Gentzen, induzione transfinita di

Gentzen, induzione transfinita di

Gentzen, induzione transfinita di in logica, metodo dimostrativo ottenuto come estensione dell’induzione matematica dai numeri naturali ai numeri ordinali transfiniti. Gentzen introduce la sequenza di numeri ordinali transfiniti nel seguente modo: il numero ω è definito come «collocato dopo tutti numeri naturali». Esso è seguito da ω + 1, poi da ω + 2, ω + 3, ... (→ numero ordinale). Dopo tutti i numeri della forma ω + n, segue ω ⋅ 2, quindi ω ⋅ 2 + 1, ω ⋅ 2 + 2, ... Dopo tutti i numeri della forma ω ⋅ n + n segue il numero ω², quindi ancora

In modo analogo, si possono poi formare ω⁴, ω⁵, fino a ω^ω e ancora ulteriori numeri. A partire da tale costruzione di numeri ordinali transfiniti, Gentzen così definisce l’induzione transfinita: «Supponiamo che una proposizione valga per il numero 1, e che sia stato provato inoltre che se la proposizione vale per tutti i numeri precedenti un certo numero ordinale, essa vale anche per quel numero ordinale. Allora noi ragioniamo così: la proposizione vale per il numero 1, quindi anche per il numero 2, così anche per il 3 ecc., quindi per tutti i numeri naturali. Di conseguenza vale per il numero ω, precisamente perché vale per tutti i predecessori. Per la stessa ragione vale per il numero ω + 1, così anche per ω + 2 ecc., infine vale per ω ⋅ 2; e inoltre, corrispondentemente, noi mostriamo la sua validità per ω ⋅ 3, ω ⋅ 4 ecc., infine anche per ω². Continuando in questo modo, possiamo convincerci della validità della regola di induzione transfinita procedendo passo per passo nella sequenza dei numeri ordinali transfiniti. Come i numeri diventano più grandi, la situazione diventa, per ammissione, piuttosto complicata da scriversi, ma il principio rimane sempre lo stesso».