insieme

insieme

insieme nella teoria ingenua degli insiemi termine primitivo (cioè non definibile se non in modo tautologico, e pertanto assunto come noto) legato alla possibilità di considerare una moltitudine di oggetti distinti (detti elementi dell’insieme) come costituenti un tutto unico, detto, appunto, insieme (→ insiemi, teoria degli). Solitamente gli insiemi sono denotati con lettere maiuscole, mentre i loro elementi con lettere minuscole. Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive a ∈ A (che si legge «a appartiene ad A») e l’appartenenza o meno di un elemento a un insieme deve essere non ambigua, cioè non legata a criteri soggettivi. Un insieme può essere definito estensionalmente, vale a dire assegnando la lista degli elementi che lo compongono (che vengono convenzionalmente posti tra parentesi graffe, tra i quali non sono ammesse ripetizioni e di cui non importa l’ordine), oppure intensionalmente, vale a dire mediante una o più proprietà che siano soddisfatte da tutti e soli gli elementi dell’insieme: un dato oggetto è elemento dell’insieme se e solo se soddisfa la proprietà assegnata. La definizione intensionale offre un criterio operativo per stabilire se un elemento appartenga o no all’insieme. Nella definizione intensionale di un insieme è molto utile l’uso dei quantificatori universali ∀ (che si legge «per ogni») ed ∃ (che si legge «esiste») e della congiunzione «tale che», per la quale si usano come simbolo formale i due punti oppure una barra verticale o a volte una semplice virgola. Se, per esempio, N indica l’insieme dei numeri naturali, è allora possibile definire l’insieme P₁₀ dei numeri pari minori di 10 nei due modi seguenti:

La definizione intensionale ha il vantaggio di poter descrivere rigorosamente insiemi eventualmente anche infiniti, impossibili da descrivere esaurientemente fornendo una lista degli elementi.

Un insieme numerico è un insieme i cui elementi sono numeri; questo tipo di insieme diventa interessante nel momento in cui viene dotato di strutture aggiuntive: è il caso degli insiemi, di fondamentale importanza, denotati rispettivamente con i simboli N, Z, Q, R e C, i cui elementi sono rispettivamente i numeri naturali, i numeri interi, i numeri razionali, i numeri reali e i numeri complessi.

Sottoinsiemi di un insieme

Un sottoinsieme di un insieme A è un insieme B i cui elementi sono anche elementi di A: si scrive allora B ⊆ A (oppure ricorrendo all’inclusione stretta B ⊂ A se si vuole escludere che B coincida con A). Un insieme A possiede sempre due sottoinsiemi (eventualmente coincidenti), detti banali: essi sono il sottoinsieme privo di elementi, detto insieme vuoto e indicato con il simbolo ∅, e il sottoinsieme costituito da A stesso; ogni altro sottoinsieme viene detto proprio. L’insieme P dei numeri pari è per esempio un sottoinsieme proprio di N. Un insieme i cui elementi sono sottoinsiemi di un insieme assegnato è anche detto famiglia di insiemi. La famiglia di tutti i sottoinsiemi dell’insieme A si chiama insieme delle parti di A e si indica con ℘(X).

Operazioni tra insiemi

Tra gli insiemi, che conviene pensare come sottoinsiemi di uno stesso insieme ambiente X, si definiscono alcune operazioni. Dati due insiemi A e B, l’unione di A e B è l’insieme, denotato con il simbolo A ∪ B, degli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi; per esempio, se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}, allora A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. L’intersezione di A e B è invece l’insieme, denotato con il simbolo A ∩ B, degli elementi comuni ai due insiemi; quindi A ∩ B = {4, 5}. Se non esistono elementi comuni ad A e B, allora la loro intersezione è l’insieme vuoto e i due insiemi sono detti disgiunti. La differenza di A meno B è l’insieme, indicato con il simbolo AB (o in alcuni testi anche con A − B), costituito dagli elementi di A che non sono elementi di B; la differenza simmetrica di A e B invece è l’insieme, indicato con A Δ B, definito come l’unione delle differenze (AB) ∪(BA). Un comodo strumento per visualizzare graficamente gli insiemi e le operazioni tra essi definite è costituito dai diagrammi di → Eulero-Venn.

Complementare di un sottoinsieme

Se A è sottoinsieme di X, il complementare di A in X è l’insieme, denotato con X A o più semplicemente (quando dal contesto risulta chiaro quale sia l’insieme ambiente in cui A è considerato) con A^C, costituito dagli elementi di X che non appartengono ad A. Anche nel caso del complementare di un insieme la simbologia utilizzata può mutare: in alcuni testi, quando è chiaro l’ambiente in cui l’insieme A è considerato, per indicare il suo complementare si mette una barretta orizzontale sopra il suo simbolo Ā; a volte si trova anche la simbologia C(A).

Prodotto cartesiano di due insiemi A, B è l’insieme, denotato con A × B, di tutte le coppie ordinate (a, b), in cui il primo elemento a appartiene ad A e il secondo elemento b appartiene a B

Un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × A è anche detto relazione in A in quanto la definisce.

Insiemi finiti e insiemi infiniti

Un insieme A si dice finito se esiste una corrispondenza biunivoca tra A e un insieme della forma {0, 1, ..., n − 1}, per un opportuno intero positivo n. Se un tale n esiste, allora esso è detto → cardinalità di A e indicato con il simbolo |A|: esso coincide con il numero di elementi dell’insieme A. Un insieme costituito da un solo elemento è detto un singoletto (o singleton). Un insieme che non è finito si dice insieme infinito.

Insiemi equipotenti, insiemi numerabili e insiemi continui

Due insiemi sono detti equipotenti se esiste una corrispondenza biunivoca tra gli elementi dell’uno e quelli dell’altro: un insieme equipotente all’insieme N dei numeri naturali viene detto numerabile; un insieme equipotente all’insieme R dei numeri reali viene invece detto continuo. La nozione di equipotenza permette di generalizzare a insiemi arbitrari il concetto di cardinalità espresso intuitivamente nel contesto finito come il numero degli elementi di un dato insieme.

Insiemi ordinati e ben ordinati

Un dato insieme è detto ordinato se è dotato di una relazione d’ordine (→ ordinamento); è detto ben ordinato se è dotato di un buon ordinamento, vale a dire di una relazione d’ordine tale che ogni suo sottoinsieme non vuoto ha un elemento minimo. L’insieme N dei numeri naturali con il suo ordinamento standard ≤ è ben ordinato, mentre non lo è l’insieme Z dei numeri interi relativi perché, per esempio, il sottoinsieme dei numeri negativi non ha un minimo. Una versione equivalente dell’assioma della → scelta, nota come teorema del buon ordinamento, sancisce il fatto che ogni insieme ammette un buon ordinamento.

La parte della matematica che si occupa dello studio degli insiemi (a prescindere dalle strutture ulteriori di cui possono essere dotati) e delle loro proprietà va sotto il nome di teoria degli insiemi (→ insiemi, teoria degli). Se su un insieme si introducono delle relazioni e delle operazioni, si entra allora nell’ambito dell’→ algebra.