insieme fuzzy

insieme fuzzy

Sia X un insieme arbitrario e I l’intervallo [0,1] della retta reale. Un insieme fuzzy è una qualsiasi funzione f:X→I da X ad I. Il nome insieme fuzzy dato a queste applicazioni nasce dalla possibilità di interpretarle, seguendo Lotfi A. Zadeh, come una generalizzazione delle funzioni caratteristiche della teoria degli insiemi. Joseph A. Goguen ha generalizzato questa nozione sostituendo a I un qualsiasi reticolo L e introducendo la nozione di insieme L-fuzzy. La cardinalità (generalizzata) di un insieme fuzzy è data da

P(f) =∑_χ∈Χ f(x).

Denotiamo adesso con ℒ(X) la classe di tutti gli insiemi fuzzy definiti in X. È possibile introdurre una struttura di reticolo in L(X) mediante le operazioni binarie ∨ e ∧ che associano a ogni coppia di elementi f e g di ℒ(X) gli elementi f ∨g e f ∧g di ℒ(X) definiti come segue: per ogni x∈X,

(f∨g)(x) = max{f(x), g(x)}

(f∧g)(x) = min{f(x), g(x)}.

Si verifica facilmente che le due operazioni binarie ∨ e ∧ – che possono interpretarsi come l’analogo per gli insiemi fuzzy delle operazioni insiemistiche di unione e intersezione – sono distributive l’una rispetto all’altra; inoltre, per ogni f∈ℒ(X), può essere introdotta la cosiddetta negazione f′, così definita: per ogni x∈X,

f′(x) = 1 − f(x).

Questa operazione unaria (′) soddisfa le proprietà seguenti note, rispettivamente, come involuzione e leggi di De Morgan:

(f′)′ = f

(f ∨g)′ = (f′∧g′)

(f∧g)′ = (f′∨g′).

Si osservi che, tranne nel caso in cui f è una funzione caratteristica classica, non sono soddisfatte le leggi del terzo escluso e di non contraddizione, avendosi:

f ∨ f′ fi 1 f ∧ f′fi 0.

Quindi f′ non è il complemento algebrico di f e possiamo concludere che ℒ(X) è un reticolo distributivo ma non complementato. La teoria degli insiemi fuzzy è stata formulata da Zadeh in termini delle operazioni di unione, intersezione e negazione descritte prima, alle quali oggi ci si riferisce come operazioni standard. Nello stesso lavoro iniziale, Zadeh ha accennato alla possibilità di definire altre operazioni di composizione tra insiemi fuzzy. In letteratura sono oggi descritte e classificate diverse operazioni di composizione nonché funzioni di aggregazione di insiemi fuzzy. Si può mostrare che le operazioni standard (∨) e (∧) definite prima sono le uniche operazioni interpretabili come unione e intersezione fuzzy a essere idempotenti. Anche questo sottolinea il ruolo centrale che le operazioni standard svolgono nella teoria. Si ricorda inoltre che Dieter Klaua con la sua scuola iniziò a sviluppare una Mehrwertigenmengenlehre (teoria degli insiemi a più valori) in una serie di lavori scritti a partire dal 1966, indipendentemente da Zadeh e con finalità puramente teorico-fondazionali. Lo scopo, infatti, era quello di costruire una ‘controparte’ insiemistica delle logiche a più valori di Łukasiewicz. Tra i precursori della nozione di insieme fuzzy è poi da ricordare Karl Menger, che introdusse nel 1951 la nozione di ensemble flou. Una questione rilevante ancora oggi discussa è quella di valutare in che misura la nozione di insieme fuzzy permetta di realizzare l’obiettivo della formalizzazione della vaghezza.

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