti avevano studiato e insegnato anche medicina.

Nelle università cattoliche l'insegnamento delle arti liberali passò quasi interamente nelle mani dei gesuiti. Nella principale università gesuita, il Collegio Romano, tre anni dopo la fondazione (1553) fu istituita una cattedra di Mathesis cum Geometria et Astronomia affidata a Balthazar Torres (seconda metà del XVI sec.). Dopo di lui, a partire dal 1565, la cattedra fu detenuta pressoché ininterrottamente sino alla sua morte da Cristoforo Clavio. Furono i gesuiti a inserire espressamente l'insegnamento della matematica nei loro corsi di studio. Uno dei più stretti collaboratori del fondatore dell'ordine Ignazio di Loyola (1491/1492-1556) fu lo spagnolo Jerónimo Nadal (1507-1580), che prima di entrare nell'ordine era stato professore di matematica a Parigi. Dopo le sue esperienze come rettore in uno dei primi collegi gesuiti, quello di Messina, Nadal elaborò nel 1552 un ambizioso programma per la formazione matematica dei gesuiti. A Messina nel 1569 fu chiamato come professore di matematica Francesco Maurolico (1494-1575), annoverato tra i più insigni matematici del suo tempo, il quale non era un gesuita. Tuttavia, le idee di Nadal non furono decisive per l'ordine, dato che in esso la matematica conservò un ruolo marginale, anche per l'influenza di alcuni filosofi, tra cui Benito Pereira (1535-1610), che negavano dignità scientifica alla disciplina.

Un tentativo di cambiare questo stato di cose fu compiuto da Clavio, che si recò a trovare Maurolico in Sicilia nell'anno in cui questi fu nominato professore, rimanendogli poi amico per tutta la vita. Nel 1581 Clavio espose in due trattati un programma per la promozione della matematica tra i gesuiti, con riguardo sia all'insegnamento sia alla formazione dei docenti. Erano previsti due livelli d'insegnamento, uno di base e l'altro di specializzazione. Le reazioni delle province furono peraltro estremamente scettiche. Nella versione definitiva della Ratio atque institutio studiorum Societatis Iesu (1599), le pretese di uno studio particolarmente approfondito della matematica furono notevolmente ridimensionate. Nonostante le argomentazioni di Clavio, non sembra che la matematica apparisse particolarmente utile ai confratelli. Il matematico gesuita dell'Università di Ingolstadt, Cristoph Scheiner (1575-1650), per esempio, lamentava la scarsa considerazione in cui era tenuta la matematica dai professori di filosofia.

Clavio stesso preparò le necessarie opere didattiche nel quadro di un programma di pubblicazioni oltremodo ambizioso. In rapida successione, a partire dal 1570, egli pubblicò edizioni commentate dell'opera De sphaera mundi di Giovanni di Sacrobosco (1570), degli Elementi di Euclide (1574), degli Sphaerica di Teodosio (1586), e una serie di trattati sulla gnomonica (1581), sull'aritmetica pratica (1583), sulla geometria pratica (1604), sull'algebra (1608) e così via. Queste opere attestano l'immensa erudizione di Clavio, la sua competenza matematica e la sua capacità di migliorare e di semplificare il lavoro degli autori precedenti. Il suo progetto, realizzato soltanto parzialmente, era quello di approntare opere analoghe per ogni campo della matematica. I suoi commentari a Euclide e a Giovanni di Sacrobosco erano di gran lunga superiori a tutti quelli apparsi sino ad allora. Fu su questi testi che René Descartes (1596-1650) studiò la matematica presso il collegio gesuita di La Flèche, e di essi si servirono volentieri anche studiosi riformati, come, per esempio, Johannes Kepler (1571-1630). Gran parte dei libri di Clavio ebbe numerose nuove edizioni o ristampe quando l'autore era ancora in vita. Le sue varie edizioni di Euclide e della Sphaera presentavano differenze significative, in quanto, nel rielaborare quelle successive, Clavio tenne conto delle nuove conoscenze astronomiche, per esempio quelle di Giovanni Antonio Magini (1555-1617) tra il 1582 e il 1585, o di nuove edizioni di classici greci, come quella di Pappo realizzata da Federico Commandino nel 1588 (v. oltre, par. 4).

Il dibattito sulla scientificità e sui metodi della matematica

di Eberhard Knobloch

Conformemente alla dottrina aristotelica esposta negli Analitici posteriori, gli scolastici medievali consideravano la matematica una scienza perfetta e ne mettevano in risalto la natura certa. La stessa convinzione, semmai ulteriormente rafforzata, si ritrova anche nell'Umanesimo. Nel suo discorso dell'aprile 1464 sul valore e sull'utilità della matematica, Regiomontano mirava a mettere questa disciplina sullo stesso piano degli studi umanistici, dimostrando altresì che essa costituisce una via alla verità più certa della filosofia scolastica. I teoremi di Euclide, affermava Regiomontano, conservano la medesima certezza (eandem certitudinem) che possedevano mille anni fa, e le scoperte di Archimede arrecheranno alle generazioni future lo stesso godimento che procuravano ai lettori suoi contemporanei. Le discipline matematiche rappresentano una guida per i mortali che cesserà di esistere soltanto con la fine del mondo, sono le divinità supreme dei filosofi (divina philosophorum numina) cui va tributata la massima considerazione. Leonardo da Vinci, dal canto suo, asserì che nessuna indagine umana può fregiarsi del titolo di vera scienza se non si avvale di dimostrazioni matematiche.

Questa fede entusiastica nel valore della matematica fu scossa in modo duraturo verso la metà del XVI secolo. Nel 1547 Alessandro Piccolomini (1508-1578) pubblicò il Commentarium de certitudine mathematicarum disciplinarum, che metteva in discussione lo status scientifico e la certezza della matematica, segnando l'inizio di un dibattito, la cui influenza è ancora chiaramente percepibile, sulla prassi e i metodi dei matematici del XVII sec., come, per esempio, Paul Guldin (1577-1643).

Piccolomini sosteneva una posizione intermedia tra l'aristotelismo e il platonismo. Contro Aristotele e i suoi commentatori, o contro Proclo (410-485 d.C.), affermava che la matematica non ha la dignità di una scienza, senza peraltro negarne l'utilità. La matematica sarebbe una 'scienza intermedia', in quanto non può fare a meno della realtà sensibile, e tuttavia non si riduce totalmente a essa. Di conseguenza la quantità, oggetto dell'indagine matematica, non è una proprietà accidentale delle sostanze, ma è invece oggetto delle determinazioni qualitative e quantitative delle sostanze, è l'accidente più imperfetto.

Da Averroè (Ibn Rušd, 1126-1198), Piccolomini mutua la distinzione tra demonstratio quia, demonstratio propter quid e demonstratio potissima. Il primo tipo di dimostrazione procede dagli effetti alle loro cause mentre il secondo dalle cause agli effetti. Il terzo tipo, la demonstratio potissima, cioè 'superiore', è in grado di determinare sia la causa sia l'effetto. A giudizio di Piccolomini, ciò non si verifica nel caso della dimostrazione matematica.

Non sorprende che le tesi di Piccolomini dessero luogo a due schieramenti contrapposti. Se la certezza della matematica non poteva essere garantita dalla sua struttura logica, quali erano i suoi fondamenti di legittimità? Tale dibattito ebbe il merito di stimolare un'approfondita analisi delle dimostrazioni matematiche, in particolare di quelle indirette. In effetti dalla methodus dipendeva la classificazione delle demonstrationes sulle quali si sviluppò un vivace dibattito in ambito filosofico che ebbe ripercussioni tra i matematici. All'interno dell'aristotelismo veneto si segnalano Agostino Nifo (1473-1546), Marco Antonio Zimara (1470 ca.-1532 ca.) e Jacopo Zabarella (1533-1589). Inoltre, in termini più circostanziati, queste tematiche furono riprese da Cristoforo Clavio nei commenti e negli scoli alla sua edizione degli Elementi euclidei. Al metodo dell'analisi corrisponde la resolutio, cioè la demonstratio quia (per es., la risoluzione di un problema geometrico), ossia la 'dimostrazione indiretta'. La demonstratio propter quid corrisponde al metodo della sintesi, ossia alla compositio, cioè la dimostratione 'deduttiva' o 'diretta'. Una testimonanza significativa di ciò è lo scolio di Clavio alla I, 1 (che è un problema geometrico) degli Elementi euclidei. In questo scolio Clavio, presumibilmente rifacendosi al Commentarium di Alessandro Piccolomini e al commento a Euclide di Conrad Dasypodius e Christianus Herlinus del 1566, traduce esplicitamente mediante sillogismi (demonstratio explicita) la risoluzione (e, invertendo, la dimostrazione) relativa alla I, 1. La demonstratio potissima rappresenta, a sua volta, la dimostrazione deduttiva perfetta, attuata mediante proposizioni categoriche innanzi tutto necessarie e secondo i modi barbara e celarent, della prima figura sillogistica. Questa dimostrazione caratterizzava le discipline 'scientifiche' (speculative). Mentre da un lato Alessandro Piccolomini e Pietro Catena ritenevano che la matematica di norma non usasse esclusivamente la demonstratio potissima (come accade nello scolio di Cristoforo Clavio), dall'altro lato Francesco Barozzi sembrava essere di avviso contrario.

Il gesuita spagnolo Benito Pereira, professore di filosofia naturale presso il Collegio Romano e dunque collega e antagonista di Clavio, che v'insegnava matematica, fu erede e nel contempo critico di Piccolomini. Riprendendo la sua idea che il concetto di grandezza appartiene alla materia prima, ne trasse però tutte le conseguenze, senza cercare di salvare ciò che non si poteva salvare. Contro Averroé e i traduttori latini, Pereira affermò esplicitamente che la matematica è una scienza che non ha né basi metafisiche, come voleva Platone, né basi logiche, come avevano sostenuto Averroé e i traduttori latini. Essa offrirebbe soltanto un sapere coerente da un punto di vista assiomatico.

Contro l'autorità di Piccolomini, invece, prese posizione Francesco Barozzi (1537-1604), traduttore di Proclo, in un'opera del 1560. La posizione intermedia della matematica a suo avviso era strettamente legata al problema della certezza. Fine dichiarato di Barozzi era quello di confutare le nuove teorie del suo celebre avversario richiamandosi a Proclo, Platone, Aristotele e ai commentatori greci. Barozzi affermò che la certezza matematica non vale soltanto per gli oggetti elementari, ma va estesa anche alle dimostrazioni, e mise in evidenza l'inconcludenza delle argomentazioni addotte per negare la scientificità delle dimostrazioni matematiche. La rigorosa concatenazione di dimostrazioni perfette di proposizioni che discendono le une dalle altre farebbe, senza dubbio, della matematica una scienza.

In base alla definizione aristotelica degli Analitici posteriori, la conoscenza scientifica si basa su dimostrazioni in grado di risalire alle cause di ciò che è conosciuto; nella classificazione di Aristotele tali cause possono essere formali, materiali, efficienti e finali. Secondo Pereira, le dimostrazioni matematiche non soddisferebbero tale criterio. Mentre i gesuiti portoghesi a Coimbra ripresero la teoria delle dimostrazioni causali sostenuta da Pereira, il professore di matematica gesuita Giuseppe Biancani (1566-1624) cercò di confutare questa critica alle dimostrazioni geometriche nel suo trattato Sull'essenza della matematica (1615). Egli analizzò le dimostrazioni del Libro I degli Elementi di Euclide allo scopo di stabilire se esse fossero o no causali, e al pari di Barozzi arrivò alla conclusione che la maggior parte delle dimostrazioni matematiche fossero causali e quindi scientifiche, mentre alcune di esse, in particolare quelle indirette, non avrebbero tale requisito. Gli studiosi erano dunque concordi nel ritenere che le dimostrazioni indirette avessero uno status inferiore rispetto a quelle dirette, in quanto non causali.

In merito alla questione erano possibili tre posizioni, che furono poi quelle effettivamente assunte. In primo luogo, si poteva ammettere che alcune parti della matematica fossero meno scientifiche di altre; questa era, per esempio, la tesi sostenuta da Barozzi e da Biancani. In secondo luogo, si poteva cercare di dare una nuova interpretazione del concetto di causalità in modo da includervi tutti i tipi di dimostrazione, anche quelle indirette. Questa posizione fu sostenuta dal commentatore di Archimede, David Rivault de Flurance (1571-1616), il quale nel 1615 respinse in particolare le critiche avanzate da Giuseppe Giusto Scaligero (1540-1609), nel suo Cyclometrica elementa duo (1594), al metodo di esaustione usato da Archimede, che richiedeva addirittura una duplice dimostrazione indiretta. Contro questa tesi Rivault sostenne che le dimostrazioni dirette e quelle indirette fossero egualmente perfette. In terzo luogo, si poteva cercare di eliminare dalla matematica le dimostrazioni indirette sostituendole con le dimostrazioni dirette.

Fu proprio questa la strada che venne intrapresa da Johannes Kepler nel 1615 e da Paul Guldin tra il 1635 e il 1641. Quest'ultimo negò con forza l'equiparazione attuata da Rivault tra le dimostrazioni dirette e quelle indirette; ai suoi occhi le dimostrazioni di Archimede erano certe, ma non evidenti, e quelle di Kepler né certe né evidenti, ed egli stesso pretendeva di fornire dimostrazioni perfette, ossia certe ed evidenti, in quanto dirette.

Oltre a quelle indirette, anche altre forme di dimostrazione matematica furono messe in discussione nel XVI sec. dai commentatori di Euclide, in particolare quelle basate sul metodo di sovrapposizione e sulla congruenza. Uno dei primi esponenti di questo orientamento critico fu Jacques Peletier (1517-1582), che nella sua edizione di Euclide del 1557 mise in discussione la purezza dei metodi della geometria, in quanto la dimostrazione per sovrapposizione presupponeva il ricorso al moto, ossia alla meccanica, e quindi era in contrasto con la dignità della geometria.

François de Foix, conte di Candale (1502-1594), riconobbe la validità dell'obiezione di Peletier e cercò di sostituire le dimostrazioni di questo tipo con altre da lui stesso sviluppate nella sua traduzione latina di Euclide del 1566. Poiché tali obiezioni investivano i fondamenti stessi della geometria, Cristoforo Clavio (1574) e, successivamente, Henry Savile (1549-1622) le presero in seria considerazione e cercarono di confutarle. Clavio rimproverò a Peletier di non aver compreso che le dimostrazioni basate sul metodo di sovrapposizione di cui si serve la matematica sono di natura concettuale, e non già meccanica. Esse, concludeva Savile, sarebbero altrettanto evidenti quanto tutte le altre.

Queste discussioni di ordine metodologico furono assai feconde, in quanto indussero i matematici del Rinascimento a esaminare la legittimità, il rigore e l'evidenza delle loro dimostrazioni.

La ricezione e l'edizione delle opere degli antichi matematici greci

di Eberhard Knobloch

Gli sforzi degli umanisti mirati a rendere nuovamente accessibili gli antichi testi greci portarono anche nel campo della matematica a scoperte spettacolari, oltreché a edizioni e a commenti fondamentali. Nel 1474 il Regiomontano compilò un catalogo assai ambizioso di opere antiche e medievali che intendeva far stampare nella sua tipografia di Norimberga. Soltanto nove opere, tuttavia, apparvero tra il 1472 e il 1475, e tra quelle degli Antichi furono pubblicati intorno al 1473-1474 soltanto gli Astronomica di Marco Manilio (prima metà del I sec. d.C.). Si trattava chiaramente di una copia di un manoscritto italiano, non di un'edizione critica del testo originale, ma essa fu in assoluto la prima edizione a stampa dell'opera di Manilio.

Non ebbe miglior riuscita il progetto del siciliano Francesco Maurolico ‒ il quale era a conoscenza del programma di Regiomontano ‒ di riportare alla luce gli antichi testi matematici, in primo luogo le opere di Euclide, di Archimede e di Apollonio. In uno scambio epistolare con il suo mecenate, il viceré Juan de Vega di Sicilia (XV sec.), Maurolico espose il suo programma di rinnovamento della matematica, che prevedeva, oltre alla traduzione dei testi, anche una loro accurata revisione. Tuttavia, egli vide realizzata la pubblicazione di un'unica raccolta (1558), che comprendeva gli Sphaerica di Teodosio e di Menelao (I sec. d.C.), nonché propri Sphaerica. Poco dopo la sua morte (1575) furono pubblicati gli Opuscula mathematica con i Tre libri sulle linee orarie, scritti intorno al 1553, che rappresentano il primo trattato originale europeo in cui si citano le sezioni coniche, se si eccettua un trattatello di Johann Werner (1468-1528) apparso nel 1522.

I rappresentanti della Scuola di Urbino ‒ Federico Commandino, il suo allievo Guidobaldo Dal Monte e l'allievo di questi Bernardino Baldi (1553-1617) ‒ riuscirono invece a vedere realizzati i propri sforzi. L'elenco delle opere degli autori greci, che Commandino pubblicò dal 1558 sino alla sua morte, comprende scritti di Archimede, di Tolomeo (100 ca.-178 ca.), Apollonio, Euclide, Aristarco (310 ca.-230 ca.); postume apparvero le edizioni di Erone (attivo nel 65 d.C. ca.) e di Pappo. Gli interessi di Guidobaldo s'incentrarono principalmente sulla meccanica ‒ e dunque sulle opere di Archimede e di Pappo ‒ ma anche sull'ottica e sull'astronomia. Nel 1600 apparve la sua Perspectiva, in cui erano sistematizzate e generalizzate le regole della prospettiva scoperte nei precedenti 150 anni. Anche Baldi pubblicò, tra le altre cose, traduzioni latine (parziali) delle opere di Erone e di Pappo; delle sue 202 Vite de' matematici scritte tra il 1587 e il 1595, di cui la prima, la biografia di Commandino, apparve soltanto nel 1714, sino a oggi ne sono state pubblicate appena 56. Gran parte di questa prima, grande storia europea della matematica resta tuttora inedita.

Euclide

All'inizio del XV sec. esistevano varie versioni latine degli Elementi di Euclide, in particolare le traduzioni dall'arabo del XII sec. di Adelardo di Bath (1070 ca.-1160 ca.), Hermann von Kärnten (prima metà del XII sec.) e Gherardo da Cremona (1114 ca.-1187). Per la successiva recezione di Euclide nel Rinascimento, tuttavia, furono determinanti due rielaborazioni di queste traduzioni: la prima è la cosiddetta Versione II attribuita ad Adelardo di Bath, risalente al XII sec., il cui autore ‒ presumibilmente Roberto di Chester (n. 1140 o 1150) ‒ attinge a varie versioni arabe e greche facendone una sintesi; la seconda è il testo di Campano da Novara (1210 ca.-1296), di poco anteriore al 1260. Quest'ultimo non è una traduzione, bensì una rielaborazione della Versione II attribuita ad Adelardo, integrata con altri testi matematici contemporanei. Nel 1459 Regiomontano pubblicò una copia della traduzione latina di Adelardo (Norimberga, Stamdtbibliothek, Cen. VI 13). Nel catalogo (apparso a Norimberga nel 1479) delle opere sia sue sia di altri autori che Regiomontano progettava di stampare, figuravano anche gli Elementi di Euclide e una critica del testo di Campano, ma la morte sopravvenuta nel 1476 gli impedì di terminare la realizzazione del suo progetto.

Il celebre tipografo di Augusta Erhard Ratdold (m. 1528 ca.) fu attivo a Venezia tra il 1475 e il 1486; egli riuscì a stampare proprio in questa città il testo di Campano (1475), che fu uno dei primi libri a stampa corredati da figure matematiche. Venezia divenne così il centro degli studi euclidei. Nel 1505 l'umanista veneziano Bartolomeo Zamberti (1473-1539 ca.) pubblicò una nuova traduzione latina degli Elementi direttamente dal greco, basata sull'edizione di Teone di Alessandria (seconda metà del IV sec.); egli, tuttavia, non aveva a disposizione un buon manoscritto greco. Zamberti criticò aspramente Campano, definendolo 'traduttore barbarissimo'. Con ambizione tipicamente umanistica, egli intendeva ridare il testo autentico di Euclide e far sì che alla matematica fosse riconosciuto un posto di primo piano nella cultura filosofica quale collegamento tra Natura e teologia. Zamberti negò giustamente l'autenticità dei Libri XIV e XV degli Elementi, attribuendoli a Ipsicle ‒ cui in realtà si deve soltanto il Libro XIV ‒ ma riteneva anche, a torto, che Teone avesse aggiunto tutte le dimostrazioni come commento alle proposizioni di Euclide. La sua edizione degli Elementi comprendeva anche alcune opere minori di Euclide: Phaenomena, Catoptrica, Optica e Data.

Nonostante le critiche di Zamberti, l'edizione euclidea di Campano ebbe altre pubblicazioni. Luca Pacioli, il quale nel 1508 tenne a Venezia una serie di lezioni su Euclide, respinse con forza le critiche di Zamberti, imputando gli errori di Campano al trascrittore; nel 1509 pubblicò a Venezia un testo emendato da tali errori, definendo Campano 'traduttore attendibilissimo'. Questo conflitto tra la versione di Campano e la traduzione umanistica di Zamberti suscitò un interesse particolare tra gli umanisti parigini. Nel 1516 Jacques Le Fèvre d'Étaples (1455 ca.-1537), uno dei più illustri umanisti del suo tempo, pubblicò un'edizione di Euclide che riportava entrambe le versioni, quella di Campano e quella di Zamberti. In questa forma, o pubblicata singolarmente, la traduzione di Zamberti ebbe altre cinque edizioni, apparse a Venezia, Parigi e Basilea tra il 1510 e il 1588. Quest'ultima traduzione perse la sua rilevanza a seguito di due circostanze.

In primo luogo, nel 1533 il teologo tedesco Simon Grynaeus (1493-1541) pubblicò a Basilea la prima edizione del testo greco (editio princeps). Tale edizione era basata su due manoscritti di cattiva qualità (Venezia, Biblioteca Marciana, gr. 301 e Parigi, BN, gr. 2343), e conteneva anche il commentario di Proclo sul primo libro. Questa rimase l'unica edizione integrale del testo greco sino al XVIII secolo. Le edizioni parziali dell'originale tralasciavano quasi le dimostrazioni, oppure, come per esempio quella di Conrad Dasypodius (1530 ca.-1600), comprendevano soltanto alcuni libri, in genere i primi sei.

In secondo luogo, nel 1572 Federico Commandino pubblicò un'altra traduzione in latino dal testo greco. Tuttavia, prima che apparisse il lavoro di Commandino, non furono le edizioni dell'originale ad avere un ruolo determinante, bensì le versioni di Campano e di Zamberti. Le traduzioni latine di Oronce Fine (1494-1555) del 1536, o di Jacques Peletier (1557), si basarono su Zamberti o su Campano, quelle di François de Foix, conte di Candale (1566), su entrambi. De Foix aggiunse un Libro XVI sui poliedri regolari, e nell'edizione del 1578 addirittura altri due, in cui erano trattati anche alcuni poliedri semiregolari, come il cubottaedro (composto da sei quadrati e da otto triangoli) e l'icosidodecaedro (venti triangoli e dodici pentagoni). Nel 1559 le edizioni euclidee precedenti a quella di de Foix furono sottoposte a un'analisi critica da Jean Borrel (1492 ca.-1564 o 1572), il quale concluse che quella di Campano era la migliore, in quanto i suoi errori erano imputabili alle fonti arabe e non già a incompetenza matematica.

Per quanto riguarda le traduzioni nelle varie lingue volgari, che si basavano tutte su Campano e Zamberti, valgono le stesse considerazioni fatte per le versioni latine: l'edizione italiana del 1543 di Niccolò Tartaglia (1499/1500-1557), quella tedesca dei Libri VII-IX del 1555 effettuata da Johannes Scheubel (1494-1570) ‒ che fu la prima edizione tedesca a stampa di una parte degli Elementi ‒, quella, sempre tedesca, dei Libri I-VI di Wilhelm Holtzmann (1532-1576) apparsa nel 1562, l'edizione francese (1564) di Pierre Forcadel (m. 1576 ca.) e quella inglese (1570) di Henry Billingsley.

La nuova traduzione latina dal testo greco effettuata da Commandino nel 1572 segnò un nuovo livello della recezione di Euclide. Oltre che dell'editio princeps, egli si avvalse perlomeno anche di un altro manoscritto greco e di scoli anch'essi greci. Il suo testo fu alla base di quasi tutte le edizioni e le traduzioni sino al 1808.

La maggior parte dei commentari tra il XVI e il XVIII sec. riguardava singoli libri o parti degli Elementi. Un'edizione integralmente commentata ‒ il commentario più completo in generale ‒ fu quella di Clavio, pubblicata a Roma nel 1574. La sua versione latina si basava su Campano, Zamberti e Commandino, ed era arricchita da innumerevoli commenti, postille e digressioni. Al posto delle 465 proposizioni euclidee, Clavio ne dimostrava 1234. Come già aveva fatto nel commentario al De sphaera mundi di Giovanni di Sacrobosco, o nel trattato sull'astrolabio, egli premise una lista di aggiunte, in questo caso 13, che riteneva particolarmente importanti. Ricordiamo qui la 'dimostrazione' geometrica del postulato delle parallele, la controversia con Peletier sull'ampiezza dell'angolo a corno, o angolo di contingenza (formato da una tangente a un cerchio e il rispettivo arco), l'estesa trattazione dei poligoni regolari inscritti a un cerchio (connessione tra eguaglianza degli angoli ed eguaglianza dei lati), la trattazione delle grandezze proporzionali, della quadratrice ‒ una curva prodotta meccanicamente che permette di rettificare le circonferenze e quindi di quadrare il cerchio, divenuta nota attraverso il Pappo di Commandino. In tutti questi casi lo scopo di Clavio era quello di dare un giudizio, di migliorare, di generalizzare.

Esamineremo più da vicino tre dei temi sopra menzionati.

a) L'angolo di contingenza. Negli Elementi (I, def. 8, 9) Euclide definisce l'angolo piano come l'inclinazione reciproca di due linee che s'incontrano senza proseguire diritte ‒ definizione che differisce da quella moderna, secondo cui un angolo è dato dalla regione di piano compresa tra due semirette uscenti da uno stesso punto. Secondo la definizione euclidea, anche un arco e una tangente formano un angolo. Già Campano aveva messo in rilievo la differenza tra gli angoli rettilinei e questo angolo, che i Greci chiamavano angolo a corno, per il quale non vale né l'assioma di Archimede-Eudosso né il principio del valore intermedio. Peletier sostenne che l'angolo di contingenza non era un angolo autentico, mentre Clavio, al pari di de Foix, affermava che si trattava di un tipo particolare di angolo. La controversia si protrasse sino al XVII secolo.

b) Il postulato delle parallele. Nella formulazione originaria di Euclide, il postulato afferma che se due rette a e b sono tagliate da una trasversale e questa forma rispettivamente con a e b due angoli interni dalla stessa parte (angoli coniugati interni) tali che la loro somma sia minore di due retti (cioè minore di 180°), allora le due rette a e b s'incontrano da quella parte. Questa formulazione differisce da quella più usuale secondo la quale per ogni retta r e ogni punto P esterno a r, per P passa una e una sola retta (la parallela), che non interseca r. D'altra parte, si dimostra in ambito euclideo che questo enunciato è logicamente equivalente al primo. La decisione di Euclide di accogliere questa proposizione tra i postulati indimostrabili, in quanto logicamente indipendente dagli altri, era corretta, ma già nel V sec. d.C. fu criticata da Proclo, commentatore di Euclide. Mentre Campano e, sulla sua scia, Zamberti, Pacioli, Tartaglia e Commandino annoveravano l'enunciato in questione tra i postulati, de Foix e Clavio, seguendo l'editio princeps, lo includevano tra gli assiomi.

L'interesse per la questione si risvegliò con le prime edizioni a stampa del commentario di Proclo (nel 1533 nella versione originale greca, e nel 1560 nella traduzione latina di Francesco Barozzi). Il postulato era ritenuto dimostrabile (Proclo), oppure era sostituito con un altro enunciato, apparentemente più evidente. Commandino introdusse il concetto di equidistanza, mentre Clavio si richiamò al principio secondo cui una linea i cui punti sono tutti equidistanti rispetto a una retta data è essa stessa una retta. Questa era la proposta del matematico arabo Ibn al-Hayṯam, che Clavio conosceva di seconda mano. Quando, nel 1594, il commentario a Euclide erroneamente attribuito a Nasīr al-Dīn al-Tūsī (1201-1274) fu pubblicato a Roma in edizione a stampa, le traduzioni che ne furono fatte risvegliarono l'interesse per il postulato delle parallele tra i matematici dell'Europa occidentale, come, per esempio, John Wallis (1616-1703).

c) La teoria delle proporzioni. Il Libro V di Euclide, che contiene la teoria delle proporzioni, presentava notevoli difficoltà di ordine sia contenutistico sia linguistico, in ragione delle corruzioni del testo. La sua recezione avvenne, di conseguenza, in tre fasi. Alla riscoperta del testo euclideo seguì una fase di sistematizzazione a opera di Commandino e di Clavio, e infine una di revisione del testo, con formulazioni alternative dettate da esigenze di maggior semplicità dei principî e delle dimostrazioni. Rifacendosi a Clavio, l'allievo di Commandino Guidobaldo Dal Monte cercò di migliorare i passi oscuri in due scritti, che sono stati resi noti soltanto in epoca recente. Il primo tentativo moderno di autentica revisione fu effettuato da Giovanni Battista Benedetti (1530-1590) nel suo Diversae speculationes mathematicae et physicae, apparso nel 1585. Egli attribuì alle proporzioni composte un ruolo chiave ed elaborò un elegante algoritmo.

Il grande interesse per la teoria delle proporzioni derivava dal fatto che, prima dell'invenzione del calcolo infinitesimale nel XVII sec., essa rappresentava il linguaggio della filosofia naturale quando a essa era applicata la matematica. Lo stesso Galileo Galilei (1564-1642), che non aveva recepito gli sviluppi della nuova algebra iniziata da François Viète (1540-1603) e da René Descartes, propose una sua revisione della teoria delle proporzioni. Essa fu pubblicata soltanto nel 1674, come 'Quinta giornata' dei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, dall'allievo Vincenzo Viviani (1622-1703), il quale peraltro fraintese o parafrasò in modo inesatto importanti concetti. Altri tentativi di riformulare la teoria delle proporzioni furono effettuati nel 1647 da Evangelista Torricelli (1608-1647) e nel 1658 da Giovanni Alfonso Borelli (1608-1679), e diedero luogo a una serie di controversie tra Viviani, Angelo Marchetti (1674-1753) e Cosimo Noferi (1602-1660).

Archimede

A causa dell'estensione e del grado di difficoltà matematica dei dodici scritti di Archimede, la sua opera fu conosciuta e recepita lentamente e, sino a buona parte del XVI sec., perlopiù soltanto in forma parziale. Della sua fama di matematico e ingegnere eccelso, tuttavia, parlavano già nel XV sec. gli umanisti italiani o attivi in Italia, come Leon Battista Alberti (1404-1472), Regiomontano o Luca Pacioli. L'ingegnere senese Mariano Daniello di Jacopo, detto Taccola (1382-1458 ca.), si vantava di essere l'Archimede di Siena. Nei paesi d'oltralpe la rinascita di Archimede fu preannunciata da Pietro Ramo (1515-1572). Il nome di Archimede divenne un simbolo della capacità di risolvere i più difficili problemi matematici o di eccezionale talento inventivo. In questo senso la matematica rinascimentale fu caratterizzata dall''archimedismo' più che dal 'platonismo'.

Il mondo latino derivò la sua conoscenza di Archimede da Bisanzio e dall'Islam, ma nessuno dei tre manoscritti bizantini ‒ indicati con le lettere A, B e C dall'editore danese Johann Ludvig Heiberg (1854-1928) ‒ contiene tutte le sue opere. Il manoscritto C divenne noto grazie all'edizione di Heiberg soltanto nel 1906. Il frate domenicano fiammingo Guglielmo di Moerbeke (1215 ca.-1286) tradusse in lingua latina tutte le opere contenute nei manoscritti A e B sino all'Arenario, e il commentario di Eutocio (500 d.C. ca.) sulla Misura del cerchio. Mancano, dunque, nella sua traduzione l'opera erroneamente nota come Metodo, il cosiddetto 'problema dei buoi', e lo Stomachion. Singole opere furono copiate da questa traduzione nel XV e nel XVI sec., ma le copie del manoscritto integrale furono assai rare. Luca Gaurico (1476-1558) pubblicò nel 1503 la traduzione di Moerbeke della Misura del cerchio e della Quadratura della parabola, Niccolò Tartaglia aggiunse a una ristampa del 1543 il Libro I dello scritto Dei corpi galleggianti e il testo Dell'equilibrio dei piani.

Verso il 1450 Giacomo da Cremona (metà del XV sec.), su commissione di Niccolò V (1398-1455, eletto papa nel 1447), effettuò una nuova traduzione latina basata sul manoscritto A, che non comprendeva Dei corpi galleggianti, ma includeva l'Arenario e il commentario di Eutocio sulla Misura del cerchio. Si conoscono perlomeno nove esemplari di questa nuova traduzione. Nel 1453, un esemplare fu inviato dal pontefice a Niccolò Cusano, il quale se ne servì per i suoi studi sulla rettificazione della circonferenza e sulla quadratura del cerchio (v. oltre ). Un altro esemplare fu emendato da Regiomontano e portato in Germania intorno al 1468. Fu questo il manoscritto usato per la stampa della versione latina dell'editio princeps dell'originale greco realizzata a Basilea nel 1544 da Thomas Geschauff (1490 ca.-1551). Essa però non comprendeva lo scritto Dei corpi galleggianti, in quanto si basava sul codice A. Oltre a questa, nel corso del XVI sec. apparvero almeno altre sei edizioni parziali delle opere di Archimede, tra cui anche l'edizione di Tartaglia della traduzione di Moerbeke (1543). Già alla fine del Quattrocento l'umanista Giorgio Valla (?-1500) aveva usato alcuni estratti degli scritti di Archimede per il suo De expetendis et fugiendis rebus opus. Nel 1503 l'astrologo Luca Gaurico inserì nella sua opera Tetragonismus gli scritti Quadratura della parabola e Misura del cerchio.

Nel 1534, basandosi su fonti medievali, Francesco Maurolico approntò una versione latina della Quadratura della parabola, della Misura del cerchio e dello scritto Sulla sfera e il cilindro. Stimolato dalla editio princeps del 1544, Maurolico realizzò tra il 1547 e il 1550 quella di altre tre opere, Dell'equilibrio dei piani, Delle spirali, Dei conoidi e degli sferoidi. Non si trattava di traduzioni nello stile di Giacomo da Cremona, bensì di revisioni in cui Maurolico aggiunse teoremi e lemmi, ne eliminò altri, modificò l'ordine degli enunciati e usò nuovi metodi là dove riteneva che ciò servisse alla chiarezza e alla coerenza dell'esposizione. L'edizione di Maurolico era aperta da un'introduzione, la Praeparatio ad Archimedis opera. Il corpus completo delle opere archimedee, tuttavia, fu pubblicato soltanto nel 1685 a Palermo da Don Cyllenius Hesperius (XVII sec.). I primi tre scritti e la Praeparatio furono ripubblicati principalmente sulla base dell'edizione palermitana, assieme a una traduzione del 1978 (Clagett 1964-84, III).

Una nuova traduzione latina di cinque opere archimedee (Misura del cerchio, con il commento di Eutocio, Delle spirali, Dei conoidi e degli sferoidi, Arenario) fu pubblicata nel 1558 da Federico Commandino, insieme a un elogio della certezza della matematica e di Archimede, indicato come autore eccelso. Nella ristampa del 1565 fu aggiunta una versione perfezionata della traduzione di Moerbeke dello scritto Dei corpi galleggianti.

Nello stesso periodo apparve la prima traduzione italiana (parziale) delle opere di Archimede, realizzata da Tartaglia (1551), e quella francese (1565) di Pierre Forcadel. Nella loro recezione degli scritti del matematico greco, Maurolico e Commandino si dimostrarono pensatori originali. Rifacendosi ai metodi di Archimede, Commandino effettuò una serie di ricerche sul baricentro, che furono incluse nell'edizione latina da lui emendata e completata dello scritto Dei corpi galleggianti con il titolo Liber de centro gravitatis solidorum (1565). Il tema fu ripreso e approfondito da Guidobaldo Dal Monte, allievo di Commandino e grande ammiratore di Archimede, e fu da lui discusso in un lungo scambio epistolare (1588-1606) con Galilei. Il suo Liber mechanicorum (1577), il più importante trattato di statica dall'Antichità, comincia con le definizioni e i postulati di Archimede sul baricentro. A Guidobaldo si deve il costituirsi di una solida tradizione archimedea nel campo della meccanica, che ebbe tra i suoi principali esponenti Giovanni Battista Benedetti (1530-1590), Simon Stevin (1548-1620), Luca Valerio (1553-1618), Galilei ed Evangelista Torricelli. Le soluzioni fornite da Archimede ai problemi delle aree e dei volumi furono alla base dell'invenzione del calcolo infinitesimale e della teoria degli indivisibili, di cui furono iniziatori al principio del XVII sec. Johannes Kepler (1609, 1615) e Bonaventura Cavalieri (1635).

Apollonio

Tra gli autori di cui Maurolico intendeva ricostruire le opere figurava anche Apollonio. Tale compito peraltro si presentava estremamente arduo, poiché della versione originale greca si era conservata soltanto l'opera principale di Apollonio, le Sezioni coniche, e anche di questa si conoscevano soltanto quattro degli otto libri originari, usati come manuale. I Libri V-VII, conservati in traduzione araba, furono conosciuti in Occidente soltanto nel 1661, nell'insoddisfacente traduzione latina di Abraham Eccellensis (m. 1664) pubblicata da Alfonso Borelli.

Le cognizioni relative alle sezioni coniche furono usate soprattutto nelle opere sull'ottica, sugli specchi ustori e sulle linee orarie. Oronce Fine pubblicò il suo trattato sugli specchi ustori nel 1551; l'analogo trattato di John Dee (1527-1608) apparve nel 1558. Lo scritto di Witelo (1225 ca.-1280 ca.) Dell'ottica fu pubblicato nel 1535 a Norimberga da Georg Tannstetter (1428-1535) e a Basilea nel 1572 da Friedrich Risner (m. 1580) assieme all'Ottica di Ibn al-Hayṯam. I primi estratti dalla teoria delle sezioni coniche di Apollonio apparvero nell'antologia di Giorgio Valla De expetendis et fugiendis rebus opus (1501) e nel Libellus … super vigintiduobus elementis conicis (1522).

Con le prime edizioni delle opere di Apollonio e di Archimede si pose il problema di separare le due tradizioni della teoria delle sezioni coniche, quella euclidea-archimedea e quella di Apollonio, che nel Medioevo erano pressoché indistinte. La prima edizione latina delle Sezioni coniche di Apollonio fu curata da Giovanni Battista Memmo (1466-1536) e fu pubblicata nel 1537, poco dopo la morte del curatore; poiché sia le conoscenze matematiche di Memmo sia le fonti manoscritte di cui disponeva erano insufficienti, sia il testo sia le figure erano piuttosto manchevoli. Maurolico portò a termine la sua fondamentale Emendatio delle Sezioni coniche nel 1547 ma, come quasi tutte le sue opere, anche questa Emendatio et restitutio conicorum Apollonii Pergaei apparve postuma, nel 1654. Essa conteneva altresì un'acuta ricostruzione dei Libri V e VI.

Intanto era già apparsa da tempo la traduzione latina di Commandino dei Libri I-V, con il commentario di Eutocio (1566). Nel 1588 Guidobaldo Dal Monte pubblicò la sua versione latina della Collectio mathematica di Pappo, nella quale questi dava notizia delle opere perdute di Apollonio. Queste informazioni destarono grande interesse, e alcuni insigni matematici intrapresero il compito di ricostruire tali opere. L'Apollonius Gallus (1600) di François Viète era una ricostruzione dello scritto sulle Tactiones. Marino Ghetaldi, allievo di Viète, ricostruì alcuni libri, andati perduti, delle Sezioni coniche (1607 e 1613).

Diofanto

L'opera di Diofanto aveva trovato accesso nel mondo scientifico della cultura sia bizantina sia islamica; per contro, nel Medioevo latino questo matematico greco rimase ampiamente sconosciuto, e soltanto nel XVI sec. la sua opera fu oggetto della debita considerazione.

Fu Regiomontano il primo a fare menzione di un manoscritto di Diofanto. Nel 1461 egli aveva intrapreso un viaggio in Italia con il cardinale Bessarione (1403 ca.-1472) e l'anno successivo, a Venezia, fu a conoscenza di un manoscritto contenente l'opera di Diofanto del XIII sec. (Venezia, Biblioteca Marciana, gr. 308). Poco tempo dopo (1464) Regiomontano tenne a Padova le sue lezioni sulle opere dell'astronomo arabo al-Farġānī. Di tali lezioni si è conservata soltanto la prolusione, che fu pubblicata a Norimberga da Johann Schöner (1477-1547) nel 1537, molti anni dopo la morte di Regiomontano. In essa, tra le più importanti fonti antiche era citato anche Diofanto. Giovanni Bianchini (m. 1469 ca.), amico di Regiomontano, era anch'egli a conoscenza del manoscritto, in quanto menzionò Diofanto in una lettera del 1464.

La prolusione di Regiomontano contribuì a risvegliare l'attenzione per Diofanto. Negli anni successivi il nome di quest'ultimo si trova menzionato anche nell'Algebra di Johannes Scheubel (1551, 1552), nell'Algèbre di Jacques Peletier (1554), nel De graecis, latinisque numerorum notis et praeterea Sarracenicis seu Indicis etc. di Joachim Camerarius il Vecchio (1500-1547), e nelle Scholae di Pietro Ramo (1569).

All'incirca nello stesso periodo, in Italia Raffaele Bombelli (1526-1572) cominciò a interessarsi a Diofanto, dopo essere venuto a conoscenza di un suo codice del XV sec. (Città del Vaticano, BAV, Vat. gr. 200). L'Algebra di Bombelli, che apparve a Bologna in due edizioni, la prima del 1572 e la seconda del 1579, conteneva nel Libro III tutta una serie di problemi tratti dall'Arithmetica di Diofanto ‒ per la precisione, dei 271 problemi di Bombelli, 147 erano ripresi dal matematico greco e, di questi, 81 corrispondevano persino nei valori numerici a quelli di Diofanto.

Anche François Viète studiò Diofanto attraverso un manoscritto del XVI sec. (Parigi, BN, gr. 2379). Negli Zeteticorum libri quinque, la raccolta di problemi che accompagnavano la sua 'nuova algebra', comparsi per la prima volta in edizione stampata a Tours nel 1593, egli riprese numerosi problemi, traducendoli però nella propria notazione algebrica.

La prima edizione a stampa delle opere di Diofanto si deve a Wilhelm Holtzmann (Xylander). Nel 1571 egli intraprese un viaggio a Lipsia e a Wittenberg, dove, nell'ottobre dello stesso anno, incontrò i matematici Sebastian Theodoricus (m. 1574) e Wolfgang Schuler (m. 1575), i quali gli mostrarono alcune pagine di un manoscritto delle opere di Diofanto appartenente ad Andreas Dudith (1533-1589). Questo manoscritto del XVI sec. (Wolfenbüttel, Herzog August Bibliothek, Gud. gr. 1) risale a due codici, l'A 91 sup. della Biblioteca Ambrosiana del XV sec. e il Vat. gr. 304 della Biblioteca Apostolica Vaticana del XIV secolo. Dudith accettò di prestare il manoscritto a Holtzmann, a condizione che questi effettuasse una traduzione in latino e un'edizione dell'originale greco. La morte sopravvenuta precocemente impedì a Holtzmann di realizzare completamente il progetto. Egli riuscì a portare a termine solo la traduzione latina, che apparve nel 1575 a Basilea con il titolo Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticarum libri sex.

Il testo greco non pubblicato da Holtzmann pervenne alla biblioteca di Heidelberg, il cui patrimonio nel 1623 fu mandato a Roma, dove il manoscritto è tuttora conservato nella Biblioteca Apostolica Vaticana (Città del Vaticano; Vat. Pal. gr. 391). La prefazione dell'edizione latina a stampa, che porta la data del 14 agosto 1574, contiene una dedica al duca Ludwig di Württemberg (che regnò dal 1568 al 1593), il quale aveva finanziato la pubblicazione; in tale prefazione Holtzmann descrive dettagliatamente le circostanze che lo avevano portato a entrare temporaneamente in possesso del manoscritto di Dudith.

Oltre alla traduzione latina, l'edizione di Holtzmann offriva un esteso commentario, chiaramente copiato, cosicché l'opera occupa 147 pagine in quarto. Per le incognite e le loro potenze Holtzmann usa una propria notazione: N, Q, QQ, QC, CC; per i numeri è usata l'abbreviazione V (che sta per unitates); i reciproci delle incognite e delle loro potenze sono designati aggiungendo l'espressione aliquota pars in questo modo: aliquota pars quadrati, aliquota pars cubi, …, aliquota pars cubo cubi; inoltre, egli si serviva dei segni del più e del meno allora usati.

Le moltiplicazioni delle incognite con le loro potenze o con le loro potenze reciproche sono commentate estesamente e illustrate con procedimenti geometrici. Holtzmann trattava complessivamente 208 problemi, laddove nelle edizioni più recenti il testo di Diofanto ne conteneva 189, in quanto considerava i lemmi come problemi. L'edizione di Holtzmann fu presa a modello da Guillaume Gosselin (m. 1590 ca.) nel 1577 e da Simon Stevin nel 1585; una seconda edizione fu pubblicata nel 1625 da Albert Girard (1595-1632).

Per quasi mezzo secolo il Diofanto di Holtzmann rimase l'unica edizione disponibile. Soltanto nel 1621 Claude-Gaspard Bachet di Méziriac (1581-1638) ne pubblicò una nuova, che comprendeva per la prima volta l'originale greco assieme a una traduzione latina perfezionata. La recezione e l'edizione delle opere di Diofanto segnarono la nascita dell'algebra moderna e nel XVII sec. influenzarono lo sviluppo dei primi approcci nel campo della teoria dei numeri.

Niccolò Cusano e la ciclometria

di Eberhard Knobloch

Tutti gli undici scritti di Niccolò Cusano del periodo compreso tra il 1444 e il 1459 sono dedicati al duplice problema della rettificazione della circonferenza (trovare un segmento di retta lungo quanto una circonferenza data) e della quadratura del cerchio (costruire un quadrato equivalente a un cerchio dato). Influenzato dalle letture delle opere di Archimede nella traduzione latina di Giacomo da Cremona, egli riteneva erroneamente di poter ricollegare i metodi di dimostrazione indiretta del matematico greco con la propria teoria della coincidentia oppositorum, in particolare tra retta e curva. Richiamandosi ad Aristotele, egli respingeva l'equiparazione tra retta e curva, e di conseguenza per lui il problema si riduceva a quello di risolvere per approssimazione i problemi della quadratura del cerchio e della rettificazione della circonferenza.

Tale opposizione, tuttavia, valeva soltanto nell'ambito di quella tra senso (sensus) e ragione (ratio). Sul piano dell'intelletto, della visio intellectualis, il principio di contraddizione che domina nel regno della ratio non sussisteva più. Per risolvere il problema della quadratura del cerchio Cusano propose un nuovo concetto matematico di eguaglianza; esso si basava sull'idea che gli oggetti matematici non esistono indipendentemente dall'intelletto umano, come aveva sostenuto Platone, ma ne sono una creazione. Soltanto nel XIX sec. questa concezione moderna della matematica sarebbe stata accettata pienamente nel mondo scientifico. Con la teoria della coincidentia oppositorum, Cusano sperava di poter perfezionare il sapere del suo tempo.

L'influenza di Archimede è evidente negli scritti De quadratura circuli del 1453 e De mathematicis complementis (1453 o 1454). Il secondo è una versione ampliata del primo, che fu pubblicato a Norimberga nel 1533 da Johann Schöner come appendice al De triangulis omnimodis di Regiomontano. Schöner si servì di un manoscritto rinvenuto tra le carte postume di quest'ultimo. Cusano aveva discusso l'opera con alcuni studiosi con i quali era in rapporti di amicizia, come Paolo Toscanelli (1397-1482) e Georg von Purbach, e fu in questo contesto che propose un metodo di costruzione per approssimazioni successive del raggio di un cerchio di cui sia nota la circonferenza. Dalla conoscenza delle relazioni funzionali tra gli elementi di una serie matematica, Cusano dedusse le proprietà matematiche dei valori limite della serie in questione. Questa intuizione fondamentale portò alle soglie di una nuova matematica dei limiti e rivestì un indubbio valore, anche se l'assunto di Cusano sull'esistenza di una relazione tra raggio e superficie dei poligoni inscritti e circoscritti al cerchio era errata. Già Toscanelli gli indicò l'errore in una lettera dell'inverno 1453-1454.

Il miglior conoscitore degli scritti matematici di Cusano fu Regiomontano. Entrambi erano amici del cardinale Bessarione. Su richiesta del suo maestro Georg von Purbach, Regiomontano sottopose a verifica i metodi di Cusano e nel 1464 espresse un giudizio estremamente critico, che per lungo tempo influenzò negativamente l'immagine di questo tipo d'indagini matematiche. A determinare la critica di Regiomontano fu principalmente il fatto che le approssimazioni di Cusano erano peggiori di quelle di Archimede, e che dunque il valore di π non era compreso tra i limiti 3 1/7 e 3 10/71. Respingendo globalmente le indagini di Cusano, Regiomontano non rese assolutamente giustizia alle feconde intuizioni contenute nel suo metodo.

L'idea che sta alla base, ossia che il cerchio è un poligono con un numero infinito di lati, fu ripresa nel 1544 da Michael Stifel nel suo Arithmetica integra. La stessa idea ricomparve nei Discorsi di Galilei (1638), il quale peraltro non fa alcuna menzione di Cusano. Tuttavia, molti elementi indicano che egli fu influenzato dalla sua opera, e ciò vale in particolare per il concetto di 'non quantità'. Cusano difatti aveva parlato di un 'non triangolo', nel caso in cui in un triangolo l'ampiezza dell'angolo opposto alla base sia progressivamente aumentata sino a 180°, in quanto in questo caso il triangolo si annulla trasformandosi in una retta.

Le indagini di Cusano furono citate o usate in modo più o meno critico dai molti autori del XVI sec. che si occuparono del problema della quadratura del cerchio o del calcolo di π, tra i quali Oronce Fine (1544), Jean Borrel (1559) e Clavio (1604). Ludolph van Ceulen (1540-1610) fu uno dei primi a valutare le idee di Niccolò Cusano senza lasciarsi influenzare dalle critiche di Regiomontano, e ne diede un giudizio altamente positivo. Nel suo scritto Van den Circkel (1569), usando il metodo di Archimede dei poligoni inscritti e circoscritti a un cerchio, egli calcolò il valore di π sino alla ventesima cifra decimale esatta, e successivamente addirittura sino alla trentacinquesima cifra esatta.

Un giudizio critico su Cusano fu espresso invece da Adrian van Roomen (1561-1615), un altro rappresentante della scuola matematica olandese tra il XVI e il XVII secolo. Nel suo scritto In Archimedis circuli dimensionem expositio et analysis (1597), egli respinge anche i calcoli errati di Oronce Fine, Giuseppe Giusto Scaligero (1694) e Raymarus Ursus (1588). Nel 1594, nella sua confutazione dell'errata quadratura del cerchio di Scaligero, Viète dimostrò che nello scritto De mathematica perfectione (1458) Cusano non forniva una soluzione per approssimazione, bensì un limite superiore per tutte le soluzioni approssimate con l'ausilio di poligoni isoperimetrici: r≲(2r_n+ϱ_n)/3, dove r_n e ϱ_n sono i raggi di una successione di poligoni regolari inscritti e circoscritti al cerchio, isoperimetrici a un cerchio di raggio r.

Regiomontano e la trigonometria

di Eberhard Knobloch

Anche nel caso della trigonometria l'Occidente cristiano all'inizio si basò esclusivamente sulle conoscenze del mondo greco e islamico. I teoremi della trigonometria sferica e piana ebbero un ruolo importante sia nell'astronomia sia nella matematica medievali. Una prima, importante tavola dei seni fu costruita nel XIV sec. su basi puramente sessagesimali da Giovanni di Lignères (m. 1350 o 1355).

Soltanto con Regiomontano, tuttavia, la trigonometria divenne un campo autonomo della matematica. Con la sua opera De triangulis omnimodis, pubblicata soltanto nel 1533, egli fornì un primo trattato sistematico. L'opera era divisa in cinque libri, i primi due dedicati alla trigonometria piana, gli altri a quella sferica. Mentre i Libri I, II e IV furono composti probabilmente tra il 1462 e il 1464, il III e il V sono sicuramente di un periodo più tardo. Tra i numerosi teoremi citeremo qui quello dei seni per i triangoli sferici nel Libro II (cioè, in ogni triangolo sferico i seni dei lati, archi, sono proporzionali ai seni degli angoli opposti) e quello dei coseni nel Libro V (cioè, in ogni triangolo sferico il coseno di un lato, arco, è uguale al prodotto dei coseni degli altri due lati più il prodotto dei seni di questi lati per il coseno dell'angolo fra essi compreso). Oltre a un gran numero di teoremi, Regiomontano presentò anche una serie di esempi applicativi.

Tavole trigonometriche erano state già compilate in precedenza da altri matematici; dal maestro di Regiomontano, Giovanni di Gmunden, da Georg von Purbach e da Giovanni Bianchini (XV sec.), con cui egli intrattenne una corrispondenza epistolare. Poiché non era stato ancora introdotto l'uso di frazioni decimali, gli autori di queste tavole, così come fece all'inizio Regiomontano, si basavano su un raggio con il numero più elevato possibile di unità, nella forma r=60⋅10ⁿ. All'incirca nello stesso periodo in cui compose la prima parte del trattato sulla trigonometria, ossia tra il 1462 e il 1464, Regiomontano costruì le prime due tavole, una con r=60⋅10³ (pubblicata nel 1490) e una con r=60⋅10⁵ (pubblicata nel 1541). Quella del 1490 fu in assoluto la prima tavola pubblicata a stampa. Tale tavola, in cui i valori dei seni di archi differiscono di 1′, fu derivata, con l'eliminazione degli ultimi due decimali, dalla seconda tavola. Quest'ultima si apre con dettagliate spiegazioni dei metodi di calcolo e con la rappresentazione dei teoremi che ne stanno alla base. Una terza tavola dei seni fu calcolata da Regiomontano nel 1468 a Buda, e si basa su un raggio di 10⁷ unità. Si tratta della prima tavola interamente decimale, in cui il ricorso a frazioni è abilmente evitato con l'uso di un numero estremamente elevato di unità del raggio. Questa tavola, assieme all'altra testé menzionata, fu anch'essa pubblicata nel 1541; inoltre, negli anni tra il 1464 e il 1467 Regiomontano elaborò una tavola dei seni con doppio ingresso, la Tabula primi mobilis, pubblicata nel 1514, che peraltro ebbe scarsa rilevanza in quanto estremamente complicata e difficile da usare.

Oltre alle tavole dei seni, Regiomontano calcolò anche una tavola delle tangenti, con r=100.000 per 1°, 2°, …, 90°, la cosiddetta Tabula fecunda, apparsa anch'essa nel 1490 assieme alle prime tavole dei seni. Le tavole trigonometriche di Regiomontano, in particolare quella decimale, fecero epoca. Come si può dimostrare attraverso un'analisi degli errori, la maggior parte delle tavole pubblicate nei due secoli successivi da altri autori furono derivate direttamente da quelle di Regiomontano.

Nuovi calcoli furono invece effettuati da Georg Joachim Rhaeticus e da Henry Briggs (1561-1630). Il primo calcolò una tavola dei seni (comprendente 32.400 valori) basata su un raggio di 10¹⁵ unità e con valori dei seni che differiscono di 10″. Oltre a ciò egli calcolò anche una tavola delle tangenti e una delle secanti. L'allievo di Rhaeticus, Valentin Otho (1550 ca.-1602), completò l'opera e la pubblicò nel 1596 nell'Opus Palatinum come Magnus canon.

Henry Briggs, dal canto suo, calcolò una tavola dei seni che era basata su un raggio di 10¹⁵ unità e comprendeva 9000 valori. È degno di nota il fatto che Briggs usò al posto del sistema di divisione sessagesimale quello decimale in centesimi. La sua trigonometria, che comprende anche una tavola delle tangenti e una delle secanti con un raggio di 10¹⁰ unità, fu pubblicata nel 1633 da Henry Gellibrand con il titolo Trigonometria britannica.

Algebra

di Eberhard Knobloch

I primi trattati di aritmetica in edizioni stampate

Nel 1455 apparve la prima Bibbia stampata, detta a 42 linee, di Johannes Gutenberg (1400 ca.-1468). Tuttavia, le prime pubblicazioni a stampa furono rappresentate dai calendari. Nella biblioteca regionale dell'Assia, per esempio, è custodito un calendario stampato nel 1448, e il cosiddetto 'Calendario turco' risale al 1454.

Le prime edizioni a stampa di opere matematiche apparvero intorno al 1475. Tra queste figura il cosiddetto 'libro xilografico', in cui le illustrazioni e il testo sono stampati con matrici incise di legno. Esistono numerosi libri xilografici risalenti al XV sec., ma questo è l'unico di argomento matematico; formato da quattordici fogli non numerati e in lingua tedesca, è un testo di aritmetica commerciale a uso dei mercanti. In esso sono presentati facili calcoli del prezzo delle merci tenendo conto della tara e dello scarto, nonché calcoli del valore di lingotti d'oro, di fiorini e di altre monete. A conclusione è posto un problema di calcolo relativo alle società commerciali.

Vi è poi il cosiddetto Algoritmo tridentino, di sole 12 pagine e sempre in lingua tedesca, stampato a Trento nel 1475 da Albert Kunne (XV sec.), in cui è illustrato il calcolo con il cosiddetto 'abaco a linee orizzontali'. Il sistema di numerazione usato è quello romano. Sono poi trattate le varie operazioni aritmetiche (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione per due, moltiplicazione e divisione). Alla fine sono presentati undici problemi relativi alla prassi commerciale e ai giochi aritmetici.

Un primo e importante progresso si ha con la cosiddetta Aritmetica di Treviso, notevolmente più estesa (123 pagine), stampata in italiano nel 1478 e anch'essa dedicata essenzialmente al calcolo commerciale. Alla rappresentazione delle operazioni aritmetiche, segue una dettagliata trattazione della regola del tre in tutte le sue varianti; i problemi di calcolo proposti riguardano principalmente le società commerciali.

Della cosiddetta Aritmetica di Bamberga del 1482 abbiamo soltanto frammenti. Di quest'opera si conosce l'autore, Ulrich Wagner (m. 1490 ca.), maestro d'aritmetica di Norimberga; i ventisei problemi che ci sono giunti riguardano senza eccezioni la pratica commerciale. Un altro libro d'aritmetica di Wagner, stampato nel 1483, si è conservato invece integralmente; un esemplare è conservato a Zwickau, un altro si trova nella Biblioteca centrale di Zurigo e un altro ancora, incompleto, ad Augusta.

Sempre nel 1483 apparve a Padova l'Algoritmus. Si tratta di un libro di aritmetica in latino concepito non più per i commercianti, ma come manuale per le scuole. In esso i due autori, Prosdocimo de' Beldomandi (1370/1380-1428) e Giovanni di Lignères trattano le operazioni aritmetiche con numeri interi e frazioni. L'Arithmetica di Pietro Borghi (m. 1494), scritta in volgare e apparsa a Venezia nel 1484, era invece destinata essenzialmente ai commercianti; essa ebbe una notevole influenza, come attestano le numerose edizioni di cui siamo a conoscenza.

In un primo tempo, dunque, dominarono le opere in volgare attinenti alla pratica commerciale, una tradizione che fu continuata con grande successo dai cosiddetti 'maestri d'abaco', come dimostrano le numerose pubblicazioni di questo genere.

Le equazioni lineari e quadratiche

Soltanto in epoca successiva apparvero libri di matematica in cui oltre all'aritmetica era trattata anche l'algebra. Una prima, estesa opera stampata che comprendeva aritmetica, algebra e geometria fu la Summa di Luca Pacioli, la cui prima edizione a stampa apparve a Venezia nel 1494. Si tratta della prima enciclopedia matematica del Rinascimento, che rappresenta un compendio di tutte le conoscenze matematiche del tempo.

L'algebra, ossia la teoria delle equazioni, aveva dietro di sé una lunga tradizione manoscritta iniziata già con al-Hwārazmī (m. 847). A lui e ai suoi successori risalivano i sistemi di notazione e i metodi di soluzione in uso. Per esempio, l'incognita era designata 'res' in latino, 'cosa' in italiano, 'dingk' in tedesco e così via, e i matematici che si occupavano di algebra oltre che di aritmetica erano chiamati 'cosisti'. Le potenze dell'incognita erano indicate di preferenza come census, cubus, census census, ecc. e abbreviate con simboli.

Al pari dei matematici arabi, anche quelli dell'Occidente cristiano consideravano i seguenti sei diversi tipi di equazione quadratica (qui presentati nella notazione moderna): ax²=bx, ax²=c, bx=c, ax²+bx=c, ax²+c=bx, bx+c=ax². Questi tipi diversi derivavano dalla tradizione, già attestata tra gli Arabi, di considerare soltanto coefficienti positivi; i coefficienti negativi erano evitati trasportandoli nell'altro membro dell'equazione. Le equazioni non erano poste come eguali a zero.

Da questi sei tipi se ne potevano ricavare innumerevoli altri moltiplicando entrambi i termini per x, x², ecc., e aggiungendo ax^n+m=bxⁿ. Ciò significava però indicare altrettante regole di soluzione.

Soltanto Michael Stifel (1486/1487-1567), nella sua Arithmetica integra apparsa a Norimberga nel 1544, riuscì a ridurre queste diverse forme di equazione quadratica a una 'forma normale' con l'introduzione di coefficienti negativi, cioè, come scriveremmo oggi, x²=±px±q. Egli poteva così limitarsi a un unico procedimento di risoluzione, che designò con l'acronimo AMASIAS, consistente nei seguenti passi:

A: (A numero incipe…). Si prenda il numero delle radici, le si divida per due e si sostituiscano le metà alle radici, dove dovranno restare sinché non sarà portata a termine l'intera operazione (vale a dire, si prenda ±p/2).

M: Si moltiplichino queste metà per sé stesse.

AS: Si addizioni o si sottragga, come richiede il segno del termine da addizionare o da sottrarre [ossia si formi (p/2)²±q].

I: (Invenienda est …) Si trovi la radice quadrata della somma o del resto [ossia, {(p/2)²±q}^1/2].

AS: Si addizioni o si sottragga ±p/2 come richiede il segno [cioè: x_1,2={(p/2)²± q)}^1/2±(p/2)].

Per quanto riguarda il simbolismo, nei trattati di aritmetica stampati i segni + e − compaiono per la prima volta nel 1489, con Johannes Widman (1462 ca.-1498 ca.), mentre il segno = fu introdotto per la prima volta nel 1557 da Robert Recorde (1510 ca.-1558). Questi sistemi di notazioni si affermarono soltanto gradualmente e accanto a essi furono usati per lungo tempo altri simboli nonché espressioni verbali usate convenzionalmente e sincopi. John Napier (1550-1617), nel suo De arte logistica, fu il primo a ricondurre sistematicamente le equazioni alla forma f(x)=0 (aequatio ad nihil); l'opera tuttavia fu pubblicata soltanto nel 1839, cosicché la forma normale f(x)=0 fu adottata soltanto a partire dalla Géométrie di Descartes e a seguito della sua recezione.

Le equazioni di terzo e quarto grado

Una delle più importanti realizzazioni della matematica rinascimentale fu la soluzione algoritmica delle equazioni generali di terzo e quarto grado. I maestri d'abaco toscani del XIV e del XV sec., come Biagio (m. 1340 ca.), Antonio de' Mazzinghi (1353-1383), Benedetto (1432?-1463 ca.) o Dardi da Pisa (metà del XIV sec.), compreso Regiomontano, raggiunsero alcuni risultati parziali nella risoluzione di questo tipo di equazioni, ma i primi a trovare la soluzione generale furono nel XVI sec. i matematici italiani della Scuola di Bologna, che segnarono un definitivo progresso rispetto alle conoscenze del passato.

Ancora nel 1494 Luca Pacioli nella sua Summa aveva affermato che la risoluzione dell'equazione cubica (cioè, di terzo grado) era impossibile quanto la quadratura del cerchio; tuttavia, egli non aspirava a formulare una teoria generale delle equazioni. Tra il 1501 e il 1502 Pacioli insegnò all'Università di Bologna, dove ebbe tra i suoi colleghi Scipione Dal Ferro (1465-1526). Fu questi che alcuni anni dopo (intorno al 1515) trovò la soluzione algoritmica dell'equazione cubica del tipo x³+bx=c (nella notazione moderna), ma non la pubblicò, secondo un'usanza all'epoca piuttosto diffusa. Egli confidò il metodo da lui scoperto al suo allievo e successore Antonio Maria Del Fiore (prima metà del XVI sec.), il quale nel 1535 sfidò Niccolò Tartaglia a risolvere tali equazioni. Tartaglia trovò il metodo di risoluzione e nel 1539, dietro pressioni del medico, matematico e filosofo naturalista Gerolamo Cardano (1501-1576), glielo rivelò, facendogli promettere di non divulgarlo. Cardano però non mantenne l'impegno, e nel 1545 pubblicò la sua versione del metodo risolutivo delle equazioni di terzo grado nell'Ars magna sive de regulis algebricis. Senza far cenno della promessa fatta, egli racconta i precedenti della scoperta citando Dal Ferro e Del Fiore, e osserva, a proposito di Tartaglia: "egli me la diede [la regola] in risposta alle mie preghiere, rifiutando però di fornirmi la dimostrazione. Armato da questa assistenza, io ne cercai la dimostrazione, il che fu assai difficile. La mia versione è la seguente".

La violazione della promessa da parte di Cardano portò a un'aspra disputa tra Tartaglia e Ludovico Ferrari (1522-1565), allievo di Cardano. Oltre a trovare la "dimostrazione" in questione, Cardano aveva considerato anche gli altri casi a cui si può ricondurre un'equazione generale di terzo grado. Due erano le principali difficoltà. In primo luogo, egli non usava coefficienti negativi, cosicché era costretto a distinguere i seguenti tre tipi:

[1] x³+bx=c,

[2] x³=bx+c,

[3] x³+c=bx.

Dal Ferro aveva risolto soltanto il primo tipo, Tartaglia i primi due. La risoluzione per il terzo tipo fu ricondotta da Cardano a quelle del secondo tipo. In tutti e tre i casi si trattava di equazioni cubiche senza termine quadratico. Dalle dieci equazioni con termine quadratico distinte da Cardano era necessario eliminare quest'ultimo mediante la trasformazione lineare, già nota prima di lui, nella forma x=y−(a/3); l'equazione cubica generale x³+ax2+bx+c=0, che in Cardano non compare in questa forma, è così ricondotta a un'equazione cubica della forma y³+py+q=0.

Un'altra difficoltà per gli algebristi del XVI sec. era costituita dal fatto che esistevano soltanto accenni di un simbolismo algebrico, sviluppati dai maestri d'abaco, in particolare dai 'cosisti' tedeschi del XVI secolo. Si trattava ancora essenzialmente di un'algebra retorica, cioè basata sull'uso di parole e abbreviazioni, in cui non erano adoperate le lettere per i coefficienti o le incognite. La trascrizione in notazione moderna dei metodi e delle soluzioni non è sufficiente a dare un'idea, nemmeno approssimativa, delle difficoltà espressive incontrate dai matematici del tempo. A ciò si aggiungeva il fatto che il rifiuto o la pregiudiziale non accettazione delle radici negative e complesse ostacolò l'affermarsi di regole generali per risolvere le equazioni.

Le equazioni del primo caso, per esempio, furono trattate da Gerolamo Cardano sotto il titolo Su un cubo con lati che sono eguali a un numero. L'idea decisiva di Tartaglia fu quella d'introdurre due quantità ausiliarie, u, v, mediante le quali calcolare il valore di x (incognita dell'equazione). In altre parole, l'equazione del tipo [1] facilmente si può ridurre al precetto risolutivo di Dal Ferro:

[4]x={c/2+[(c/2)²−(b/3)³]^1/2}^1/3+{c/2−[(c/2)²−(b/3)³]^1/2}^1/3.

Per provare che la [4] dava un valore corretto di x, Cardano usò una costruzione, ossia una dimostrazione geometrica, e la stessa cosa fece per tutti i casi di equazione da lui trattati. Ogni caso richiedeva una dimostrazione geometrica a sé stante. La [4], a seconda della grandezza di c e b, può anche contenere radici negative, e di conseguenza rappresentare numeri complessi. Ciò avviene nel cosiddetto casus irreducibilis, che corrisponde a un'equazione cubica con tre radici reali. Cardano si avvide del problema, ma nei suoi esempi numerici evitò accuratamente questo caso che peraltro era destinato ad avere un ruolo decisivo nell'introduzione dei numeri complessi.

L'idea che per rappresentare ciascuna delle tre radici reali dell'equazione fosse inevitabile ricorrere a numeri immaginari ‒ ossia a radici quadrate di numeri negativi ‒ era difficile da accettare; era più ovvio pensare a un difetto della formula risolutiva. Nel suo scritto De aequationum recognitione et emendatione, apparso postumo nel 1615, François Viète riuscì a risolvere il caso irriducibile delle equazioni cubiche usando un'identità trigonometrica. Soltanto nel 1675 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) riuscì a dimostrare che il ricorso ai numeri immaginari era, di fatto, inevitabile se la soluzione doveva essere espressa mediante radici.

Nell'Ars magna Cardano si era imbattuto occasionalmente nei numeri complessi, ma né qui né in seguito, come ebbe a lamentarsi, ne comprese la natura. In quest'opera, però, oltre alla soluzione algoritmica dei diversi tipi di equazione cubica, è presentata anche una regola per risolvere equazioni di quarto grado. Fu il suo allievo Ludovico Ferrari a indicargli il metodo per risolvere l'equazione, che consisteva nell'introdurre una grandezza ausiliaria tale da soddisfare un'equazione di terzo grado, la cosiddetta 'risolvente cubica'; in questo modo il problema era ricondotto al caso dell'equazione cubica, di cui già si conosceva il metodo di risoluzione. Cardano, tuttavia, non offrì una trattazione esauriente delle equazioni di quarto grado, probabilmente spaventato dal numero estremamente elevato dei casi che avrebbe dovuto considerare. Un'ulteriore difficoltà era costituita dal fatto che la sua concezione geometrica del grado dell'equazione escludeva una dimostrazione geometrica, ossia, per la sua concezione, una dimostrazione esatta. Per Cardano difatti il grado dell'equazione corrispondeva a una dimensione geometrica; l'incognita elevata al cubo, per esempio, si doveva interpretare con un cubo, solido geometrico. Sarebbe stato in ogni caso del tutto insensato, a suo avviso, andare oltre i limiti imposti dalla Natura.

Il più grande algebrista di Bologna, Raffaele Bombelli, era di professione ingegnere; la sua opera dimostra il ruolo determinante della riscoperta degli autori greci per gli sviluppi della matematica. Tra il 1557 e il 1560 Bombelli aveva terminato la prima stesura della sua Algebra in tre libri, per la quale dichiarava di essersi richiamato ad al-Hwārazmī, a Leonardo Fibonacci (1170 ca.-dopo il 1240) e a Pacioli.

Quando Antonio Maria Pazzi, 'pubblico lettore delle Matematiche in Roma' (XVI sec.) scoprì nella biblioteca 'di Nostro Signore in Vaticano' un manoscritto dell'Aritmetica di Diofanto, i due matematici tradussero cinque dei sette libri di cui constava l'opera. Bombelli allora riscrisse completamente il terzo libro della propria Algebra, sostituendo i problemi pratici della tradizione cosistica con 147 problemi tratti da Diofanto (v. sopra, par. 4). I primi tre libri dell'opera bombelliana apparvero a stampa nel 1572, anno in cui morì l'autore, mentre il quarto e il quinto furono pubblicati soltanto nel 1929 da Ettore Bortolotti che ne aveva ritrovato il manoscritto nella bibilioteca dell'Archiginnasio di Bologna. Bombelli focalizza l'attenzione sui rapporti tra algebra e geometria, proponendosi di considerare l'algebra alla luce del concetto greco di analisi. Nel Libro IV si ha addirittura una deroga alla legge di omogeneità dimensionale; nel senso che qualsivoglia potenza di una linea è rappresentabile come una linea. Si tratta di un aspetto che riveste un particolare interesse in rapporto a Viète.

Già il sottotitolo (Opera con la quale chiunque potrà agiungere a una perfetta conoscenza della teoria dell'aritmetica) mette in evidenza come lo scritto avesse una finalità principalmente didattica. Di fatto, esso rappresentò il trattato di algebra più sistematico dell'Italia rinascimentale, destinato a soppiantare l'Ars magna di Cardano. Bombelli introdusse una nuova notazione per le potenze delle incognite delle equazioni e una nuova terminologia, considerò esclusivamente equazioni con coefficienti positivi e si attenne alla tradizione della dimostrazione geometrica. Il casus irreducibilis dell'equazione cubica lo indusse ad accettare i 'numeri impossibili', ossia numeri immaginari. Egli propose una regola di calcolo per trattare (−1)^1/2 ("di meno"), e, rifacendosi al metodo di Ferrari, fornì una trattazione completa dei più diversi tipi di equazioni di quarto grado.

Nel XVI sec. apparvero in tutta Europa numerosi trattati di algebra. Tra i più significativi furono quelli di Jean Borrel (1559) e di Pedro Nuñez (1567), e soprattutto l'estesa opera di Simon Stevin, l'Arithmétique (1585), in cui è tenuto presente Bombelli. Poiché Stevin riteneva che i numeri esprimevano quantità, si servì di un concetto di numero che includeva anche gli irrazionali. Così, per esempio, 8^1/2 costituirebbe il numero il cui quadrato è 8. Egli rifiutava pertanto etichette quali 'irrazionale', 'assurdo', 'inesplicabile'. Un'importante opera matematica di Stevin fu De thiende, pubblicata nello stesso anno dell'Arithmétique, in cui egli, con l'ausilio di un nuovo simbolismo, introdusse l'uso sistematico dei numeri decimali.

L'impulso decisivo allo sviluppo dell'algebra moderna fu dato però da due eminenti matematici francesi, François Viète e René Descartes.

Il primo si propose espressamente di rinnovare l'algebra richiamandosi direttamente ai matematici greci e inaugurò l'idea che l'algebra è in grado di risolvere tutti i problemi matematici. Nel 1591 apparve a Tours il suo fondamentale trattato di algebra, In artem analyticen isagoge, dedicato alla sua ex allieva Cathérine de Partenay. Questo scritto fu poi completato e integrato dall'Ad logisticen speciosam notae priores, che però fu pubblicato postumo, nel 1631, a Parigi, da Jean de Beaugrand (1595 ca.-1640). Queste notae costituiscono una raccolta di proposizioni dove sono dimostrate le formule basilari del calcolo letterale. La nuova algebra di Viète, apparsa a Tours nel 1593 con il titolo Zeteticorum libri quinque, comprendeva, inoltre, una raccolta di problemi scaturiti dalla lettura di Diofanto.

Il più significativo contributo di Viète all'algebra fu l'introduzione del calcolo letterale, premessa indispensabile per il successivo sviluppo del concetto di funzione e del calcolo infinitesimale. Prima di allora le lettere o un certo tipo di lettere erano state usate soltanto per rappresentare le incognite, ma Viète le usò sistematicamente per indicare sia le quantità note sia quelle incognite (le consonanti B, G, D, … per le prime, le vocali A, E, I, O, U per le seconde). Come si legge nel cap. V, par. 5 dell'Isagoge: "Al fine di facilitare questo lavoro con un altro metodo, i termini noti sono distinti da quelli incogniti da simboli generali, fissi e facilmente riconoscibili, per esempio designando le quantità incognite con una lettera, A e le altre vocali E, I, O, U e Y, e i termini noti con le lettere B, G, D e le altre consonanti".

L'introduzione del calcolo letterale si basava su una concezione nuova dell'algebra, che consisteva nell'usare grandezze al posto dei numeri. Il concetto di grandezza era stato già introdotto dagli Antichi per le tre dimensioni ‒ linee, superfici e solidi ‒ ma Viète lo estese a n dimensioni, operando una distinzione tra grandezze scalari e grandezze comparative:

Questi due tipi di grandezze sono confrontabili sotto il profilo del grado. Per quel che riguarda le operazioni aritmetiche, occorre rispettare la legge di omogeneità dimensionale, che Viète formula nel modo seguente: "Se una grandezza è sommata a un'altra, la seconda è omogenea alla prima. Se una grandezza è sottratta da un'altra, la seconda è omogenea alla prima. Se una grandezza è moltiplicata per un'altra, il prodotto è eterogeneo sia alla prima che alla seconda. Se una grandezza è divisa per un'altra, [il quoziente] è eterogeneo alla prima" (Isagoge, cap. 3).

Questa legge vale anche per le equazioni; per esempio:'D planum in A-A cubo aequetur Z solido', cioè: b⁽²⁾x−x³=c⁽³⁾. Ciò significa che anche i numeri devono essere interpretati come aventi una dimensione (indicata nel precedente esempio in alto a destra tra parentesi nelle lettere b e c). Dato questo concetto di grandezza, Viète non poteva considerare grandezze negative, e di conseguenza non poteva eguagliare a zero le equazioni, e ammettere radici che non fossero positive.

Alla fine della sua Isagoge, Viète affrontava il problema delle grandezze con più di tre dimensioni, ma come esempio poteva citare soltanto la sezione angolare. Mise in discussione anche il fatto che le dimensioni corrispondessero a numeri interi: "Una linea retta non è comparabile a una curva, poiché un angolo è qualcosa a metà strada tra una linea retta e una figura piana. Ciò sembrerebbe contrastare con la legge dei termini omogenei" (cap. 8, par. 28). Viète aveva piena fiducia nel suo nuovo metodo, come dimostra l'asserzione conclusiva: Nullum non problema solvere.

Nelle Notae priores sono illustrate formule del tipo: (A³+B³)/(A−B)=A²+AB+B² (prop. XVII).

Gli Zeteticorum libri quinque, pubblicati nel 1593, comprendevano ottantadue problemi, ripresi direttamente o indirettamente da Diofanto.

Le Notae posteriores di Viète apparvero nel 1615 sotto il titolo De aequationum recognitione et emendatione. Qui egli attua, tra le altre cose, trasformazioni di equazioni introducendo una nuova incognita. In questo contesto è sviluppata anche la trasformazione E=A+(1/n)B che consente di eliminare da un'equazione di n-esimo grado il termine in xⁿ⁻¹. Viète dà anche alcuni esempi di come un'equazione di n-esimo grado possa essere divisa per una radice per ottenere un'equazione di grado (n−1): nel caso di un'equazione di terzo grado, la formula delle Notae priores riportata sopra fornisce una soluzione di questo genere. A conclusione del De aequationum recognitione et emendatione Viète tratta il teorema della radice, al quale è stato dato il suo nome per il caso n=2, 3, 4 e 5.

Tra i più importanti algebristi dopo Viète figurano Thomas Harriot (1631) e William Oughtred (1631); i suoi metodi furono ripresi inoltre da Pierre de Fermat e in forma perfezionata da René Descartes (1637).

Teoria dei giochi e calcolo combinatorio

di Eberhard Knobloch

In due campi ‒ la teoria dei giochi e il calcolo combinatorio ‒ i matematici del Rinascimento svilupparono alcune intuizioni destinate ad assumere una grande rilevanza nel XVII secolo. Il calcolo delle probabilità, che vide la luce in questo secolo, si ricollegava alle analisi matematiche dei giochi d'azzardo e di abilità e alla teoria delle combinazioni. Al primo ambito apparteneva il cosiddetto problema di divisione, cioè come dividere la posta tra n giocatori quando si è stabilito che essa vada interamente al giocatore che per primo abbia ottenuto s punti, e il gioco è interrotto prima che uno di essi abbia raggiunto tale risultato.

In un manoscritto fiorentino conservato nella Biblioteca Nazionale di Firenze (Magl. Cl. XI, 120), risalente al XIV sec. circa, l'autore anonimo risolve correttamente mediante un'equazione lineare il caso particolare per n=2, s=3 in una partita di scacchi interrotta nella situazione 2 a 0 (vale a dire il caso in cui un giocatore ha vinto due partite e l'altro nessuna). Il principio applicato era che l'ammontare della possibile vincita di un giocatore dovesse essere equivalente all'ammontare della sua possibile perdita, o della vincita dell'altro giocatore. Nel caso in questione ciò portava a una divisione nella proporzione 7 a 1. La soluzione corretta era chiaramente attinta da un'altra fonte, come dimostra l'analisi di un altro problema di partita interrotta senza risultato. L'argomentazione fornita contraddice il principio menzionato.

Il problema della divisione della posta tra giocatori fu trattato da vari autori nei due secoli successivi, senza che nessuno trovasse la soluzione corretta. Per il caso n=2 e una situazione p a q al momento dell'interruzione del gioco, nella sua Summa (1494) Luca Pacioli propose di dividere la posta in quest'ultima proporzione. Gerolamo Cardano respinse questa soluzione nell'ultimo capitolo della sua Practica arithmeticae generalis (1539), che è dedicato interamente agli errori di Pacioli. Nel cap. 61 egli propose il rapporto [1+2+3+…+(s−q)]:[1+2+3+…+(s−p)]. L'idea corretta era quella d'introdurre in ogni caso le vincite ancora mancanti (s−q), (s−p). Nella prima parte del suo General trattato di numeri et misure (1556), Tartaglia propose la soluzione (s+p−q):(s+q−p), senza peraltro affermare che questa potesse essere la soluzione corretta. Essa fu trovata soltanto nel 1654 da Blaise Pascal (1623-1662) e da Pierre de Fermat (1601-1665) con l'ausilio del calcolo combinatorio. Né l'uno né l'altro si ricollegarono ai loro predecessori.

La teoria delle combinazioni, che costituì la base del calcolo delle probabilità sviluppato nel XVII sec., riguardava soprattutto, sebbene non soltanto, il gioco dei dadi. Nel 1477 Benvenuto d'Imola (1336/1340-1390) pubblicò a Venezia il suo commento alla Divina Commedia di Dante, in cui analizzò il numero di combinazioni che davano un determinato punteggio con il lancio di tre dadi. Avendo commesso l'errore di non individualizzare i dadi, credeva che i punti 3 e 4 potessero essere ottenuti soltanto con una combinazione.

Cardano evitò questo errore nel suo scritto De ludo aleae, risalente al 1564 circa, ma pubblicato postumo soltanto nel 1663, e arrivò a risultati di un certo rilievo. Diversamente da quanto lascia intendere il titolo, l'opera non riguardava soltanto il gioco dei dadi o d'azzardo, ma anche i giochi di carte, in cui l'abilità e l'esperienza del giocatore hanno un ruolo essenziale. Senza arrivare alla definizione del concetto classico di probabilità, Cardano creò una propria terminologia, che gli consentì di formulare enunciati corretti sulle probabilità di parità nei giochi con più dadi.

I concetti fondamentali erano quelli di circuitus (circuito) e di aequalitas (uguaglianza). Il circuito c indicava il numero complessivo di casi possibili, l'uguaglianza era espressa da c/2. Se f è il numero dei casi favorevoli per diverse possibilità di ottenere un determinato punteggio ai dadi, Cardano calcola p=f/c (formula che oggi corrisponde alla definizione classica di probabilità). Un gioco corretto era caratterizzato dall'uguaglianza dei casi favorevoli per i due giocatori. Attraverso una serie di tentativi, Cardano usò un tipo di ragionamento in termini di media, che può essere considerato una prefigurazione della legge debole dei grandi numeri. Secondo tale principio, in una successione più lunga di tentativi ogni faccia del dado si presenta all'incirca con la stessa frequenza. Dopo alcuni errori iniziali, da lui stesso peraltro riconosciuti, Cardano derivò anche la legge della potenza per la probabilità di ripetizioni indipendenti di uno stesso evento (punteggio di un dado).

L'opera di Cardano apparve troppo tardi perché potesse influenzare lo sviluppo del calcolo delle probabilità. Diverso è il discorso per quanto riguarda ricerche puramente combinatorie, sebbene rispetto all'alto livello raggiunto in questo campo dagli Arabi maghrebini tra il XII e il XIV sec., i matematici europei non avessero offerto contributi particolarmente significativi. Nella maggior parte dei casi si tratta delle stesse idee presentate in forma diversa; il numero delle differenti disposizioni di n persone a un tavolo (permutazione senza ripetizione) fu indicato correttamente da Pacioli (1494) e sulle sue orme da Tartaglia (1556) e Jean Borrel (1559) con la formula (1⋅2⋅3⋅…⋅n); questi autori però considerarono soltanto un n specifico, per esempio 10, 11, e così via.

Analogamente, Tartaglia nel 1556 determinò il numero di combinazioni speciali con ripetizione usando otto dadi. Borrel fece lo stesso, considerando serrature a combinazione anziché dadi, per variazioni speciali con ripetizione, dove aveva un ruolo anche la successione dei numeri. Nel 1550 Cardano conosceva la regola di formazione per moltiplicazione e nel 1570 quella per addizione dei numeri di combinazioni senza ripetizione (triangolo aritmetico). Fu però Marin Mersenne (1588-1648) che dimostrò nei suoi scritti sulla teoria della musica del 1635-1636 di aver raggiunto l'ampiezza e il livello delle conoscenze degli Arabi nel campo del calcolo combinatorio.

Riforma del calendario e cronologia

di Eberhard Knobloch

Una delle più significative conquiste del Rinascimento fu senz'altro la riforma del calendario, entrata in vigore nel 1582 per decisione di papa Gregorio XIII (1502-1585, pontefice dal 1572). A seguito di questa riforma, sino al XX sec. i paesi europei ebbero calendari diversi. Infatti, la Russia, la Grecia, la Serbia, il Montenegro, la Romania e la Bulgaria adottarono il calendario gregoriano soltanto nel Novecento. Sino al 1582 era rimasto in vigore in Occidente il cosiddetto 'calendario giuliano', istituito nel 46 a.C. da Gaio Giulio Cesare (100-44 a.C.). Il calendario giuliano conteneva vari errori astronomici, ma la causa determinante della riforma fu il computo medievale della Pasqua, fondato su due assunti erronei. Nella Chiesa occidentale e durante il VI sec., conformemente alle tavole pasquali del monaco Dionigi il Piccolo (Dionysus Exiguus, VI sec. d.C.) nativo della Scizia, si era stabilito di far cadere la Pasqua nella domenica dopo il plenilunio successivo all'equinozio di primavera. I pleniluni pasquali erano calcolati in base al ciclo alessandrino di 19 anni e l'equinozio di primavera era fissato intorno al 21 marzo. La Pasqua cristiana divenne dunque una festa lunare, legata all'equinozio di primavera. La regola per il computo della Pasqua si affermò senza l'intervento dei concili o dei pontefici. Tale computo basato sui cicli non aveva nulla a che fare con le osservazioni astronomiche; i matematici e gli astronomi del XV sec. (Giovanni Regiomontano) e del secolo successivo (Michael Mästlin, 1550-1631) ne negarono la validità e propugnarono l'adozione di metodi astronomici.

Il ciclo lunare alessandrino si basava sull'assunto erroneo che 235 mesi sinodici lunari fossero equivalenti a 19 anni tropici, assumendo un anno tropico di 365 giorni e 6 ore. Mentre 19 di tali anni tropici hanno 6.939,75 giorni, 235 mesi lunari constano di 6.939,6885 giorni, e sono quindi più brevi di un'ora e 28,5 minuti. Di conseguenza, i pleniluni o i noviluni cadono in anticipo rispetto al ciclo precedente, di circa un giorno ogni 310 anni. Al tempo stesso, l'anno tropico è in realtà più breve di 11 minuti e 14 secondi, uno scarto che nel giro di 128 anni ammonta a un giorno. Per questa ragione la data dell'equinozio di primavera nell'anno giuliano regrediva costantemente. Quanto più a lungo le tavole pasquali erano calcolate secondo i principî di Dionigi il Piccolo ed erano usate per determinare la data della Pasqua, tanto più diventava evidente la discrepanza tra i pleniluni pasquali e quelli effettivi a seguito del retrocedere dell'equinozio e dell'assunto erroneo in base al quale l'equinozio primaverile era fissato al 21 marzo.

Sin dal primo Medioevo furono compiuti tentativi di porre rimedio a queste discrepanze. Nel 1411 il cardinale Pietro d'Ailly (1350-1420) scrisse un trattato sulla riforma del calendario, di cui propugnò con forza l'attuazione, in particolare nei Concili di Roma (1412) e di Costanza (1415). Tuttavia, il problema del calendario fu affrontato seriamente soltanto dal Concilio di Basilea (1434), che esaminò le proposte di Cusano e di Hermann Zoest (XV sec.). Entrambi sostenevano l'imprecisione della lunghezza dell'anno tropico su cui si basavano le Tavole alfonsine (1240-1252), che era 365 giorni, 5 ore, 49 minuti e 24 secondi. Cusano propose di eliminare una settimana dal calendario alla fine di maggio del 1439, di determinare l'epoca del plenilunio effettivo e di correggere il computo ciclico modificando il cosiddetto 'numero d'oro'. Questo numero, riferito a un anno x, si ricavava dal ciclo lunare di diciannove anni e variava ciclicamente da 1 a 19, essendo dato dal resto della divisione di x+1 per il numero 19. Per esempio, se x=1456, il suo numero d'oro è 13, poiché 1456+1=19×76+13.

Tuttavia, per una serie di difficoltà politiche, il Concilio di Basilea non pervenne ad alcuna riforma. I calendari furono tra le prime pubblicazioni a stampa, come per esempio quello di Gutenberg in foglio volante del 1448. Questi calendari civili avevano lo scopo d'indicare le lunazioni effettive, che dovevano far riferimento al meridiano locale. La necessità di riformare il calendario si rendeva dunque ancora più urgente. Poco prima del 1474, Regiomontano pubblicò a Norimberga un primo calendario in latino, e nel 1474 un secondo in tedesco, di contenuto pressoché identico. Anziché usare il computo ciclico, egli indicò i pleniluni e i noviluni astronomici. Soltanto alla fine del calendario latino considerava gli errori del computo pasquale ecclesiastico, indicandone 30 esempi per gli anni dal 1477 al 1532. Calendari di questo tipo sotto forma di fogli volanti erano assai diffusi come regalo per l'anno nuovo. Regiomontano morì nel 1476, e di conseguenza non poté portare a termine la riforma commissionatagli da Sisto IV (1414-1484, papa dal 1471).

I tentativi di riformare il calendario comunque proseguirono. Nel 1513 Paolo di Middleburg (1445-1534), vescovo di Fossombrone, pubblicò la cosiddetta Paulina, o Sul calcolo corretto della Pasqua e dei giorni della Passione di Nostro Signore Gesù Cristo; la sua proposta fu discussa in occasione del V Concilio lateranense del 1514, ma non si approdò ad alcun risultato. In tale occasione furono consultati, tra gli altri, i matematici viennesi Georg Tannstetter e Andreas Stiborius, nonché l'astronomo di Tubinga Johannes Stöffler i quali affermarono che occorreva calcolare i pleniluni pasquali in base alla tavole astronomiche, mentre la Chiesa sperava di potersi attenere ancora al computo ciclico.

Seguirono ulteriori proposte, tra le quali in ultimo quella di Luigi Lilio (Aloigi Giglio, 1510 ca.-1576). Dopo la sua morte, questa proposta fu presentata dal fratello di lui, Antonio, a Gregorio XIII. Il pontefice fece esaminare il progetto di Lilio da una commissione istituita appositamente, cui partecipò tra gli altri l'illustre matematico gesuita Cristoforo Clavio. Il giudizio espresso dagli esperti fu unanimemente positivo, e la riforma di Lilio fu accettata con poche modifiche dal pontefice, che ne decretò l'entrata in vigore con la Bolla Inter gravissimas.

Gli obiettivi perseguiti dalla riforma furono due. In primo luogo, occorreva eliminare nel calendario lo slittamento dell'equinozio di primavera, che all'epoca ammontava a dieci giorni, in modo da farlo cadere nuovamente il 21 marzo, come aveva stabilito il Concilio di Nicea nel 325. In secondo luogo, occorreva correggere il computo ecclesiastico delle lunazioni.

Il primo obiettivo fu raggiunto eliminando dieci giorni dal calendario; la Bolla papale stabilì che si passasse dalla data giovedì 4 ottobre 1582 alla data venerdì 15 ottobre (in tal modo non s'interruppe il ciclo settimanale). Nello stesso tempo fu modificata l'intercalazione degli anni bisestili: anziché calcolare un anno bisestile ogni quattro, come in passato, fu stabilito di sopprimere il bisestile in tutti gli anni divisibili per cento ma non per quattrocento, come 1700, 1800, 1900, lasciandolo invece nel 2000.

Il secondo obiettivo fu raggiunto modificando i metodi per calcolare la data della Pasqua. La modifica del sistema d'intercalazione del bisestile comportò gradatamente il cambiamento di tutti i metodi usati sino ad allora nel computus ecclesiasticus, e li rese al tempo stesso più complicati. La maggiore precisione fu acquistata a prezzo di una perdita di semplicità, cosa che si sarebbe potuta evitare se si fosse rinunciato al computo ciclico determinando le lunazioni sulla base delle tavole astronomiche. Ciò non fu fatto per due motivi. In primo luogo, le tavole delle lunazioni dell'epoca non concordavano tra loro, e dunque sarebbe stato un problema stabilire in quale data far cadere il plenilunio di primavera. In secondo luogo, il computo della Pasqua sarebbe diventato una faccenda degli astronomi, cosa inaccettabile per il pontefice. Di conseguenza, Gregorio XIII conservò il computo ciclico e ammise una lieve variazione tra le lunazioni ecclesiastiche e quelle effettive. Le epatte giuliane, che davano l'età della Luna dal 1° gennaio dell'anno, variando dunque da 1 a 29, divennero epatte 'liliane', o 'di nuovo stile', e dunque sostituirono i numeri d'oro. Il nuovo ciclo dei bisestili comportò una serie di correzioni delle epatte, che furono chiamate 'equazioni solari' e 'lunari'. In questo modo l'oscillazione del giorno pasquale fu limitata a un periodo di 35 giorni, compreso tra il 22 marzo e il 25 aprile.

Il calendario gregoriano si affermò gradualmente nei paesi cattolici, mentre in quelli non cattolici fu adottato soltanto nel XX secolo. Di conseguenza, in Europa coesistettero per due secoli due diversi calendari, quello di 'nuovo stile' e quello di 'vecchio stile'. Le differenze tra i due calendari aumentarono di un ulteriore giorno nell'anno 1700, che secondo il nuovo calendario era bisestile, mentre non lo era secondo quello vecchio.

A ostacolare l'adozione del nuovo calendario contribuì il fatto che la Bolla del 1582 fu inviata senza che ne fossero resi noti i fondamenti scientifici. A compensare questa mancanza non furono sufficienti scritti quali il Calendarium Gregorianum perpetuum, apparso nel 1582, né le Resolutioni de alcuni dubii sopra la correttione dell'Anno di Giulio Cesare di Gioseffo Zarlino (1517-1590). Numerosi critici, come il protestante Michael Mästlin, Georg Germannus (XVI sec.), François Viète e Giuseppe Giusto Scaligero avanzarono nuove proposte di riforma. Nel 1588 Clavio difese la riforma gregoriana dalle critiche di Mästlin, legittimando in particolare la conservazione del computo ciclico. In ogni caso, l'obiettivo non era quello di una perfetta concordanza tra le lunazioni effettive e quelle ecclesiastiche. Soltanto nel 1603 Clavio pubblicò su commissione di Clemente VIII (1536-1605, papa dal 1529), una dettagliata Spiegazione del calendario romano riformato da papa Gregorio XIII. Successivamente, egli pubblicò altri scritti di difesa della riforma gregoriana in risposta alle critiche di Scaligero (1609) e di Germannus (1610).

Alla fine la riforma gregoriana s'impose ovunque, in quanto in effetti offriva una concordanza di gran lunga migliore tra l'anno astronomico e il calendario medio. Essa presentava peraltro gli svantaggi di estendere il periodo di regolazione da 4 a 400 anni, di rendere il computo assai più complicato e inoltre di portare a millenni di lunghezza ineguale; i periodi di 400 anni gregoriani nel millennio hanno estensione diversa, avendo alternativamente 365, 242 e 365, 243 giorni.

I matematici pratici

di Ivo Schneider

A seguito di una serie di fattori, connessi principalmente alla situazione economica dell'Europa tardo-medievale e rinascimentale, nonché alle conseguenze delle scoperte e degli sviluppi tecnici, come, per esempio, l'invenzione della stampa e delle armi da fuoco, la matematica acquistò una nuova importanza. Le reali o presunte nuove possibilità di applicazione della matematica furono alla base delle rivendicazioni di un miglioramento di status economico o sociale da parte dei cultori della disciplina.

Questi richiami alla sfera applicativa trovano un riflesso in alcuni concetti contemporanei, come per esempio quello di 'pratica forestiera' o di 'geometria practica'. Il primo si riferiva all'ambito dell'aritmetica commerciale basata sulla regola del tre semplice, il secondo alla geodesia e all'agrimensura (inclusa la topografia mineraria) e ai metodi di misurazione con le loro connessioni con la metrologia.

Nonostante la presenza di concetti quale quello di geometria pratica, la matematica applicata del Rinascimento e del XVI sec. è inscindibilmente legata alle branche classiche della mathesis pura, vale a dire aritmetica, geometria, trigonometria e algebra. Tale connessione è sottolineata ancora nel XVIII sec. nel Lessico matematico (Mathematisches Lexicon, coll. 866-868) di Christian Wolff (1679-1754). Di conseguenza, almeno in una certa misura, una separazione tra matematica pura e matematica pratica o applicata era pressoché inconcepibile. Anche i cultori della matematica applicata, quelli che molto più tardi saranno chiamati 'matematici pratici', sotto il profilo dell'ambito di attività, dei metodi usati, dello status sociale e della dipendenza economica dall'esercizio di tale attività, costituivano un gruppo assai eterogeneo. Inoltre, tra i vari settori della matematica applicata esistevano notevoli dislivelli sociali e di conseguenza anche economici. Si può citare come esempio la biografia di Johannes Faulhaber (1580-1635), che iniziò come tessitore, in seguito fu maestro di calcolo a Ulma, dove divenne infine ingegnere delle fortificazioni con uno stipendio decuplicato rispetto a quelli precedenti.

Oltre ai maestri di calcolo, o, come tradizionalmente si dice, d'abaco, e a esperti di pesi e misure, la categoria dei matematici pratici comprendeva esperti nei campi della navigazione, della geodesia, dell'artiglieria e delle fortificazioni, inventori e costruttori di strumenti matematici, cartografi e infine autori di manuali e di trattati sull'uso degli strumenti. Tali esperti erano attivi in diverse istituzioni, come, per esempio, le scuole nautiche. Nella categoria di 'matematici pratici' figuravano inoltre semplici artigiani, che, non conoscendo il latino, erano quindi privi di un'istruzione accademica, professori universitari e matematici di corte, matematici di mestiere cui la matematica dava da vivere, e infine amatori che la coltivavano senza scopi di lucro.

Ai matematici pratici va riconosciuto il merito storico di aver da un lato conservato e divulgato le cognizioni fondamentali, principalmente matematiche, necessarie alle applicazioni pratiche, e, dall'altro lato, di aver messo a punto gli strumenti e gli apparecchi richiesti dalle scienze e dalle loro applicazioni. A essi si deve altresì lo sviluppo sia teorico che pratico di una serie di ambiti applicativi della matematica. La maggior parte di essi è e resterà anonima.

Il XVI sec. fu un'epoca estremamente fiorente per le attività dei matematici pratici. Un ruolo significativo a questo riguardo fu svolto dagli umanisti, i cui sforzi mirati a preservare, pubblicare, tradurre e commentare i testi scientifici dell'Antichità si concentrarono in modo particolare sul patrimonio di conoscenze matematiche degli Antichi. Grazie alla stampa, i frutti delle loro ricerche divennero accessibili a una cerchia assai più ampia di persone. Il nuovo interesse per i matematici greci e per le applicazioni dei metodi da loro sviluppati era fondamentalmente legato alla crisi dell'aristotelismo, le cui contraddizioni con il mondo dell'esperienza furono messe in evidenza da una cerchia sempre più vasta di critici. Una tra le varie alternative alla concezione aristotelica della Natura era quella offerta da Archimede, che aveva sviluppato un progetto di misurazione e di calcolo del cielo e della Terra e aveva fatto della meccanica, inclusa la teoria dei corpi galleggianti, una disciplina matematica. I successi applicativi, sia quelli effettivamente conseguiti dai matematici pratici più illustri sia quelli soltanto sperati dai potenti, offrirono perlomeno a una parte di essi notevoli opportunità di ascesa sociale e segnarono l'ingresso delle materie da loro insegnate nei curricula delle università tradizionali e di nuove istituzioni per la trasmissione del sapere. Nel contesto della cosiddetta rivoluzione scientifica, la matematica applicata aprì inoltre la strada a una nuova considerazione del valore dell'esperimento per la conoscenza della Natura, collegando così matematica ed esperienza, conformemente alla dottrina biblica secondo cui Dio ha creato il mondo numero, pondere et mensura.

L'influenza dei matematici pratici quali propagatori e produttori di un nuovo sapere matematico, nonché del nuovo stile da essi sviluppato soprattutto nel XVI sec., non terminò nel 1600, ma proseguì sino alla prima metà del secolo successivo, soprattutto nei paesi d'oltralpe. Lo stile tipico di molti scritti dei matematici pratici derivava soprattutto dal fatto che questi autori dovevano guadagnarsi da vivere con la loro attività di maestri autonomi o al servizio di varie istituzioni. Inoltre, metodi e cognizioni che non potevano essere acquisiti altrove avevano un valore commerciale superiore, talvolta di molto superiore, a quello dei metodi noti. Nel XVI sec. il mercato per questi nuovi prodotti matematici era già notevolmente sviluppato.

Per divulgare le loro conoscenze i maestri d'abaco e i matematici pratici adottarono sin dal principio del XVI sec. due diverse strategie. Essi, infatti, o pubblicavano i risultati conseguiti in una forma adatta, secondo i criteri dell'epoca, allo studio autodidattico, oppure pubblicavano raccolte di problemi, da intendersi come una sorta di catalogo di vendita delle loro conoscenze, le quali erano poi impartite oralmente dietro compenso.

I matematici pratici in generale non erano disposti a divulgare metodi e risultati non ancora divenuti di dominio pubblico, nel timore che gli interessati non si rivolgessero più a loro per apprenderli, ma se ne appropriassero studiando da autodidatti; per di più, la divulgazione dei loro metodi avrebbe limitato le possibilità di successo nelle sfide tra matematici all'epoca assai in voga, che stabilivano una sorta di 'ordinamento di rango' e conseguentemente il valore di mercato in particolare dei maestri d'abaco. Queste sfide, alla cui notorietà contribuì verso la metà del XVI sec. soprattutto Niccolò Tartaglia (1499/1500-1557) in relazione alla soluzione delle equazioni di terzo grado, si diffusero anche al di fuori dell'Italia.

Un altro sistema per accrescere il proprio valore di mercato consisteva nel dimostrare di conoscere il maggior numero possibile di metodi di soluzione in pressoché tutti i campi della matematica pratica. Di conseguenza, i maestri di calcolo e i matematici pratici tendevano a frammentare le loro conoscenze in una pluralità di campi diversi e a suddividere poi anche questi ultimi in una serie di problemi singoli, le cui soluzioni erano quasi sempre fornite sotto forma di regole algoritmico-precettistiche, senza ulteriori spiegazioni o indicazioni in merito al procedimento di calcolo che si era usato. I maestri d'abaco considerati più bravi erano coloro in grado di offrire una pluralità di soluzioni, ossia di regole algoritmiche, per uno stesso problema. Non ci si preoccupava delle possibili equivalenze delle soluzioni offerte, né di ricercare forme di rappresentazione chiare e univoche o di fornire dimostrazioni, ossia passaggi del ragionamento attraverso cui arrivare alla soluzione, come accadeva nei testi allora riscoperti della matematica greca, in cui gli enunciati matematici si richiamavano a principî noti. Ben presto, di conseguenza, i problemi risolvibili dai maestri d'abaco e dai matematici pratici non furono più sufficienti a soddisfare le esigenze d'informazione matematica dei loro clienti. Questa situazione portò nel XVII sec. a un conflitto d'interessi tra i matematici di professione e i loro ex-clienti i quali, come mise in luce in particolare Descartes (1596-1650), si sforzavano di ricercare le comunanze tra i metodi proposti, al fine d'individuare quelli simili e di eliminarli. A ciò era connessa anche una nuova concezione del progresso; a differenza dei maestri d'abaco e dei matematici pratici, i rappresentanti della nuova matematica ritenevano che si sarebbe compiuto un vero passo in avanti soltanto se i metodi di soluzione trovati, una volta eliminati quelli simili, fossero risultati essenzialmente diversi dai procedimenti già noti.

In ogni caso, fino a quando non si prese coscienza delle differenze tra maestri d'abaco e matematici pratici stipendiati da un lato, e amatori senza fini di lucro dall'altro lato, ossia tra una matematica applicata e una matematica coltivata soltanto per sé stessa, non poté esistere nemmeno una distinzione tra matematici pratici e matematici puri. Soltanto allorché questi ultimi cominciarono a sviluppare una propria produzione matematica, superando ben presto (per i motivi illustrati in precedenza) i matematici pratici, tale differenza poté essere percepita.

Questa trasformazione cominciò soltanto nel XVII secolo. Prima di questa evoluzione si hanno figure come quella di Gemma Frisius (1508-1555), di Niccolò Tartaglia o di Pedro Nuñez (1492-1578), ai quali si devono contributi importanti sia alla matematica pura sia alla matematica applicata del loro tempo. Lo stesso vale per Simon Stevin, di quasi due generazioni più giovane, che non soltanto coprì nei suoi lavori l'ambito complessivo della mathesis pura e della matematica pratica, ma si occupò anche di meccanica e di astronomia. Essendo intendente generale del governatore dell'Olanda, il principe Maurizio di Nassau-Orange (1567-1625), egli poté inoltre formarsi un'esperienza pratica straordinariamente ricca, divenendo uno dei più abili ingegneri del suo tempo, soprattutto nel campo delle costruzioni idrauliche e delle fortificazioni.

Un altro motivo per cui non è possibile istituire una netta distinzione tra matematica pura e matematica pratica prima del XVII sec. è dato dal fatto che all'epoca mancava ancora in larga misura quel concetto di rigore matematico che si sarebbe sviluppato soltanto successivamente, sulla scorta della distinzione cartesiana tra soluzioni rigorose e costruzioni per approssimazione con l'ausilio di curve (Géométrie, II, pp. 315-319). Inoltre, prima del XVII sec. il patrimonio esistente di conoscenze nell'ambito della matematica sia pura sia pratica era ancora facilmente padroneggiabile dai matematici di mestiere. La situazione mutò nella seconda metà del secolo con la crescente produttività dei matematici puri, i quali, essendo interessati a una rapida diffusione dei loro risultati, crearono un nuovo stile di rappresentazione e di divulgazione della loro produzione matematica.

I conseguenti rapidi progressi della disciplina imposero la distinzione tra una nuova matematica, sviluppata all'inizio in larga misura da cultori del calibro di François Viète (1540-1603), e la matematica applicata rappresentata da matematici di mestiere, che usavano metodi tradizionali e prevalentemente elementari. Per esempio, il matematico pratico Bejamin Bramer (1588-1652), in un'operetta sulla graduazione degli strumenti metrici, operava una distinzione tra il mathematicus speculativus e il mechanicus practicus, lamentando l'inadeguatezza dei metodi offerti dal primo per le applicazioni pratiche. A suo avviso, il 'pratico' doveva associare alle capacità di un matematico, soprattutto nella dimostrazione dei teoremi, le abilità meccaniche richieste dalle applicazioni pratiche (Beschreibungen und Unterricht, p. 5 e segg.). Fu nell'ambito nato dall'aritmetica e dall'algebra cosistica (v. sopra, par. 7), il quale rappresentava altresì il campo di attività tradizionale dei matematici pratici, che si delineò per la prima volta con chiarezza la separazione tra i matematici di mestiere dediti alle applicazioni pratiche e i matematici puri, ai quali si dovettero in larga misura i successivi progressi della matematica.

I maestri d'abaco italiani e tedeschi

La rivoluzione economica del Tardo Medioevo realizzatasi in Italia aveva reso i mercanti italiani i più importanti intermediari del commercio tra l'Europa e il Vicino Oriente, da cui erano importate principalmente seta e spezie. I mercanti italiani si organizzarono in società che aprirono filiali in tutte le grandi città commerciali europee e nei principali porti extraeuropei del Mediterraneo.

Questi rappresentanti del primo capitalismo svilupparono nuovi strumenti e nuovi metodi di organizzazione della circolazione tanto delle merci quanto del denaro. Tra tali innovazioni figurano il metodo di scrittura contabile noto come 'partita doppia', forme precorritrici del moderno sistema bancario e assicurativo, le lettere di cambio e di credito, e il calcolo degli interessi semplici e composti, affermatosi nonostante i divieti della Chiesa. Tutti questi metodi presupponevano il possesso di nozioni perlomeno elementari di matematica. Poiché le case commerciali italiane restavano per diverse generazioni nelle mani di una stessa famiglia, i mercanti italiani si premurarono di creare scuole apposite per l'istruzione dei propri figli.

In queste cosiddette scuole o botteghe 'd'abaco' l'aritmetica era insegnata da 'maestri d'abaco' stipendiati. Le nozioni fondamentali di matematica commerciale che vi erano insegnate comprendevano innanzi tutto le operazioni fondamentali con il sistema decimale indo-arabo, cui si aggiungevano occasionalmente il raddoppiamento e il dimezzamento, ed eventualmente l'estrazione della radice quadrata e la regola del tre semplice; queste nozioni, assieme a una serie di esercizi sotto forma di problemi, erano contenute in manuali i quali costituivano la principale fonte dell'insegnamento dei maestri d'abaco.

A differenza degli Arabi, che effettuavano i calcoli sulla sabbia e segnavano soltanto il risultato delle operazioni, i maestri d'abaco svilupparono, soprattutto per la divisione e per la moltiplicazione, una serie di forme equivalenti all'attuale calcolo scritto. Queste forme avevano in comune il fatto che erano segnati tutti i passaggi intermedi, come avveniva, per esempio, per i prodotti parziali nella moltiplicazione di numeri con più cifre. In tal modo fu possibile controllare a posteriori l'esattezza del risultato. In particolare, nella moltiplicazione di un numero di m cifre per un altro di n cifre, erano scritti tutti i possibili m n prodotti, e a seconda della forma assunta dalla disposizione dei prodotti parziali si usavano le espressioni per campana (ossia a forma di campana), o per coppa ossia per piramide.

Il tipo di disposizione assicurava che i prodotti di ogni due cifre riproducessero la corretta potenza decimale attraverso la posizione loro assegnata. Nel corso degli anni finì per affermarsi un'unica forma, che è tuttora quella usata nel mondo occidentale per la moltiplicazione scritta. Lo stesso discorso vale per l'algoritmo della divisione, che si diffuse successivamente. Le forme del cosiddetto calcolo scritto che abbiamo illustrato brevemente non sono una creazione degli Hindu e degli Arabi, ma furono inventate dai maestri d'abaco italiani tra loro in competizione.

Nei manoscritti inediti, così come nei libri d'aritmetica dei maestri d'abaco italiani, la parte dedicata agli esercizi, per lo più assai estesa, si componeva di problemi attuali e di problemi tramandati dalla tradizione, che a volte risalivano ai Babilonesi. Gli esercizi più vecchi riguardavano principalmente il campo della matematica elementare e quello, a essa parzialmente collegato, della geometria pratica. Di quest'ultima erano trattati problemi di determinazione di aree di poligoni e di solidi semplici, come anche applicazioni del teorema di Pitagora, quali il calcolo dell'altezza di una torre. La maggioranza degli esercizi riguardava problemi commerciali, come la formazione dei prezzi, lo scambio, lo sconto o la divisione dei guadagni tra i soci di una società commerciale. I metodi di soluzione di questi esercizi, come, per esempio, la regola del tre semplice, erano in parte conosciuti già nell'Antichità.

Tutte le operazioni aritmetiche e i metodi di risoluzione di problemi erano compendiati in regole di cui in generale non si dava la dimostrazione; tali regole erano imparate a memoria dagli scolari sotto forma d'istruzioni-precetti e algoritmi, e poi applicate per risolvere i problemi degli esercizi. In alcuni libri di aritmetica dei maestri d'abaco si ritrovano anche parti dedicate alle equazioni quadratiche e di grado superiore, inserite in relazione a determinati problemi, come, per esempio, il calcolo degli interessi. La risoluzione delle equazioni di secondo grado e in seguito di terzo e quarto grado divenne ben presto oggetto di una trattazione sistematica, indipendente da ogni applicazione pratica, come teoria ‒ per così dire ‒ a sé stante.

Per le equazioni di secondo grado, così come nell'aritmetica, ci si basava sui testi di Ibn-Mūsā al-Hwārazmī (m. 847), disponibili in traduzione latina sin dall'XI secolo. All'ulteriore sviluppo della teoria delle equazioni, in particolare alla risoluzione delle equazioni di terzo grado, contribuirono anche maestri d'abaco italiani, come Dardi da Pisa (Magister Dardi, metà del XIV sec.) e Scipione Dal Ferro (1465-1526). Verso la fine del periodo in cui i maestri d'abaco ebbero un ruolo attivo nella produzione di nuove cognizioni matematiche, il maestro d'abaco Johannes Faulhaber aveva trovato il metodo per ridurre l'equazione generale di quarto grado a un'equazione di terzo grado, quindici anni prima che Descartes pubblicasse la sua Géométrie, dove si ritrova lo stesso metodo, probabilmente derivato da Faulhaber.

Tra i maestri d'abaco tedeschi ‒ i quali, rifacendosi alle acquisizioni dei loro predecessori italiani, ebbero il loro periodo di massima fioritura nel XVI sec. ‒ Faulhaber fu senza dubbio uno dei più fecondi. Al pari dei loro predecessori italiani, i maestri d'abaco tedeschi, stabilitisi a partire dal XV sec. nei centri urbani della Germania e in particolare nelle città libere dell'Impero, insegnavano in scuole simili a quelle d'abaco, in cui s'imparava fondamentalmente a leggere, a scrivere e a far di conto. Inoltre, gli utenti interessati potevano ricevere privatamente un'istruzione più approfondita, perlomeno presso i maestri più preparati.

Nelle poche città in grado di assicurare un reddito sufficiente a un numero abbastanza consistente di maestri, questi ultimi si unirono in un'organizzazione, seguendo l'esempio degli artigiani. Nella città economicamente più forte, la libera città imperiale di Norimberga ‒ le cui scuole elementari, documentate in modi diversi a partire dall'inizio del XV sec., furono in seguito prese a modello da altre città ‒ agli artigiani e ai rappresentanti di altri mestieri non era consentito di organizzarsi in corporazioni per motivi politici. Tuttavia, anche a Norimberga, fu stabilito che i maestri indipendenti dovessero mantenere un livello di qualificazione il più elevato possibile, e ciò fu realizzato fissando un minimo di conoscenze matematiche necessarie. A partire dall'inizio del XVII sec. sono documentati per Norimberga regolamenti di esami in cui erano stabilite le conoscenze minimali senza le quali non era consentito esercitare la professione di maestro d'abaco.

Dalla fine del Quattrocento e sino a buona parte del secolo successivo apparvero sul mercato tedesco, soprattutto in occasione delle grandi fiere del libro di Francoforte sul Meno e di Lipsia, numerosi libri di aritmetica in volgare, scritti in prevalenza da maestri d'abaco. Il più noto di questi ultimi fu Adam Ries (1492-1559), autore di numerosi libri di aritmetica. I primi due furono pubblicati a Erfurt, dove Ries, dopo aver terminato gli studi, aprì presumibilmente la sua prima scuola. Il primo dei testi di Ries, Rechenung auff der Linien, pubblicato probabilmente intorno al 1518, era dedicato esclusivamente al calcolo con il cosiddetto 'abaco a linee orizzontali'.

Le origini di questo abaco, basato sullo stesso principio di quello romano, sono da ricercarsi probabilmente nel 'banco' del cambiavalute, sul quale erano disposte in modo visibile le diverse monete. L'affermarsi del commercio all'ingrosso, che implicava l'uso di somme più consistenti, rese necessaria una divisione del banco che consentisse di rappresentare un ammontare di 100 o 1000 monete con un unico pezzo, anziché con un numero equivalente di monete. Il banco fu così diviso in una serie di linee orizzontali, in cui le monete o i gettoni posti sulla linea immediatamente superiore valevano dieci volte quelli posti sulla linea sottostante. Per rappresentare i decimali furono introdotti pezzi da cinque, come nell'abaco, cosicché ogni linea non avesse più di quattro gettoni. Cinque unità su una linea erano dunque rappresentate da un'unità nello spazio intermedio tra questa e la linea immediatamente superiore, e analogamente due unità sullo spazio intermedio erano rappresentate da un'unità sulla linea successiva. Questi abachi a linee orizzontali cominciarono a essere usati già all'inizio del XIV secolo. Dividendo il sistema di linee in sottolinee per i decimali, era possibile 'disporre' in ordine decimale le grandezze messe in relazione con le operazioni fondamentali e simbolizzare il risultato in una terza suddivisione.

Per usare l'abaco a linee orizzontali nella sua forma più semplice non occorreva saper scrivere né possedere cognizioni aritmetiche che andassero al di là del raggruppamento per due e per cinque. L'esecuzione di un calcolo veloce richiedeva però una buona conoscenza della tavola pitagorica sino a 5×5. Il calcolo con l'abaco a linee orizzontali costituì la principale materia insegnata dai maestri tedeschi del XV e del XVI sec., ma compare anche nei libri di matematica inglesi di autori inglesi, come, per esempio, Robert Recorde. Questi asseriva del resto che il calcolo con l'abaco a linee orizzontali, cui era dedicata l'ultima parte del suo libro di aritmetica, sarebbe sempre stato utile non soltanto per gli analfabeti, ma anche per le persone istruite, qualora non avessero a portata di mano carta e penna. Il calcolo con l'abaco a linee orizzontali conservava naturalmente la sua importanza anche per i problemi di cambio, dai quali si era sviluppato. Quanto fosse diffuso il sistema dell'abaco a linee orizzontali in Europa ancora nella seconda metà del XVI sec. è attestato, tra l'altro, da una osservazione di Pietro Ramo (1515-1572) che risale agli anni Sessanta del Cinquecento.

Nel XVI sec., con la crescente alfabetizzazione e con il passaggio dall'apprendimento orale all'apprendimento visivo aumentò la disponibilità ad adottare il calcolo scritto con le cifre indo-arabe, che all'inizio appariva più difficile ma che in seguito fu ritenuto più avanzato. Tale sistema consentiva infatti di registrare i procedimenti di calcolo, offrendo una maggior tutela contro gli imbrogli in operazioni bancarie e commerciali, che erano divenute oramai sempre più complicate. Per queste ragioni, a partire dalla metà del XVI sec. il calcolo scritto cominciò ad affermarsi anche in Germania e in altri paesi d'oltralpe, senza peraltro soppiantare completamente il calcolo con l'abaco. Un contributo decisivo in questo senso fu dato da Adam Ries con il suo secondo libro di aritmetica, che fu pubblicato per la prima volta nel 1522 ed ebbe oltre cento edizioni documentate sino alla metà del XVII sec., rendendo proverbiale il nome del suo autore. Nel testo, accanto al calcolo con l'abaco tipico dei paesi d'oltralpe, è trattato anche il calcolo scritto con le cifre hindu-arabe, insegnato soltanto in Italia. I libri di aritmetica di Ries competevano sul mercato con quelli di altri autori ‒ come Heinrich Schreiber alias Grammateus (1496-1525 ca.), Christoff Rudolff (prima metà del XVI sec.) o Pietro Apiano (1495-1552) ‒ che insegnavano matematica nelle Facoltà delle arti di varie università ed erano interessati a soddisfare la domanda in costante aumento di libri di aritmetica in lingua tedesca.

Questi testi rispecchiano la struttura dell'insegnamento della matematica dell'epoca, che distingueva complessivamente sette species, od operazioni di calcolo, ossia contare (nominare), leggere e scrivere i numeri, addizionarli, sottrarli, moltiplicarli e dividerli, cui si aggiungevano le forme considerate speciali del raddoppiamento e del dimezzamento, e, occasionalmente, l'estrazione della radice quadrata. Dapprima le operazioni erano applicate ai numeri naturali; successivamente era stata costruita una regola corrispondente per le frazioni (numeri razionali).

Tra il calcolo con i numeri naturali e quello con le frazioni Ries inseriva regole per la somma dei termini di una serie aritmetica e geometrica e la regola del tre semplice, applicata nel contesto delle frazioni a numerosi problemi attinenti perlopiù alla pratica commerciale. I problemi erano ordinati in genere in base alle applicazioni pratiche. Oltre alla categoria di problemi relativi al cambio, troviamo così quella dei cosiddetti 'fusti', in cui si trattava di calcolare il prezzo delle merci detraendo la tara; un altro tipo di problemi riguardava il titolo d'argento o d'oro di minerali metallici, oppure di leghe, per esempio il titolo fino delle monete; un'altra categoria ancora era costituita dai problemi di ripartizione degli utili e delle perdite tra soci in base alla quota di capitale investito. A questi problemi tipici della vita commerciale dell'epoca seguiva un'estesa trattazione d'impostazioni sbagliate, nonché la presentazione di variazioni di regole illustrate in precedenza. Decisiva per il successo dei libri d'aritmetica di Ries, che sul piano dei contenuti non si differenziavano molto da quelli dei suoi concorrenti, fu l'organizzazione metodica e didattica della materia. Ries procedeva difatti dal facile al difficile, dal calcolo con i gettoni ‒ che si poteva seguire materialmente ‒ al calcolo scritto più astratto, dal semplice al composto. La voluta ripetizione di un argomento da quattro a cinque volte ne garantiva un apprendimento duraturo. Oltre a ciò, Ries riusciva a destare e a mantenere vivo l'interesse del lettore con una serie di problemi abilmente inventati o selezionati. Sebbene Ries, al pari dei suoi colleghi, fornisse il metodo di risoluzione sotto forma di una regola da imparare a memoria senza alcuna spiegazione o dimostrazione, offriva però pur sempre dei procedimenti aritmetici per verificare l'esattezza delle operazioni di calcolo, per esempio la prova del nove.

L'ampia diffusione dei libri di Ries, in particolare del secondo, attesta quanto fosse diventato lucroso il mercato per le capacità di calcolo. Un'ulteriore conferma è data anche dagli sforzi degli autori di maggior successo per ottenere privilegi di stampa ‒ soprattutto dall'imperatore o dall'elettore di Sassonia ‒ che garantissero l'esclusività dello sfruttamento commerciale dei loro prodotti per un determinato periodo e in un determinato territorio o ambito, in questo caso in particolare per le fiere del libro di Francoforte e di Lipsia. Tra gli undici autori tedeschi rinascimentali di libri di matematica di maggior successo, cinque erano maestri d'abaco, gli altri erano in prevalenza accademici delle Facoltà delle arti, che rifornivano il mercato anche di testi di aritmetica in latino.

fig. 15

I libri di aritmetica dell'epoca furono integrati con la teoria dei numeri figurati, o poligonali, che in un primo tempo, peraltro, non andò oltre le conoscenze tramandate dagli Antichi. I numeri poligonali, designati con i nomi dei numerali greci, sono rappresentati dalle somme dei termini di una successione aritmetica di primo ordine in cui il termine iniziale è 1 e la differenza d; la denominazione dei numeri poligonali dipende dal tipo di poligono cui dà luogo la loro disposizione. Per esempio, se d=1 la successione dei numeri triangolari, o trigonali, si può leggere nella seguente disposizione, a partire dal vertice in cui è posto il termine iniziale 1, sulla base del triangolo isoscele. Se al primo triangolo, come mostra la fig. 15, se ne aggiunge un secondo, sulla base di quest'ultimo, che ora forma un quadrilatero col primo, si può leggere la successione di numeri tetragonali o quadrati, la cui differenza d è eguale a 2, e così via.

Verso la fine del periodo di massima fioritura dei maestri di calcolo, che in Germania durò dal XVI sec. sino ai primi decenni del secolo successivo, Johannes Faulhaber, che come abbiamo accennato, fu uno dei più importanti maestri d'abaco e matematici pratici del suo tempo, generalizzò ed estese la teoria dei numeri figurati, ottenendo risultati che, almeno in parte, acquistarono una crescente importanza in epoca successiva. Tra le altre cose, Faulhaber diede la formula generale per calcolare le somme e le differenze di successioni aritmetiche di grado superiore, nonché le somme delle potenze dei numeri naturali fino all'esponente 17. Attraverso i numeri poliedrici, inoltre, egli ricollegò questo ambito con la geometria solida, o stereometria, scoprendo il teorema tridimensionale di Pitagora e una forma tridimensionale del teorema di Erone.

Le più importanti scoperte matematiche di Faulhaber e il suo influsso su Descartes sono rimasti ignorati sino ad anni recenti, principalmente perché le sue idee, soprattutto negli scritti relativi ai numeri figurati, sono inserite in un contesto di speculazioni mistico-cabalistiche sull'interpretazione dei numeri biblici da lui ritenuti sacri, in particolare il 666. Il deciso rifiuto di questo tipo di speculazioni da parte della Chiesa protestante ortodossa da un lato, e, dall'altro, le leggi del mercato, che consentivano ai matematici di mestiere di rendere noti i propri risultati senza fornire alcuna dimostrazione e senza nemmeno accennare al metodo seguito, limitarono notevolmente la recezione dei contributi matematici di Faulhaber.

Secondo quest'ultimo e i suoi seguaci, le interpretazioni cabalistiche dei numeri dell'Apocalisse costituivano la chiave per capire i limiti temporali posti da Dio al Creato, e offrivano altresì la possibilità di prevedere importanti eventi determinati dall'intervento divino. Simili speculazioni cabalistiche apparivano pertanto a Faulhaber altrettanto utili e suscettibili di applicazioni pratiche quanto i suoi contributi alla costruzione e allo sfruttamento di strumenti di misurazione o al perfezionamento della tecnica bellica del suo tempo.

Oltre alla teoria dei numeri figurati, i libri di aritmetica del XVI sec. contenevano sezioni supplementari dedicate a particolari applicazioni pratiche della matematica, spesso presentate anche sotto forma di trattati autonomi. Tali applicazioni andavano dalle tavole di conversione ‒ per esempio di misure, monete o prezzi attraverso regole che consentivano di determinare il prezzo del pane in base ai prezzi correnti del grano ‒ sino al sistema della partita doppia, che era stato illustrato per la prima volta in Italia nella Summa enciclopedica di Luca Pacioli (1445 ca.-1517), pubblicata nel 1494. La partita doppia, o, come era definita all'epoca, la contabilità 'alla veneziana', dopo essere apparsa nel capitolo De computis et scripturis della Summa di Pacioli, fu ripresa nei libri d'aritmetica europei. Come indica il nome 'metodo veneziano', Pacioli non aveva rivendicato la paternità dell'invenzione. I libri contabili delle case commerciali, delle banche e dei comuni italiani che ci sono pervenuti indicano che la più antica partita semplice era stata sostituita con quella doppia già nel XIV secolo. Il sistema della partita doppia, perfezionato a Venezia nel corso del XIV e del XV sec., nella sua forma fondamentale è documentato a Genova già nel 1340.

Nell'area di lingua tedesca, tuttavia, la partita semplice fu trattata per la prima volta nel libro d'aritmetica di Heinrich Schreiber del 1518. Più tardi, alla metà del XVI sec., un altro autore tedesco direttamente influenzato da Pacioli si occupò della partita doppia, Wolfgang Schweicker. In Inghilterra e in Olanda, per contro, erano apparsi trattati sull'argomento già nei primi anni Quaranta dello stesso secolo.

Quale rappresentante degli autori di libri d'aritmetica provenienti dal mondo accademico, Schreiber è un esempio tipico della tendenza, affermatasi assai presto, ad ampliare in misura significativa l'offerta di cognizioni di 'aritmetica pratica' destinata ai commercianti. Così, la prima parte del libro di Schreiber, dedicata all'aritmetica, è integrata con una teoria delle equazioni; una seconda parte, rivolta principalmente agli studenti delle Facoltà delle arti, illustra il sistema diatonico dal punto di vista della teoria musicale; la terza parte è dedicata alla contabilità; la quarta e ultima parte alla tecnica di misurazione. Quest'ultima materia rappresenta uno dei tipici ampliamenti introdotti nel XVI sec. nei contenuti dei libri di aritmetica. Oggetto principale di tali sezioni supplementari sulla tecnica di misurazione, o dei trattati autonomi sulla materia, era un tipo particolare di strumento usato per misurare la capacità dei barili, la cosiddetta 'pertica'. Sino al XVII sec., allorché Johannes Kepler (1571-1630) diede veste scientifica alla determinazione dei volumi, gli autori di tali trattati erano esclusivamente maestri di calcolo, che occasionalmente svolgevano mansioni di misuratori ufficiali stipendiati dalla città.

La tecnica della misurazione

Sin dal XIV sec. nelle città più importanti esistevano addetti ufficiali alla misurazione della capacità dei barili; a essi perlopiù era affidata anche la verifica di altri pesi e misure. Dal punto di vista sociale, tali esperti della misurazione erano quasi sempre funzionari comunali provenienti dalle file degli artigiani, il cui status privilegiato si doveva principalmente al fatto che essi avevano il compito di determinare con esattezza il dazio sul vino, in generale fissato in base alla quantità, che costituiva un'importante fonte d'introiti per la città.

La pertica come misura di capacità, la cui forma più comune, la cosiddetta 'pertica quadrata', consentiva di determinare il contenuto di un barile per approssimazioni successive, non richiedeva alcuna cognizione di aritmetica, nemmeno a livello elementare. Le misurazioni con la pertica erano infatti organizzate meccanicamente, sotto forma di un algoritmo il cui risultato, la capacità del barile da misurare, era espresso direttamente come un numero, ossia come un multiplo della particolare unità di misura per i liquidi adottata dalla città. Lo stesso vale per la 'pertica cubica', usata più raramente in quanto usabile soltanto per un barile alla volta, e che quindi richiedeva un'unica misurazione. In questo caso, l'algoritmo era limitato a quest'unica misurazione.

Se ci fossero pervenute, le pertiche ‒ che per la maggior parte erano di legno ‒ rappresenterebbero un'utile fonte d'informazione, soprattutto per le misure di capacità locali. Nei trattati sui sistemi di misurazione si accenna al fatto che le pertiche erano costantemente rifabbricate e tarate, forse perché usurate, e dunque già all'epoca del loro uso dovevano avere una durata relativamente breve.

Indicazioni assai dettagliate in merito ai differenti sistemi di misurazione si possono trovare soltanto nell'edizione tedesca del trattato di Kepler sulla capacità dei barili (XVII sec.), che offre, per esempio, una minuziosa comparazione tra le botti austriache e quelle renane, e, in una lunga appendice metrologica, pone in relazione diverse unità di peso, di lunghezza e di capacità.

A un livello relativamente modesto, le unità e i sistemi di misurazione ebbero un ruolo anche in campi della matematica applicata rilevanti per l'economia. A questo proposito, va osservato che, se da un lato esistono varie fonti materiali e letterarie sull'attività dei matematici pratici ‒ che forniscono informazioni sulle unità di misura e sui sistemi di misurazione, incluse la goniometria e la cronometria ‒, dall'altro lato la componente puramente scientifica della matematica applicata cercò ben presto di svincolarsi da misurazioni concrete. Ciò vale anche per due nuovi campi che si aprirono allora ai matematici pratici, la tecnica delle artiglierie e quella delle fortificazioni, nonché per l'ambito classico della matematica applicata, la geodesia.

Artiglieria, fortificazioni e geodesia

Lo sviluppo dell'artiglieria nel XV sec. fu caratterizzato da una produzione crescente e sempre più differenziata in base allo scopo. A questa varietà dei tipi di artiglieria faceva riscontro nel XV sec. una varietà sterminata di lunghezze, pesi e calibri. Soltanto nella Francia dell'inizio del XVI sec. fu attuata un'uniformazione, in un primo tempo riducendo a sei diversi calibri e infine con una classificazione in sei tipi di artiglierie con peso e calibro delle bocche da fuoco prefissati. Un presupposto per questa unificazione fu una certa regolamentazione nella costruzione delle bocche da fuoco, in cui l'esperienza pratica aveva un ruolo dominante. Nel costruire i pezzi di artiglieria destinati a effettuare il tiro curvo, o 'in arcata', gli armieri avevano imparato a calcolare l'angolo di tiro e la gittata, e per creare condizioni comparabili dovevano pesare sia la quantità di polvere sia i proiettili. Poiché questi erano costituiti da materiali più vari ‒ pietra, ferro e piombo ‒ occorreva mantenere costante il rapporto tra quantità di polvere e peso del proiettile. Nell'ambito dell'artiglieria, tutto ciò dimostra una graduale anche se approssimativa tendenza alla quantificazione, scaturita dall'esigenza di realizzare ogni volta le condizioni necessarie per un tiro a una determinata gittata.

Per lungo tempo, tuttavia, i 'maestri d'artiglieria' ‒ così erano chiamati gli addetti al funzionamento dei pezzi di artiglieria ‒ rimasero scettici di fronte alle richieste di calcoli e misure il più possibile precisi. Ciò era legato al fatto che, in particolare con i cannoni del XVI sec., si effettuavano quasi esclusivamente tiri diretti, destinati a far breccia su mura e pareti murarie. Per questo tipo di tiri non erano necessari altri calcoli di pesi o misure oltre alla quantità di polvere rapportata al peso del proiettile; bastava puntare direttamente l'arma caricata verso l'obiettivo, cosa che peraltro presupponeva la regolazione di una linea di mira parallela all'asse della canna. D'altro canto, nei pezzi di artiglieria più corti usati per il tiro curvo, come i mortai e gli obici, in condizioni identiche, ossia per uguale angolo d'inclinazione, uguale quantità di polvere e uguale peso del proiettile, ancora nel XVIII sec. le traiettorie avevano un tasso di variazione fino al 20 %.

Una dispersione del tiro così cospicua era dovuta alle imperfezioni tecniche dell'artiglieria dell'epoca. Così, per esempio, l'adattamento tra proiettili e bocche da fuoco era tutt'altro che preciso, la consistenza e la potenza balistica della polvere variavano ancora in misura considerevole e il problema del rinculo non era ancora stato risolto con affusti adeguati. Oltre a ciò, la frequenza dei colpi era ancora così bassa che nell'intervallo tra due tiri potevano mutare sensibilmente i fattori che influenzavano la traiettoria. In queste condizioni nemmeno le misurazioni e i calcoli più accurati potevano garantire una buona riuscita. D'altro canto, nel corso del XVI sec. si andò prendendo coscienza del fatto che senza pesare, misurare e calcolare era impossibile ottenere prestazioni di tiro soddisfacenti. Allorché si cominciarono a rispettare le esigenze di misurazione e di calcolo avanzate dai matematici pratici, si ebbe un netto miglioramento rispetto alla prassi esclusivamente empirica del passato. Tuttavia, le promesse contenute nelle opere dei matematici pratici tardarono a realizzarsi.

Ciò vale anche per Niccolò Tartaglia, il matematico del XVI sec. cui si deve la creazione di una nuova balistica che si distacca nettamente dai principî aristotelici. Il punto di partenza delle indagini di Tartaglia in questo campo fu il problema, postogli nel 1532, di determinare l'angolo di massima gittata. I risultati di tali ricerche furono esposti sia nella Nova scientia (pubblicata nel 1537) ‒ la cui seconda parte è dedicata appunto alle traiettorie dei proiettili ‒ sia, in forma ampliata, nei primi tre libri dell'opera in nove libri Quesiti et inventioni diverse, pubblicata nel 1546. Il quarto libro di quest'opera, che è scritta in forma dialogica, è dedicato ai fondamenti matematici della tattica ‒ ossia alle modalità di schieramento e di manovra delle truppe sul campo ‒, il quinto ai fondamenti della geodesia e il sesto alle fortificazioni.

Pur partendo dalla distinzione aristotelica tra moto naturale e moto indotto, Tartaglia giunse a postulare una traiettoria curva, ammettendo la sovrapposizione di due moti distinti negata da Aristotele (Nova scientia, Libro II, supposizione 2 e Quesiti et inventioni diverse, f. 11r). Per Tartaglia, il moto naturale è il moto di un corpo soggetto soltanto alla forza di gravità; ogni altra specie di movimento è da considerarsi innaturale (Nova scientia, Libro I, def. VI e VII). Nel lancio orizzontale e obliquo, la sovrapposizione di questi due movimenti dà luogo a una traiettoria che non può essere in alcuna sua parte perfettamente rettilinea. Tuttavia, la traiettoria può essere rappresentata approssimativamente come composta da un primo tratto rettilineo secondo la direzione del moto iniziale, seguito da un arco di cerchio che corrisponde al passaggio dal movimento impresso a quello naturale, e infine da un altro tratto rettilineo verticale, corrispondente al moto naturale. Nel quadro di questa teoria balistica, Tartaglia asserì che l'angolo di massima gittata è di 45°, e fornì come dimostrazione i risultati di una prova di tiro con angoli di 30° e di 45°. Tartaglia stabilì inoltre che ogni gittata, a eccezione di quella massima, può essere raggiunta con due angoli di elevazione. Egli suppose inoltre che, con un'unica misurazione dell'angolo di elevazione e della relativa gittata, fosse possibile stabilire la gittata per ogni altro angolo di elevazione, ma né la Nova scientia né gli scritti successivi indicano il metodo da seguire.

Tartaglia aveva introdotto la matematizzazione nella tecnica dell'artiglieria fissando già nel 1537, nella Nova scientia, le due condizioni necessarie per tirare secondo una regola, ossia determinare in primo luogo la distanza dal bersaglio e in secondo luogo la gittata per un determinato angolo di elevazione ('alzo' della bocca da fuoco). Mediante un'estrapolazione ‒ peraltro mai spiegata ‒ si poteva calcolare con buona approssimazione l'angolo corretto. A tal fine Tartaglia caldeggiò la diffusione del quadrante di livello per il puntamento dell'artiglieria, di cui rivendicava, ma a torto, la paternità.

Con la sua balistica, che rappresentava un compromesso tra l'esperienza empirica e le spiegazioni tradizionali del moto in termini di fisica, Tartaglia aveva introdotto nella tecnica delle armi da fuoco due elementi nuovi, ossia la matematica e la geodesia. Tuttavia, per i motivi anzidetti, la sua teoria si applicava soltanto in misura limitata al problema del tiro curvo. Lo stesso vale per la balistica di Galileo Galilei (1564-1642), il quale, astraendo dalla resistenza dell'aria, postulò una traiettoria parabolica; ancora nel XVIII sec. le sue teorie costituivano materia d'insegnamento per gli ufficiali dell'artiglieria francese.

Al fine di stabilire quale ruolo avessero la misurazione e il calcolo nella prassi dell'epoca, occorre rivolgersi non già ai trattati sull'argomento pubblicati dai matematici pratici, bensì ai manuali scolastici dell'epoca, come, per esempio, quello di Luis Collado (seconda metà del XVI sec.). Questi manuali di solito non contenevano teorie, anzi le mettevano in discussione, osservando, per esempio, che la gittata massima non si otteneva con l'angolo di elevazione di 45°, come affermava Tartaglia, bensì con uno di poco inferiore. Di conseguenza era giudicata assurda anche la teoria di Tartaglia secondo cui con angoli complementari si ottengono gittate uguali.

Anche in questi manuali, come nei trattati teorici dei matematici pratici, il ricorso al calcolo e alle misurazioni, nonché l'uso di strumenti ‒ come il quadrante di livello e il calibratore ad anello ‒ e di adeguati apparecchi geodetici, sono raccomandati e dichiarati indispensabili sia per il bravo artigliere sia per il cannoniere, senza peraltro coltivare l'illusione che con questi mezzi sia possibile evitare errori nel tiro. L'utilità e l'efficacia degli strumenti dell'artigliere e i risultati che con essi si potevano conseguire erano realisticamente ridimensionati sulla base dell'imprecisione spesso sperimentata nella pratica. La scarsa attenzione soprattutto per la qualità della polvere e per l'adattamento tra proiettili e canna cui andavano imputati tali errori, fece sì che anche molto dopo il XVI sec. ci si accontentasse di strumenti con scale di graduazione piuttosto approssimative. Soltanto le prime scuole di artiglieria, che in Spagna furono istituite a partire già dal XVI sec., impartirono un'istruzione che associava teoria e pratica dell'artiglieria.

La scissione tra teoria e prassi che caratterizzava la balistica non impedì comunque la diffusione delle idee di Tartaglia ‒ la cui Nova scientia diventò nota in tutta Europa attraverso numerose traduzioni ‒ allo stesso modo in cui l'anatomia 'teorica', in larga misura basata sulle concezioni degli Antichi, non fu messa in discussione dal sapere empirico basato sull'esperienza concreta del trattamento delle ferite e degli interventi chirurgici, sviluppato dai cerusici da campo. Ciò si doveva in parte al fatto che i manuali per l'istruzione dei maestri di artiglieria e in seguito degli ufficiali, a differenza di una parte delle opere sulla matematica pratica, ebbero scarsa diffusione. Nondimeno, nell'opinione pubblica europea, o meglio tra coloro che la rappresentavano, si diffuse e si radicò la convinzione ‒ anche grazie ai successi economici dei commercianti che usavano il calcolo e la pianificazione ‒ che un mondo assoggettato al calcolo e alla misura fosse gradito a Dio e quindi degno di essere perseguito; tanto più poi che quei commercianti che si basavano sul calcolo e sulla pianificazione avevano successo. Ciò valeva anche per l'arte bellica, che conobbe un rapido sviluppo sotto l'impulso della superiorità dimostrata dalle armi da fuoco, che cominciavano a essere usate negli assedi.

Quanto all'ingegneria delle fortificazioni, dal punto di vista pratico essa è strettamente legata alla geodesia. Per ciò che riguarda l'aspetto tmorico, soprattutto nel caso delle cosiddette fortificazioni regolari a pianta poligonale, esistono collegamenti con la trigonometria e con il metodo di esaustione mediante poligoni regolari usato da Archimede per la misura del cerchio.

Il passaggio dalle opere di difesa medievali alle fortificazioni dell'Età moderna fu determinato da due fattori. Da un lato, le fortificazioni a muro verticale tipiche dei secoli precedenti non costituivano più una difesa efficace contro la potenza d'impatto delle armi da fuoco; dall'altro lato, esse non offrivano spazio sufficiente per l'installazione delle artiglierie. Le nuove armi da fuoco avevano dimostrato chiaramente la loro superiorità contro il sistema di fortificazione medievale nell'assedio di Costantinopoli che, con le sue mura alte sino a 12 metri e spesse 5, era considerata una delle città meglio fortificate del mondo; tuttavia, nell'assedio del 1453 in meno di sette settimane le potenti bombarde dei Turchi avevano aperto brecce così ampie su queste mura che le truppe poterono agevolmente penetrare nella città assediata.

Dopo un periodo di transizione, in cui si cercò attraverso modifiche di entità relativamente modesta di creare superfici abbastanza ampie per installarvi le artiglierie e sfruttare quindi le nuove armi offensive anche per la difesa, nacque una forma interamente nuova di fortificazione, le cui origini sono da ricercarsi nell'Italia della fine del XV secolo. Al posto delle costruzioni a muro verticale, vulnerabili alle batterie di breccia e di bombardamento, fu adottato un sistema di cinte e fossati, che da un lato consentiva agli assediati una difesa attiva grazie all'installazione di pezzi di artiglieria, e dall'altro lato era meno esposto ai tiri degli attaccanti per la presenza del terrapieno, o spalto, antistante il fossato.

Secondo Tartaglia, il nuovo sistema di fortificazione avrebbe dovuto possedere i requisiti seguenti (Nova scientia, Libro VI). Anzitutto, doveva evitare che i tiri del nemico colpissero perpendicolarmente le mura, in particolare le cortine; doveva poi dare la possibilità di far fuoco sugli attaccanti da almeno quattro lati per volta; le mura dovevano essere costruite in modo tale da risultare, una volta abbattute, altrettanto difficili da scalare quanto lo erano prima; infine, le opere addizionali, come i fossati acquei, dovevano essere costruite in maniera che fosse impossibile per il nemico superarle, facendo sì che fossero sufficienti trenta soldati al massimo per difendere dai tentavi di espugnazione una cortina lunga 120 metri.

Nacque così il forte bastionato a pianta poligonale, i cui angoli erano formati da bastioni ‒ che costituivano le piattaforme per l'installazione dei cannoni dei difensori ‒ e i cui lati erano costituiti da terrapieni, anch'essi muniti di bocche da fuoco. Il forte bastionato consentiva una difesa attiva in ogni direzione e riduceva le possibilità di attacco con un ampio fossato acqueo, dotato di un terrapieno antistante (detto spalto o glacis), che costituiva un'efficace copertura dai tiri diretti.

Il progetto di forte bastionato a tracciato poligonale di Albrecht Dürer (1471-1528), risalente al 1527, prevedeva bastioni interamente di muratura, di forma ancora arrotondata e di proporzioni talmente imponenti da scoraggiarne la realizzazione anche soltanto per motivi economici. Successivamente, apparvero progetti che prevedevano bastioni meno costosi di terra e mura, in genere a pianta pentagonale.

Il punto più debole del forte bastionato era costituito dalle facce o lati anteriori dei bastioni, in quanto erano coperte soltanto da un lato dal bastione vicino, e costituivano quindi gli obiettivi preferiti degli attaccanti. Se l'angolo tra le facce era acuto, i lati anteriori relativamente lunghi offrivano una maggiore superficie esposta, ma anche maggiore spazio per l'installazione di bocche da fuoco, mentre se tale angolo era ottuso i fianchi diventavano eccessivamente ridotti. Alle varie possibilità di superare queste difficoltà corrispondevano diversi sistemi di fortificazione, che nella loro evoluzione tra la fine del XV sec. e il XVIII sec. si possono distinguere, con una certa approssimazione, in sistemi di tipo italiano, olandese e francese.

Importanti opere sulle fortificazioni scritte da architetti militari, apparse nella seconda metà del XVI sec., sono l'Architettura militare di Francesco De Marchi (1506 ca.-1574), risalente al 1570 ma pubblicata soltanto alla fine del secolo, che rappresenta il culmine dell'architettura militare italiana e contiene molti elementi ripresi da quella francese, in particolare per quanto riguarda le opere addizionali esterne; l'Architectura von Vestungen di Daniel Speckle (1536-1589), il quale, oltre a sviluppare autonomamente le idee di De Marchi, con la sua opera sia pratica sia teorica preparò la strada al più importante esponente della scuola francese, vale a dire Sébastian Vauban (1633-1707); infine, due opere di Simon Stevin (1594 e 1617), che posero le basi del sistema di fortificazione olandese.

Molti furono i sistemi alternativi, mai realizzati, che avevano cercato inutilmente d'imporsi all'attenzione vantando un rapporto ottimale tra costi e benefici.

Le fortificazioni bastionate a pianta poligonale progettate dagli architetti non rispondevano soltanto a un'esigenza estetica di simmetria, ma anche a quella di fornire un sistema difensivo ottimale che fosse privo di punti deboli. Queste forme in generale erano realizzabili soltanto in costruzioni a sé stanti erette su un terreno pianeggiante. Nella fortificazione di una città occorreva però tenere conto della fisionomia della città stessa e del terreno, non sempre pianeggiante; di conseguenza, la maggior parte delle fortificazioni effettivamente realizzate erano irregolari. I bastioni a pianta pentagonale segnarono anche l'avvio di una matematizzazione in questo campo, che nelle numerose geometrie pratiche era trattato come ambito di applicazione della geometria elementare e della trigonometria, e dava occasione agli autori di trattati di architettura militare d'inserire alcune nozioni matematiche preliminari.

Sia l'artiglieria sia le fortificazioni, come detto, avevano importanti agganci con la geodesia, che come topografia mineraria aveva anche un ruolo rilevante per l'industria mineraria. I rilevamenti topografici e le relative rappresentazioni cartografiche si svilupparono soltanto nel XVI secolo. L'esempio più famoso è la carta topografica della Baviera di Filippo Apiano, che fu stampata per la prima volta nel 1568 in ventiquattro tavole. è interessante osservare che questi lavori, e soprattutto le esigenze cartografiche della navigazione e dei singoli stati, portarono a porre la questione della forma e delle dimensioni della Terra; la risposta a tale interrogativo presupponeva uno stretto collegamento con lo sviluppo scientifico.

A differenza di quanto accade per l'artiglieria, lo sviluppo della geodesia pratica è documentabile soltanto sulla base degli strumenti geodetici. La rinascita di questo settore in connessione con gli sviluppi dell'artiglieria e delle fortificazioni è rispecchiato dalla fioritura dei trattati di cosiddetta 'geometria pratica'. Qui le nozioni della geometria elementare e della trigonometria si potevano applicare ai problemi concreti ‒ stabilire l'altezza di una torre, la profondità di un pozzo, la distanza di un bersaglio inaccessibile, e via dicendo. Un esempio tipico è dato dalla Geometria practica in tre volumi di Daniel Schwenter (1618), che ebbe grande diffusione in Germania. Le nozioni matematiche contenute in questo libro furono sufficienti per i topografi e per i fabbricanti di strumenti sino al XVIII secolo.

Il metodo della triangolazione, cui Gemma Frisius (1533) aprì la strada nel XVI sec. e che fu realizzato da Snellius (1580-1626) al principio del secolo successivo, presuppone soltanto la misurazione di una lunghezza, e per il resto esclusivamente misurazioni di angoli. Prima di allora, per misurare distanze piuttosto grandi si usavano gli 'itinerari', ossia descrizioni del percorso che indicavano le ore di cammino a piedi, a cavallo o in carrozza. Relativamente agli itinerari, le proposte di usare l'odometro ‒ già descritto da Vitruvio (I sec. a.C.) come contagiri ‒ per misurare la lunghezza del cammino percorso da un veicolo, o come contapassi per la distanza percorsa da un pedone o da un cavallo, rappresentarono un progresso; questo strumento risultò però ben presto insufficiente a soddisfare le crescenti esigenze di precisione della topografia.

Per la misurazione diretta delle distanze, in un primo tempo furono usate cordicelle ricoperte di pece per proteggerle dall'umidità; in seguito, si fece ricorso a catene metalliche. Poco maneggevoli, ma più attendibili erano le pertiche, dapprima di legno e in seguito di metallo. Un perfezionamento dei metodi di misurazione si ebbe allorché fu adottata la proposta, avanzata da Johannes Faulhaber (Newe geometrische und perspectivische Inventiones etlicher sonderbahrer Instrument), di applicare lungo la pertica una corda tesa. Soltanto nel XVIII sec. si tenne conto della dilatazione termica delle pertiche metalliche.

Un significativo progresso nella topografia fu rappresentato dall'introduzione della 'tavoletta pretoriana', una tavoletta sulla quale era fissato un foglio da disegno dove si poteva tracciare direttamente l'angolo misurato tra due visuali, individuate mediante dispositivi di mira dei quali la tavoletta era dotata. Usando un adeguato sistema di misura si potevano determinare le distanze senza bisogno di ulteriori calcoli. Allo sviluppo di strumenti geodetici sempre più precisi contribuì in modo essenziale l'uso del cannocchiale come strumento di mira, quasi subito dotato di croce di collimazione, nonché l'affermarsi di scale graduate di grande precisione, legato soprattutto alle esigenze dell'astronomia; peraltro, questi strumenti esulano dall'ambito della geodesia dei matematici pratici.

In un ultimo campo, quello della navigazione, che ebbe un'importanza straordinaria per lo sviluppo economico dell'Età moderna, il problema della determinazione delle distanze in mare dimostra come la matematica applicata non potesse fare a meno di una cronometria, che del resto è già presupposta nelle misurazioni più elementari delle distanze basate sull'indicazione della velocità. La navigazione divenne una parte della matematica applicata allorché si passò dalla navigazione costiera a quella in mare aperto.

Navigazione

Con i loro viaggi di scoperta, gli Spagnoli e i Portoghesi furono i primi a segnare il passaggio alla navigazione in mare aperto e a trasmettere le loro cognizioni sia teoriche sia pratiche in questo campo in opere ‒ come, per esempio, quelle di Pedro de Medina (1439-1567) o di Martin Cortes (m. 1582) ‒ che servirono da modello alle altre nazioni marinare europee. Dopo gli Spagnoli, furono gli Olandesi e gli Inglesi a contendersi la supremazia sul mare. John Dee (1527-1608) trasmise direttamente ai capitani della marina d'Inghilterra, che iniziavano allora i loro viaggi di scoperta, le tecniche di navigazione continentali da lui apprese attraverso i suoi contatti con i matematici pratici europei, registrandole in manoscritti che peraltro non furono mai pubblicati.

Una volta persa di vista la costa, lungo la quale era possibile orientarsi servendosi sia di disegni ‒ che offrivano anche informazioni sul profilo costiero, sulle profondità e sulle maree ‒ sia di carte, al fine di determinare la posizione della nave in mare aperto restavano soltanto la bussola, la posizione del Sole, della Luna e degli astri, nonché alcuni strumenti atti a misurare la velocità della nave.

Nel XV sec. si cominciò, servendosi della bussola, a seguire il meridiano verso nord o verso sud fino a che non si raggiungeva la latitudine del porto di destinazione, dedotta da misurazioni dell'altezza massima del Sole sull'orizzonte; poi, dopo aver effettuato un cambiamento di rotta di 90°, si proseguiva lungo il parallelo sino alla destinazione; questo metodo presupponeva la conoscenza della latitudine geografica dei porti, grazie ad apposite carte nautiche. In seguito si seguirono diverse 'rotte alla bussola', puntando a destinazioni che si trovavano nelle direzioni nord-sud o est-ovest. Il portoghese Pedro Nuñez (1492-1577) aveva stabilito nel 1537 che le 'rotte alla bussola' costanti che si discostano dalle direzioni suddette non formano cerchi ma piuttosto spirali. Tali innovazioni resero indispensabili per i navigatori tavole delle distanze, che fornissero per le diverse rotte alla bussola le distanze corrispondenti a un cambiamento di un grado di latitudine geografica. I più antichi manuali di navigazione dotati di tavole, come le effemeridi per la posizione del Sole, la latitudine dei porti conosciuti e le tavole di conversione menzionate, provenivano dal Portogallo.

Per la determinazione del punto nave, ci si serviva di strumenti di misurazione, come l'astrolabio, il quadrante o la ballestriglia, con i quali si poteva stabilire, come già facevano gli Antichi, la latitudine geografica in base all'altezza sull'orizzonte a mezzogiorno del Sole o della Stella Polare. Assai più complesso era il problema di determinare la longitudine.

Già noto agli Antichi era il metodo astronomico per calcolare la differenza di longitudine tra due luoghi in base alle ore locali di un'eclissi solare o lunare. Le eclissi sono piuttosto rare, ma tale metodo risultava applicabile a ogni evento astronomico di cui si potesse calcolare la posizione sulla volta celeste a un determinato istante per ogni longitudine. Per la navigazione erano particolarmente adatte a questo scopo le posizioni della Luna, che potevano essere determinate nel modo più preciso attraverso il metodo delle distanze lunari, consistente nel calcolare la distanza angolare tra la Luna e un'opportuna stella fissa. Nell'epoca delle scoperte geografiche, allorché si fece sempre più sentito il bisogno di determinare la posizione della nave in mare aperto, tale metodo fu considerato talmente utile che vennero messe a punto alcune tavole apposite in grado di dare le posizioni della Luna per diverse longitudini e per periodi di tempo piuttosto estesi. Le prime effemeridi di questo tipo furono quelle pubblicate nel 1474 per gli anni 1475-1506 da Giovanni Regiomontano (1436-1476); Cristoforo Colombo (1451-1506) si servì probabilmente di una loro edizione successiva.

L'utilità del metodo delle distanze lunari dipendeva essenzialmente dalla precisione del calcolo delle posizioni della Luna date nelle effemeridi e dall'esattezza degli strumenti goniometrici usati, in quanto, per esempio, un errore di 1° nelle effemeridi o nel rilevamento della Luna si traduceva in un errore di circa 20° nella determinazione della longitudine. Effemeridi e strumenti adatti a una determinazione della longitudine sufficientemente accurata si ebbero soltanto nel XVIII sec.; sino al Cinquecento, di conseguenza, si cercò di determinare la longitudine geografica ricorrendo ad altri sistemi.

Il metodo proposto nel 1530 da Gemma Frisius, che consisteva nel confrontare l'ora locale, rilevabile, per esempio, in base all'altezza del Sole, con l'ora locale di un meridiano fisso ‒ di norma l'ora del porto di partenza ‒ trasportando a bordo un orologio, presupponeva orologi in grado di conservare il tempo del porto di partenza con sufficiente precisione ‒ uno scarto di non più di pochissimi minuti in qualche mese di navigazione ‒, quali furono costruiti in Inghilterra soltanto nel XVIII secolo. Ci si aiutava allora con tavole che indicavano il cambiamento della longitudine geografica rispetto al luogo di partenza, conoscendo la direzione e la distanza percorsa dalla nave. La direzione era indicata dalla bussola; la declinazione magnetica ‒ cioè lo scarto angolare tra la direzione al nord magnetico indicata dalla bussola e la direzione al nord geografico, come dire il meridiano locale ‒ era nota già nel XV sec. a Norimberga, e per determinare la longitudine si era cercato inutilmente di sfruttare il fatto che la declinazione della bussola varia al variare della longitudine.

Alla metà del XVI sec. il cammino percorso era calcolato in base alla velocità media della nave misurata dal solcometro. Questo strumento era costituito da un galleggiante legato a una sagola intervallata a tratti regolari da nodi. Lasciando scorrere la sagola per la durata di una clessidra, il numero dei tratti passati, indicato dai nodi, dava le miglia marine percorse dalla nave in un'ora. Tuttavia, essendo la misurazione del cammino proporzionale a quella della velocità, che nel migliore dei casi non teneva conto dell'influenza della deriva e delle correnti, le posizioni della nave determinate in questo modo risultavano piuttosto imprecise.

Per quanto riguarda le carte nautiche, verso la fine del XVI sec. si era affermata la proiezione di Mercatore (1512-1594), usata per la prima volta nel suo planisfero del 1569. Nella proiezione di Mercatore, che conserva gli angoli ma non le distanze, tutte le rotte alla bussola costanti sono rappresentate come rette, in opposizione alle cosiddette 'carte piane'. In queste ultime, la lunghezza di un arco di parallelo di 1° era equiparata alla lunghezza di un arco di meridiano di 1°, indipendentemente dalla latitudine; di conseguenza, all'aumentare di quest'ultima, tali carte diventavano sempre più inattendibili. Alla fine del XVI sec. furono costruite carte che davano le distorsioni della proiezione di Mercatore a seconda della latitudine geografica.

I metodi per la navigazione in mare aperto sviluppati nel XV e nel XVI sec. furono resi accessibili ai comandanti, che spesso erano pressoché analfabeti, attraverso scuole e manuali specializzati. Per esempio, già all'inizio del XV sec. Enrico il Navigatore aveva riconosciuto la necessità di una preparazione teorica come presupposto indispensabile per passare dalla navigazione costiera a quella in mare aperto e, assieme a un erudito ebreo di Maiorca assunto come consigliere, aveva dato avvio a una scuola per capitani portoghesi. Successivamente, negli anni Venti del XVI sec., fu istituita in Spagna, nella Casa de Contrataciòn di Siviglia, un centro di formazione per futuri capitani di lungo corso. Negli altri paesi europei la creazione di istituti nautici avvenne molto più tardi.

Il compasso di proporzione come simbolo degli strumenti creati per la matematica applicata

Gli strumenti nautici sviluppati dopo il passaggio dalla navigazione costiera a quella in mare aperto, e le pertiche usate per misurare la capacità delle botti sono un esempio di diversi campi della matematica applicata in cui i problemi erano risolti attraverso procedimenti meccanico-algoritmici con l'ausilio di strumenti. Poiché tali strumenti avevano un costo relativamente grande, si cercò di ridurne il più possibile il numero, e accanto all'astrolabio, già noto nell'Antichità, nel XVI sec. furono messi a punto diversi strumenti universali e polivalenti. Tra questi rientra il 'compasso di proporzione', che nel XVII sec. divenne ben presto il simbolo dell'intero ambito della matematica applicata e rimase in uso sino all'Ottocento.

Per quanto riguarda i matematici pratici cui si deve la realizzazione di tali strumenti, occorre distinguere tre categorie, che assolvevano ad altrettante diverse funzioni: quella degli inventori e progettisti, quella dei fabbricanti e, infine, quella degli autori di trattati, sia eruditi sia autodidatti, che descrivevano come fabbricare e usare i nuovi strumenti. Naturalmente, tutte e tre le funzioni potevano essere associate in un'unica persona. La funzione dell'ultima categoria, quella degli autori, dimostra in quale misura la prassi matematica potesse allontanarsi dalla sfera pratica; difatti, i trattati sugli strumenti con pretese erudite (per es., quelli prodotti in Germania, soprattutto per le fiere del libro di Francoforte e di Lipsia) erano concepiti soltanto in parte come descrizioni empiriche di applicazioni pratiche. Sfruttando la funzione pubblicitaria di tali opere, gli autori se ne servivano spesso per promuovere possibilità applicative di nuova invenzione e quindi o non ancora sperimentate o addirittura irrealizzabili.

Gli strumenti scientifici erano fabbricati in un primo tempo là dove esistevano i presupposti economici e tecnici, ossia nei casi in cui, per esempio, grazie alle tecniche artigianali e metallurgiche, vi era un mercato alimentato soprattutto dalla domanda di collezionisti aristocratici. Nell'ambito degli strumenti scientifici, Norimberga e Augusta assicurarono alla Germania la supremazia europea sino alla guerra dei Trent'anni. Nel XVI sec. i Paesi Bassi e l'attuale Belgio iniziarono a far concorrenza ai Tedeschi e, sempre nello stesso secolo, anche in Inghilterra, in particolare a Londra, si cominciarono a costruire strumenti, dapprima con l'ausilio di tecnici stranieri. Lo stesso vale per la Francia e la sua capitale, Parigi, che sino alla fine del XVII sec. deteneva assieme a Londra il predominio europeo nella fabbricazione di strumenti. Era naturale che anche gli inventori e gli esponenti più 'teorici' della matematica applicata si stabilissero in questi centri di produzione di strumenti scientifici.

Tornando al compasso di proporzione, un importante punto di partenza per la sua realizzazione fu la ricerca di un metodo meccanico per risolvere il problema della suddivisione in segmenti. Per determinare i necessari rapporti, già gli Antichi avevano usato un compasso doppio con perno fisso, secondo un metodo che fu ripreso nel XVI secolo. Un unico strumento, il 'compasso di riduzione con perno mobile', avrebbe in seguito compendiato la funzione di suddivisione di questa pluralità di singoli compassi ad apertura fissa.

Secondo Muzio Oddi (1633), fu Guidobaldo Dal Monte (1545-1607) a ideare, tra il 1568 e il 1570, il compasso di proporzione nella sua forma originaria. Con una coppia di scale per la divisione del segmento, tale compasso assolveva la funzione del compasso di riduzione, ed era dotato dall'altro lato di scale funzionali per la divisione della circonferenza. Questa forma primitiva del compasso di proporzione secondo Oddi si sarebbe diffusa dall'Italia in tutta Europa.

Al perfezionamento del compasso di proporzione fece riscontro la messa a punto di altri strumenti polivalenti, tra cui astrolabi e aste graduate modificate, come il cosiddetto 'raggio', nonché vari tipi di compasso. Compassi dotati di una serie di scale, che però richiedevano sistemi di misurazione e di lettura assai diversi e in parte anticipavano la forma esteriore del compasso di proporzione, sono documentati già nella seconda metà del XVI secolo.

Questa forma particolare sembra sia nata dall'esigenza di dividere una scala graduata. Il notevole dispendio tecnico richiesto per la fabbricazione di una molteplicità di tali strumenti polivalenti e per gli accessori spesso assai numerosi fecero insorgere un'esigenza di semplificazione e di unificazione dei metodi. Fabrizio Mordente soddisfece questa esigenza con un suo compasso, che con un unico metodo consentiva di risolvere meccanicamente un ambito di problemi corrispondente ai primi sei libri degli Elementi di Euclide. I primi compassi di questo genere furono costruiti tra il 1554 e il 1567. Fu probabilmente il belga Michiel Coignet (1549-1623), al quale si deve anche una descrizione del compasso di Mordente, a trasporre le funzioni di quest'ultimo al compasso di proporzione, che, come abbiamo accennato, esisteva già nella sua forma primitiva. In una serie di manoscritti risalenti al 1610 circa, Coignet portò a dodici il numero delle scale funzionali del compasso di proporzione.

Tuttavia, una lettera del maggio 1610 di Giovanni Camillo Gloriosi a tale Terenzio, che negava a Galileo la paternità del compasso di proporzione da questi rivendicata (Galileo, Opere, X, ed. Favaro, p. 363), dimostra che Coignet aveva realizzato questa estensione già negli anni Ottanta del XVI secolo. La lettera in questione lascia supporre che il passaggio decisivo dal compasso di proporzione originario per la divisione di rette e archi di cerchio a uno strumento universale per tutta la matematica applicata ‒ che richiedeva come unico metodo la misurazione con compassi ad apertura fissa ‒ sia stato compiuto da Coignet.

Tav. I

Anche la controversia di Galilei ‒ menzionata nel suo scritto contro Baldassarre Capra (1580 ca.-1626), presunto plagiatore del suo compasso di proporzione (Difesa di Galileo Galilei) ‒ con Zieckmesser, un costruttore di strumenti fiammingo comparso a Padova intorno al 1603 con un compasso di proporzione chiaramente diverso da quello di Galilei, attesta una più antica tradizione fiamminga per questo strumento, alla descrizione del quale è dedicata la Tav. I. Rispetto al compasso di proporzione, Galilei si colloca quindi alla fine di un lungo processo di evoluzione, dovuto a una serie di predecessori in Italia e in Olanda. Di tale processo egli non è dunque l'iniziatore, come ha invece fatto credere lungamente la sua capacità di propagandare tale strumento, nella forma da lui conferitagli, come il compendio meccanico della matematica pratica in generale.

L'utilità del compasso di proporzione in altri ambiti della matematica applicata, per esempio nell'artiglieria, è difficile da valutare, in quanto mancano informazioni al riguardo. I risultati, decisivi per l'applicazione pratica, ottenuti con l'uso di strumenti come il compasso di proporzione non erano divulgati, ma tendevano a essere mantenuti segreti (Wolfgang Lochmann, Instrumentum instrumentorum mathematicorum). D'altro canto, sappiamo che all'epoca, per dividere i terreni ci si accontentava di sistemi di misurazione delle superfici incredibilmente primitivi e imperfetti, cosicché è probabile che gli agrimensori, date le loro scarse conoscenze matematiche, ricorressero al compasso di proporzione come strumento di calcolo anziché di misurazione. Una conferma del fatto che ancora nel XVIII sec. il compasso di proporzione era lo strumento di calcolo prediletto degli agrimensori è data da Johann Tobias Mayer (Gründlicher und ausführlicher Unterricht zur praktischen Geometrie). Una situazione analoga vigeva nel campo della navigazione d'alto mare; anche i marinai avevano in genere un livello d'istruzione piuttosto basso e quindi ricorrevano volentieri a uno strumento di calcolo meccanico, e anche in questo caso non si esigeva l'esattezza dei risultati calcolati, data l'imprecisione degli strumenti nautici di misurazione.

Il compasso di proporzione nella forma che fu sviluppata da Coignet e da Galilei era considerato uno strumento universale di calcolo e di misurazione che consentiva, perlomeno in teoria e per le necessità dell'insegnamento, un compendio meccanico in grado di coprire l'intero ambito della matematica applicata. L'ideale di uno strumento universale adatto a ogni possibile esigenza fu raggiunto a prezzo di una serie di compromessi che, come abbiamo visto, ne limitavano l'applicazione pratica. Ciò non valeva nel caso di strumenti specifici per un singolo scopo, in quanto in questo caso non si poneva il problema dell'applicazione pratica. Importanti ambiti della matematica applicata, per i quali furono create scale graduate e dispositivi di misurazione adatti al compasso di proporzione furono anche quelli, illustrati in precedenza, dell'artiglieria, delle fortificazioni e della geodesia.

I logaritmi, un nuovo strumento di calcolo

I logaritmi quale nuovo strumento di calcolo si possono considerare soltanto in parte un prodotto della matematica applicata. Sia il costruttore di strumenti al servizio del langravio d'Assia, lo svizzero Jobst Bürgi (1572-1632), sia il barone scozzese John Napier (1550-1617), che inventarono i logaritmi indipendentemente l'uno dall'altro, avevano cercato espressamente un sistema per risolvere i problemi di calcolo di operazioni che coinvolgevano numeri di molte cifre (in particolare la moltiplicazione e la divisione), i quali si presentavano soprattutto nell'astronomia e nella trigonometria, quest'ultima strettamente connessa alla prima.

Sia Bürgi sia Napier nacquero intorno al 1550, e nonostante la loro invenzione risalisse agli anni Ottanta-Novanta del secolo, la divulgarono soltanto molti anni dopo. Nel suo primo trattato, apparso nel 1614, Napier spiega di essere stato indotto a inventare il metodo di quelli che egli chiamò 'logaritmi' in considerazione del fatto che, nel caso dei numeri con molte cifre, la moltiplicazione, la divisione e l'estrazione della radice diventano estremamente faticose e lente, e facilmente soggette a errori. I suoi logaritmi avrebbero ridotto tali operazioni all'addizione e alla sottrazione.

Una riduzione delle operazioni aritmetiche superiori (cioè moltiplicazione e divisione) a quelle inferiori (addizione e sottrazione) era già stata ottenuta in precedenza con la cosiddetta prostaferesi, con cui, sulla base di relazioni trigonometriche si poteva ricondurre un prodotto a somme e differenze, come, per esempio, senp+senq=2sen[(p+q)/2] cos[(p−q)/2] oppure senα cosβ=[sen(α+β)+sen(α−β)]/2, dove p+q=2α e p−q=2β.

Questo procedimento, che risaliva ai lavori del canonico di Norimberga Johann Werner (1468-1522) sulla trigonometria sferica, fu usato per i suoi calcoli astronomici da Tycho Brahe (1546-1601), il quale lo aveva appreso da un intermediario. La prostaferesi ideata da Werner risolveva il problema di calcolo per le operazioni superiori soltanto in modo imperfetto in quanto, per esempio nel caso del prodotto di due numeri, occorreva prima trovare gli angoli per le funzioni dei seni corrispondenti ai fattori. Si cominciarono così a cercare alternative alla prostaferesi, i cui difetti erano ben noti sia a Bürgi sia a Napier.

A un metodo alternativo per ricondurre la moltiplicazione e la divisione all'addizione e alla sottrazione si fa già cenno sia nell'Aritmetica di Heinrich Schreiber sia in quella di Michael Stifel (1486/1487-1567), dove i termini di una successione aritmetica erano posti in corrispondenza biunivoca con i termini di una successione geometrica. Stifel estese la correlazione ai termini negativi della successione aritmetica. In concreto, egli aveva fatto corrispondere i numeri interi da −n sino a +n alle corrispondenti potenze 2ⁿ di 2,

stabilendo poi che la moltiplicazione di due termini della successione geometrica corrisponde all'addizione di due termini della successione aritmetica, e la divisione nella successione geometrica alla sottrazione in quella aritmetica: infatti, 2ⁿ⋅2^m=2^n+m e 2ⁿ:2^m=2^n-m. Analogamente, la moltiplicazione e la divisione nella successione aritmetica corrispondono all'elevazione a potenza e all'estrazione della radice in quella geometrica, (2ⁿ )^m=2^n⋅m e

Bürgi e Napier si rifecero alle idee di Stifel, e per ottenere un insieme più fitto dei valori che fungono da numeri nella successione geometrica, posero i quozienti della successione geometrica molto prossimi al valore 1 e resero molto piccola la differenza tra i termini della successione aritmetica.

Ai termini n⋅10⁻⁴ della successione aritmetica che fungono da logaritmi, Bürgi fece corrispondere i termini (1+10⁻⁴)ⁿ della successione geometrica. La sua opera destò comunque scarsa attenzione, probabilmente in quanto egli non ordinava linearmente i numeri, come nelle tavole logaritmiche successive, bensì i logaritmi, e ciò rendeva complicato per chi le usava trovare il logaritmo relativo a un dato numero. Delle sue tavole, apparse nel 1620, si conosce attualmente un unico esemplare completo.

I logaritmi di Napier per contro destarono un vivo interesse. Analogamente a Bürgi, Napier fa corrispondere una successione aritmetica a una successione geometrica. Nella sua tavola, i valori progressivi (di un grado sessagesimale) del seno corrispondono ai termini della successione geometrica.

Soltanto Henry Briggs (1561-1630), che tra il 1615 e il 1616 aveva conosciuto personalmente Napier, introdusse i logaritmi a base dieci, sulle cui tavole si fondava l'uso di strumenti come il regolo calcolatore. Le dettagliate tavole logaritmiche che furono pubblicate nel XVII sec. si servirono assai presto della notazione in frazioni decimali, che in precedenza era già stata usata occasionalmente nelle tavole trigonometriche e in quelle dell'interesse composto, ma che si affermarono soltanto con la pubblicazione nel 1585 dell'opera De thiende (Il sistema decimale) di Simon Stevin.

In ogni caso, tanto per l'epoca in cui furono introdotti quanto per il loro principale campo di applicazione, cioè l'astronomia, i logaritmi trascendono l'ambito della matematica applicata vera e propria. Soltanto uno dei due inventori, vale a dire Jobst Bürgi, è da annoverarsi tra i matematici pratici, tuttavia anch'egli, almeno dal punto di vista dello status sociale, apparteneva alla categoria dei privilegiati che lavoravano al servizio dei prìncipi, e quindi a un gruppo sociale che, nel corso del XVII sec., si separò da quello dei matematici pratici.

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