induzione

induzione

Procedimento logico, mediante il quale si passa dalla considerazione di casi particolari a una conclusione generale. In matematica, un insieme A (o una proprietà P) si dice definito per i. se la sua definizione soddisfa le seguenti condizioni: elementi di uno specifico tipo, detti elementi-base, appartengono ad A (o godono di P); comunque si scelgano elementi che appartengono ad A (che godono di P), i risultati ottenuti applicando a quegli elementi operazioni prefissate appartengono ad A (o godono di P); si esclude che enti diversi da quelli indicati appartengano ad A (o godano di P). Per es., una tipica definizione per i. è quella nell’insieme N dei numeri naturali. L’elemento-base è lo zero, l’operazione è quella di ‘successore’; si dirà allora: zero appartiene a N; se n appartiene a N, anche il successore di n deve appartenere a N; nient’altro appartiene a N.

Dimostrazione per induzione

Data una successione infinita di proposizioni matematiche (A₁, A₂,...,A_n,A_n+1,...), tutte le proposizioni della successione sono vere se risultano verificate le seguenti condizioni: la prima proposizione, A₁, è vera; supponendo vera una qualsiasi proposizione della successione, per es. A_n, se ne deduce la verità della successiva, A_n+1. È questo il cosiddetto principio di i. completa. Tale principio si incontra in forme diverse, come per es.: «se una proprietà A è vera per il numero 1, e se supponendola vera per un intero n qualsiasi, si deduce che essa è vera anche per il successivo (ossia n+1), essa è vera per tutti i numeri interi».

Il principio di i. fornisce la giustificazione per le cosiddette definizioni ricorsive di funzioni aritmetiche. In generale, esse stabiliscono il valore di una funzione per l’argomento zero (e per eventuali parametri); poi verificano il valore della funzione per l’argomento n+1, in dipendenza (oltre che dai parametri) da n e dal valore della funzione per n, utilizzando, se necessario, altre funzioni già note.

Nelle scienze sperimentali l’i. empirica o i. incompleta consiste nell’enunciare una legge valida in generale, basandosi soltanto su una successione finita di osservazioni, e questa avrà un valore e un senso solo se si suppongono validi certi caratteri di regolarità nel fenomeno studiato.