insieme algebrico
insieme algebrico
insieme algebrico sottoinsieme di uno spazio affine An(K) (dove K è un campo) definito come l’insieme degli zeri comuni di un opportuno ideale I ⊆ K[x1, ..., xn]; un tale insieme è solitamente indicato con il simbolo V(I). Si dimostra che gli insiemi algebrici soddisfano le seguenti proprietà:
• l’unione di un numero finito di insiemi algebrici è un insieme algebrico;
• l’intersezione di una famiglia qualunque di insiemi algebrici è un insieme algebrico;
• l’insieme vuoto (definito dall’equazione 1 = 0) e tutto lo spazio (definito dall’equazione 0 = 0) sono insiemi algebrici.
Tali sono gli assiomi che devono soddisfare i chiusi di una topologia su An(K); si definisce pertanto la topologia di → Zariski su An(K) come la topologia i cui chiusi sono gli insiemi algebrici. Tale struttura geometrica sullo spazio affine An(K) è alla base della → geometria algebrica. Se il campo K è algebricamente chiuso, allora il teorema degli zeri di → Hilbert stabilisce una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi algebrici di An(K) e gli ideali radicali di K[x1, ..., xn]; secondo tale corrispondenza i punti di An(K) corrispondono agli ideali massimali di K[x1, ..., xn].