Riemann-Stieltjes, integrale di

Riemann-Stieltjes, integrale di

Riemann-Stieltjes, integrale di generalizzazione del concetto di integrale definito ottenuta sostituendo alla variabile d’integrazione una opportuna funzione. Si considerino in un intervallo [a, b] una funzione ƒ(x) limitata e una funzione g(x) monotòna, per esempio crescente. Scelta una suddivisione dell’intervallo mediante una successione di punti {x_k} con a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b, e detti m_k e M_k rispettivamente gli estremi inferiore e superiore di ƒ(x) in [x_k−1, x_k], si costruiscono le somme integrali per difetto

e per eccesso

Se al tendere a zero della massima lunghezza δ degli intervalli [x_k−1, x_k] le somme per difetto e quelle per eccesso ammettono lo stesso limite J, la funzione ƒ(x) si dice integrabile secondo Riemann-Stieltjes rispetto alla funzione g(x), e si scrive

Si può poi estendere la definizione all’intervallo (−∞, +∞). Se g(x) è di classe C ¹, l’integrale coincide con

e in particolare se g(x) = x esso si riduce all’integrale di → Riemann. Nel caso generale si ottiene una generalizzazione, che include le misure su R. Per esempio, se g(x) = Y(x) (con Y funzione di → Heaviside, cioè Y(x) = 1 per x > 0, Y(x) = 0 per x < 0) e ƒ(x) è continua nell’origine si ha

per cui l’integrale rappresenta la distribuzione δ di → Dirac.