immagine
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immagine in teoria degli insiemi e in algebra, se ƒ: X → Y è una funzione, allora l’immagine di X tramite ƒ (o più semplicemente immagine di ƒ ) è il sottoinsieme di Y, indicato con il simbolo ƒ(X) o anche Im(ƒ ), costituito dagli elementi y per cui esiste almeno un elemento x di X tale che y = ƒ(x). Per esempio, l’immagine della funzione reale di variabile reale ƒ(x) = x 2 è costituita dall’insieme dei numeri reali non negativi. L’elemento y è detto immagine dell’elemento x (tramite ƒ ). Viceversa, dato un sottoinsieme B ⊆ Y, l’insieme dei punti x per cui ƒ(x) ∈ B è detto controimmagine di B e designato con ƒ−1(B) (da non confondersi con l’applicazione inversa di f che potrebbe non esistere). Risulta sempre ƒ(ƒ−1(B)) = B, ma in genere A ⊆ ƒ −1(ƒ(A)).
Se ƒ è una applicazione lineare tra spazi vettoriali V e W, e A e B sono sottospazi, anche ƒ(A) e ƒ−1(B) sono sottospazi rispettivamente di W e di V. In particolare Ker(ƒ ) = ƒ−1({0}) si dice nucleo dell’applicazione. Nel caso in cui V abbia dimensione finita vale il teorema della nullità più rango: dim(ƒ(V)) + dim(Ker (ƒ )) = dim(V).