insieme denso

insieme denso

insieme denso relativamente a una relazione d’ordine in esso definita, è un insieme in cui dati due elementi distinti qualunque a e b, con a < b, esiste un suo elemento c tale che a < c < b. Un insieme denso è necessariamente infinito. Denso è per esempio l’insieme Q dei numeri razionali con il suo ordinamento naturale. Più in generale, un insieme E si dice denso in G se E ⊆ G ⊆ E̅ dove E̅ (E soprasegnato) indica qui la chiusura di E che pertanto coincide con G. Per esempio, Q è denso in R, perché ogni x reale è limite di una successione di razionali, e quindi appartiene alla chiusura di Q. Questa nozione è molto importante nell’analisi funzionale, perché consente di approssimare gli elementi di uno spazio Y con quelli di un suo sottospazio denso X, in genere più regolari di quelli di Y. Tipico è il caso del completamento di uno spazio X, nel quale X è appunto denso.