insieme

insieme

Termine adoperato in matematica per indicare una collezione di elementi. Un i. è definito quando siano assegnati i suoi elementi, per es. {1, 2, 5, 8} è l’i. costituito dai numeri 1, 2, 5, 8, oppure quando sia assegnata una proprietà caratteristica per i suoi elementi, cioè un criterio per decidere se un oggetto è elemento o meno di un certo i., per es. i. dei numeri pari o dei numeri dispari e così via. Gli elementi di un i. possono essere numeri, oggetti, individui ecc.; per esprimere l’appartenenza di un elemento a a un i. A si usa il simbolo a∈A e a∉A per la non appartenenza. Tra i sottoinsiemi di un i. A, cioè tra gli i. costituiti da una parte degli elementi di A, vanno considerati come sottoinsiemi impropri anche l’i. privo di elementi (detto i. vuoto e indicato correntemente con il simbolo ∅, da ritenersi come sottoinsieme di ogni altro i.) e l’i. A stesso.

Teoria degli insiemi

Grazie ai fondamentali contributi di G. Cantor e G. Peano e agli apporti di E. Zermelo e J.W.R. Dedekind, la teoria degli i. viene oggi presentata come sistema ipotetico-deduttivo. Si rinuncia a dare una vera e propria definizione di i. e si caratterizza tale concetto mediante un certo sistema di postulati relativi alle operazioni da cui può essere generato l’insieme. La teoria generale degli i. è comune a tutte le branche della matematica; il suo studio viene poi circoscritto restringendo l’attenzione a i. che godono di particolari proprietà, frequentemente dotando gli i. di ulteriori strutture matematiche. Per es., introducendo per gli elementi di un i. operazioni di tipo algebrico (somma, prodotto o analoghe), si entra nel dominio dell’algebra e gli i. diventano strutture algebriche.

Operazioni sugli insiemi

Dati due i. A e B, si definisce: A⋂B (unione o somma), l’i. costituito da tutti gli elementi di A e da tutti gli elementi di B; A⋃B (intersezione), l’i. costituito dagli elementi che appartengono sia ad A sia a B, per es. se A={1,2,3} e B={2,3,4} allora A⋂B={1,2,3,4}; A⋃B={2,3}. Se A, B sono privi di elementi comuni, i due i. si dicono disgiunti e l’intersezione è l’i. vuoto (A⋃B=∅); A^c o ¯A (i. complementare di un i. A rispetto a un i. B) è l’i. dato dagli elementi di B non appartenenti ad A. Le operazioni di unione e di intersezione tra i. godono della proprietà commutativa:

A

∪B=B∪A, A∩B=B∩A;

della proprietà associativa:

A

∪(B∪C)=(A∪B)∪C e A∩(B∩C)=(A∩B)∩C;

della proprietà di idempotenza:

A

∪A=A, A∩A=A;

della proprietà distributiva:

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).

Potenza di un insieme

Se A e B sono due i. qualsiasi, si dirà che A e B hanno la stessa potenza se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca fra gli elementi dei due i., cioè se è possibile formulare una legge secondo la quale a ogni elemento di A può essere associato uno e un solo elemento di B e viceversa.

Algebre e σ-algebre

Una famiglia di sottoinsiemi ℰ di un insieme dato Ω si chiama algebra se soddisfa le seguenti proprietà: 1) l’insieme Ω appartiene a ℰ; 1bis) per ogni coppia di insiemi A, B⊂Ω, entrambi appartenenti a ℰ, si ha che A cup B in ℰ; 2) per ogni insieme A∈ℰ, si ha anche A^c∈ℰ. Si dice invece che ℰ è  una σ-algebra se la 2) è sostituita dalla forma più forte 2bis) per ogni successione (anche infinita) A_n di sottoinsiemi di Ω appartenenti a ℰ, si ha che la loro unione è ∪_nA_n∈ℰ. Le σ-algebre vengono utilizzate per la definizione assiomatica del concetto di misura di probabilità.