insieme

insieme

insième [Der. del lat. insemel, forma corrotta di insimul, comp. di in- e simul "insieme"] [ALG] Secondo la definizione di G. Cantor, ogni raccolta (aggregato, famiglia) di enti distinti, detti elementi o termini dell'insieme. Siccome tale definizione "ingenua" può dare luogo a paradossi, sono state costruite teorie assiomatiche che danno definizioni "critiche" (v. oltre: Teoria degli i.). Un i. può essere rappresentato scrivendo tra parentesi graffe i suoi elementi o una proprietà che li caratterizza, come nell'esempio che segue: { 0,1,2,3} ovvero {x|x∈N e x<4}, dove N indica l’i. dei numeri naturali; per indicare che a è un elemento di un i. A, cioè appartiene ad A, si scrive a ÎA. Dato un i. A, si dicono sottoinsiemi o parti di A, gli i. ottenuti considerando una parte o tutti gli elementi di A; sottoinsieme di un qualunque i. è sempre l’i. senza elementi (i. vuoto, o i. nullo), indicato con il simbolo Ø. ◆ I. canonico: v. insiemi statistici: III 212 d e meccanica statistica: III 729 e. ◆ I. cilindrico: v. diffusione, teoria della: II 168 b. qz I. creativo: v. Gödel, teorema di: III 57 d. ◆ I. dei tempi: v. sistemi, teoria dei: V 316 d. ◆ I. denso: v. spazio topologico: V 468 f.  ◆ I. d’insuccesso: v. affidabilità: I 85 f. ◆ I. di pressione: v. insiemi statistici: III 218 c. ◆ I. di sistemi indipendenti e identicamente preparati: lo stesso che collettivo statistico o ensemble: v. probabilità classica: IV 577 c. ◆ I. di taglio minimo: v. affidabilità: I 85 f. ◆ I. esterno: v. analisi non standard: I 145 e. ◆ I. filtrante crescente: v. funzionale, analisi: II 770 a. ◆ I. gran canonico: v. insieme statistico: III 218 b. ◆ I. interno: v. analisi non standard: I 145 d. ◆ I. libero: in contrapp. a i. vincolato e simili, i. dotato di una struttura algebrica (gruppo, reticolo, algebra, ecc.) i cui elementi si ottengano a partire da alcuni suoi elementi generatori, utilizzando tutte le possibili espressioni letterali formali che s’ottengono applicando ai generatori le operazioni algebriche definite nell’i. stesso e identificando due espressioni solo se l’una si può ricondurre al-l’altra servendosi delle sole proprietà formali delle operazioni. ◆ I. limite in passato, in futuro: v. equazioni differenziali ordinarie nel campo reale: II 457 a. ◆ I. microcanonico: v. insieme statistico: III 212 d e meccanica statistica: III 729 b. ◆ I. misurabile: v. misura e integrazione: IV 2 b. ◆ I. perfetto: ogni i. chiuso privo di punti isolati. ◆ I. raggiungibile: v. controllo, teoria del: I 752 c. ◆ I. ricorsivo e ricorsivamente numerabile: v. automi, teoria degli: I 332 c. ◆ I. risolvente: v. algebre di operatori: I 93 c. ◆ I. standard: v. analisi non standard: I 145 f. ◆ I. statistico: i. di misure stazionarie, definite sulle cellette dello spazio delle fasi che identificano l’i. degli stati di equilibrio macroscopico per un sistema (J.W. Gibbs usò per gli i. statistici il termine, ancora attuale, ensemble, mentre L. Boltzmann usò il termine monodo, ormai desueto): v. insieme statistico. ◆ I. statistico ampliato: v. insieme statistico: III 219 c. ◆ I. stocasticamente equivalenti: v. processi stocastici: IV 606 f. ◆ I. termodinamici: v. limite centrale, teoremi del: III 414 b. ◆ I. vuoto: un i. senza elementi (v. sopra). ◆ Algebra degli i.: sistema algebrico i cui elementi sono i sottoinsiemi A, B, C, ecc. di un dato i. e le cui operazioni sono l’unione, l’intersezione e la formazione del complementare (v. oltre: Operazioni sugli i.). ◆ Funzione d’i.: per una famiglia S di i. T, si dice che y è funzione dell’i. T e si scrive y=f(T), se esiste una legge che a ogni i. T di S associa un valore di y. Tale definizione, che rientra nella definizione generale di funzione, contiene casi particolari notevoli; per es., se S è una famiglia di domini si hanno le funzioni di dominio, se S è una famiglia di linee si ha una funzione di linea. In generale, se S è una famiglia di i. T e H è una famiglia di i. Y, si dice che Y è funzione di T e si scrive Y=f(T) se esiste una legge che a ogni i. T di S associa un i. Y di H; è questo il concetto più generale di funzione. ◆ Operazioni sugli i.: (a) l’unione (o somma) di due i. A e B, che è l’i. costituito da tutti gli elementi di A e da tutti gli elementi di B (cioè anche: dagli elementi che appartengono ad A o a B); essa s’indica con il simbolo A»B o anche, qualche volta A+B; nella fig. 1 è rappresentato l’i. unione dei due insiemi A e B; (b) l’intersezione (o interferenza o, con termine in disuso, prodotto) di A e B, che è l’i. costituito dagli elementi che appartengono sia ad A sia a B, e s’indica con il simbolo A«B o anche, talvolta, A◊B (fig. 2); se A e B sono privi di elementi comuni, l’i. intersezione è l’i. vuoto: A«B=Ø); (c) la formazione dell’i. complementare A' (o, più spesso, CA) di un i. A rispetto a un i. B, dato dagli elementi di B non appartenenti ad A (fig. 3); il caso più frequente è che A sia un sottoinsieme di B. Le operazioni di unione e di intersezione tra i. godono delle proprietà commu-tativa (ossia A»B=B»A, A«B=B«A), associativa (cioè A»(B»C)=(A»B)»C e A«(B«C)=(A«B) «C, di idempotenza (A»A=A, A«A=A), distributiva A»(B«C)=(A»B)«(A»C), A«(B»C)= (A«B)» (A«C); inoltre, si hanno le due leggi di De Morgan C(A»B)=(CA)«(CB), C(A«B)= (CA)»(CB), che collegano le operazioni di unione, intersezione e costruzione dell’i. complementare; (d) il prodotto (o prodotto cartesiano) di due i. A e B, indicato con A´B, l’i. i cui elementi sono le coppie di elementi (a, b) con a in A e b in B (per es., se A e B sono due segmenti A´B è il rettangolo che li ha per lati, mentre se A e B sono due circonferenze A´B è un toro: fig. 4); (e) la formazione dell’i. delle parti P(I) di un i. I: è un nuovo i., il quale ha come elementi i sottoinsiemi di I; (f) il confronto tra i., con ciò intendendosi che se A e B sono due sottoinsiemi di un i. I, A è contenuto in B (o B contiene A) se ogni elemento di A appartiene anche a B; tale relazione tra A e B si dice relazione di inclusione (in simb.: AÃB, B A); (g) se A e B sono due i. qualsiasi, si dirà che A e B hanno la stessa potenza (o cardinalità, o anche lo stesso numero cardinale) se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca fra gli elementi dei due i., cioè se è possibile formulare una legge secondo la quale a ogni elemento di A può essere associato uno e un solo elemento di B, e inversamente. ◆ Teoria degli i.: capitolo relativ. recente della matematica, tra i grandi fondatori e sistematori del quale sono da ricordare il ted. G. Cantor (1854-1918) e l’it. G. Peano (1858-1932). Tra le vicende che più dettero impulso alla teoria e permisero di evidenziare la sua importanza nell’ambito dello sviluppo della matematica moderna è la scoperta, da parte di B. Russel, di una antinomia all’interno della teoria «ingenua» inizialmente elaborata da Cantor: secondo tale antinomia l’i. di tutti gl’i. che non contengono sé stessi come elemento dovrebbe simultaneamente appartenere e non appartenere a sé stesso. La radice di questo e di altri paradossi fu individuata nell’uso indiscriminato dell’assioma di comprensione, che garantisce per una qualunque proprietà l’esistenza dell’i. degli elementi che godono di essa. Alla difficoltà si cercò di porre rimedio in vari modi; lo stesso Russell elaborò la teoria dei tipi, in cui impose limitazioni all’assioma di comprensione stabilendo una specie di gerarchia, detta appunto dei «tipi», secondo la quale un i. deve essere di tipo superiore a quello dei suoi elementi, e non ha quindi più senso parlare di i. appartenenti (o non appartenenti) a sé stessi. E. Zermelo per primo applicò alla teoria degl’i. il metodo assiomatico, che ha poi avuto grande sviluppo; nella sua teoria, l’assioma di comprensione è sostituito da una serie di assiomi di portata più ristretta. Oggi esistono varie e approfondite teorie assiomatiche degl’i.; tuttavia, esse sono molto più deboli di quella cantoriana e non permettono nemmeno di dimostrare tramite i soli assiomi corrispondenti a quello di comprensione l’esistenza di i. infiniti; questa deve perciò essere garantita da appositi postulati. La teoria generale degli i., intesi come puri e semplici aggregati di elementi non legati tra di loro da alcuna relazione, è da considerarsi il capitolo iniziale delle matematiche, comune a tutte le diverse discipline; in questo ordine d’idee le singole parti della matematica si otterranno circoscrivendo lo studio a i. che godono di particolari proprietà, anche in relazione ad altre entità matematiche. Ciò può farsi, per es., dotando gli i. di certe «strutture», diverse da un caso all’altro, le quali permettano di stabilire certe relazioni od operazioni tra gli elementi di un dato i. o di due i. diversi. In tal guisa però, si abbandona la teoria generale degli i. e si entra nel dominio di teorie più particolareggiate, ma anche più ricche di proprietà e di risultati, appunto perché gli i. astratti cessano di essere tali e diventano entità più complesse, acquistando anche, nei vari casi, particolari denominazioni. Così, quando si introducano, per gli elementi di un i., operazioni di tipo algebrico (somma, prodotto o analoghe) si entra nel dominio dell’algebra: gli i. diventano delle strutture algebriche (anelli, corpi, gruppi, ecc.). Se invece vengono definite, per gli elementi di un i., delle relazioni d’ordine (analoghe alla ordinaria relazione di maggiore e minore per i numeri reali) si hanno le strutture d’ordine a cui fa capo, tra le altre, la teoria dei numeri ordinali transfiniti. Se, infine, s’introduce una relazione di «vicinanza», di «intorno», si hanno le strutture topologiche: gli i. divengono spazi topologici e le loro proprietà sono oggetto della topologia. Queste, che abbiamo nominate, sono le tre strutture fondamentali della matematica moderna, a cui le altre vengono sostanzialmente ricondotte. ◆ Teoria degli i. interna: v. analisi non standard: I 148 a.