infinitesimo

infinitesimo

infinitesimo nel linguaggio comune, termine utilizzato come sinonimo di “molto piccolo”, di “quantità evanescente”, trascurabile quantunque non nulla. In ambito matematico, il concetto di infinitesimo è diverso da quello di “molto piccolo” ed è definibile ricorrendo all’idea di limite, come funzione ƒ che ammette limite 0 per x → x₀, anche detta funzione infinitesima. Il termine infinitesimo deve dunque essere considerato un infinitesimo potenziale, cioè una quantità variabile che, in un opportuno insieme, diventa più piccola (in modulo) di un valore assegnato ad arbitrio.

Gli infinitesimi attuali, cioè quantità costanti più piccole di qualsiasi valore positivo, non esistono nell’analisi classica, ma solo nella analisi non standard. Supponendo che ƒ: R → R, sia x₀ (finito o infinito) un punto tale che

si dice allora che ƒ è un infinitesimo per x → x₀. Il valore ƒ(x₀) è irrilevante. Importante è il confronto tra infinitesimi: se ƒ e g sono due infinitesimi per x → x₀, e se sono diversi da 0 in un intorno di x₀, si può considerare il limite

Se l = 0, e quindi se ƒ tende a 0 più rapidamente di g, si dice che ƒ è infinitesimo di ordine superiore rispetto a g; se l è finito e diverso da 0, i due infinitesimi sono dello stesso ordine, mentre se l = ∞, ƒ è infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g. Infine, se il limite l non esiste, i due infinitesimi si dicono non confrontabili. Per meglio specificare il confronto, si può considerare il

Se esiste un numero α > 0 per cui tale limite assume un valore finito l ≠ 0, si dice che ƒ è un infinitesimo (o, equivalentemente, una funzione infinitesima) di ordine α (per x → x₀) rispetto all’infinitesimo campione g, e che l ⋅ g(x)^α ne è la parte principale. A seconda che sia α > 1, oppure α = 1 oppure 0 < α < 1, ƒ è rispettivamente infinitesimo di ordine superiore, uguale o inferiore rispetto a g; tuttavia, anche per infinitesimi confrontabili un tale valore di α potrebbe non esistere.

Usualmente si sceglie come g una funzione molto semplice: tipicamente g(x) = x − x₀ (se x₀ è finito) oppure g(x) = 1/x (per x₀ = ∞). Per esempio, per x₀ = 0, con g(x) = x, gli infinitesimi

sono rispettivamente: di ordine 1, di ordine 2, di ordine 1/3, di ordine inferiore senza che esista un valore di α che precisi tale ordine (1/lnx è un infinitesimo di ordine inferiore a ogni potenza x^α), non confrontabile. Le parti principali dei primi tre infinitesimi sono rispettivamente x, x ²/2, 2x^1/3.

Per x₀ = +∞, la funzione e^−x è infinitesima di ordine superiore a qualsiasi potenza di 1/x.

La regola di sostituzione degli infinitesimi consente di semplificare il calcolo di certi limiti: così, se F è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a ƒ e G è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g, risulta

Per l’uso della nozione di infinitesimo nel calcolo dei limiti, si vedano le voci → equivalenza asintotica, → o piccolo.