improprio

improprio

improprio termine che assume diversi significati a seconda del contesto.

☐ In algebra elementare, è detta impropria una frazione il cui numeratore è, in valore assoluto, maggiore del denominatore. Una tale frazione è maggiore di 1 se positiva (come per esempio 5/4), minore di –1 se negativa (come per esempio −7/3). Una frazione impropria può sempre essere riscritta come somma algebrica di un numero intero e di una frazione propria (avente cioè il numeratore minore del denominatore). Per esempio 5/4 = 1 + 1/4 e −7/3 = −2 − 1/3.

☐ Uno spazio affine si dice ampliato con gli elementi impropri quando se ne considerano punti, rette o piani (detti appunto impropri) all’infinito. In tale contesto una retta ha un punto improprio che può essere identificato con la sua direzione e un piano ha una retta impropria, che può essere identificata con la sua giacitura. L’aggettivo si utilizza per assicurare uniformità con la terminologia impiegata usualmente per gli elementi propri (cioè al finito). Per esempio, si dirà che due distinte rette si intersecano sempre in un punto e, se tale punto è improprio, le due rette si dicono parallele. Così, si dice fascio di rette improprio un fascio di rette parallele. Analogamente, due piani si dicono paralleli se si intersecano in una retta impropria.

In un piano affine ampliato con gli elementi impropri, le coniche si classificano proprio in base alla loro intersezione con la retta impropria: un’ellisse ha come intersezione con la retta impropria del piano due punti immaginari (ciò è interpretabile con il fatto che l’ellisse è una curva chiusa in cui nessun punto “sfugge” all’infinito); una parabola ha come intersezione con la retta impropria del piano due punti impropri coincidenti (interpretabili come la direzione del suo asse di simmetria); un’iperbole ha come intersezione con la retta impropria del piano due punti impropri distinti (interpretabili come le direzioni dei suoi asintoti).