integrale

integrale

Strumento cardine dell’analisi matematica, della teoria delle probabilità (➔) e dei processi aleatori (➔ processo aleatorio), con rilevanti applicazioni alla teoria delle decisioni nella finanza.

Integrale definito

Si consideri una funzione y=f(x) definita in un intervallo chiuso [a, b] ivi continua o almeno sufficientemente regolare (limitata e non troppo discontinua). Si suddivida l’intervallo in n intervalli più piccoli rispettivamente di ampiezza Δx₁, Δx₂, ..., Δx_n, scelto in ciascun intervallo un punto x_i si consideri la somma Σ_i f(x_i)Δx_i. Data la funzione f, essa dipende evidentemente sia dalla suddivisione sia dal punto x scelto. Il risultato geometrico di tale operazione è quello di sommare le aree di tanti rettangoli di base Δx_i e altezza f(x_i). Ora, se la massima ampiezza degli intervalli è infinitesima, esiste, nelle accennate condizioni di regolarità della f, un comune valore limite di tali somme, nel quale queste ultime differiscono per una quantità infinitesima. Tale valore viene chiamato i. definito (➔ Riemann-Stieltjes, integrale di) della funzione integranda f(x) sull’intervallo [a, b] e indicato con la notazione I(a, b)=ʃ_a^b f(x)dx. Il suo significato geometrico è quello di area (con segno) racchiusa fra la curva, l’asse orizzontale (delle ascisse) e le parallele all’asse verticale (delle ordinate) di equazione x=a e x=b. In pratica, però, per il calcolo di i. definiti si sfruttano i due seguenti risultati: F(x)=I(a, x) è una funzione la cui derivata prima rispetto x soddisfa in ogni punto x di continuità della f integranda la F′(x)=f(x); della stessa proprietà gode anche per ogni c reale, ogni altra G_c(x)=F(x)+c. Ogni funzione G con tali proprietà si dice ‘primitiva’ della funzione integranda f e la totalità delle primitive si chiama i. indefinito della f. Qualunque sia G_c(x) risulta, inoltre, I(a, b)=G(b)−G(a), un metodo immediato ed efficiente di calcolo dell’i. definito di una f a condizione di riuscire a individuarne una primitiva. Un sistema molto utile per estendere i. definiti è quello di sostituire le differenze Δx_i (o il differenziale dx) con differenze ΔG_i=G(x_i+1)−G(x_i) (o con il differenziale dG) prodotte da una conveniente funzione G(x) e considerare come i. definito di Stieltjes della f(x) rispetto alla funzione peso G(x) il limite di somme del tipo Σf(x_i)ΔG_i.

Funzioni di densità di probabilità

Nel calcolo della probabilità interessa estendere i. definiti anche a intervalli non limitati, ossia procedere al calcolo di I(−∞,b) o I(a,+∞) o I(−∞,+∞) per f(x) opportune. Ciò si può fare se esistono finiti i limiti per a tendente a −∞, o per b tendente a +∞, o per entrambi, dei corrispondenti i. definiti. Ciò accade quando le rispettive code (➔ coda) della funzione integranda sono sufficientemente magre da renderle trascurabili. Sono di grande importanza nel calcolo delle probabilità le funzioni f(x) positive per ogni x reale e con I(−∞,+∞) finito, anzi dopo opportuna normalizzazione pari a 1. Tali funzioni si dicono ‘di densità di probabilità’ (➔ distribuzione di probabilità) di una variabile aleatoria (➔), o di un numero aleatorio, X. Infatti, la probabilità che la variabile aleatoria X assuma determinazione compresa nell’intervallo fra x e x+dx è approssimativamente f(x)dx e più in generale la probabilità che la X assuma determinazione compresa fra a e b è I(a, b) della f(x).

Integrale generalizzato

La funzione definita per ogni x reale da I(−∞,x), i. generalizzato della densità, si dice funzione di ripartizione o cumulata della distribuzione di densità f, e rappresenta la probabilità P(X≤x) che la variabile aleatoria X assuma determinazione non superiore a x, mentre il suo complemento a 1, I(x,+∞) descrive invece la probabilità P(X>x). Funzioni di ripartizione sono le tipiche funzioni peso che intervengono in i. di Stieltjes nella ricerca di valori sintetici (momenti) di variabili aleatorie. I momenti di ordine n dall’origine di una variabile aleatoria sono i. generalizzati I(−∞,+∞) di Stieltjes con funzione integranda f(x)=xⁿ e funzione peso la funzione di ripartizione della variabile aleatoria X. Più formalmente risulta E(Xⁿ)=ʃ^+∞_−∞ xⁿg(x)dx. Altri i. generalizzati di Stieltjes di primaria importanza sono quelli detti trasformate di Eulero-Fourier, con funzione integranda f(x)=exp(iux) e funzione peso la funzione di ripartizione G(x) di una variabile aleatoria X. In tali i. compaiono l’unità immaginaria i e la variabile reale u. Vista come funzione di tale variabile, la trasformata di Eulero-Fourier è detta funzione caratteristica della variabile aleatoria X avente per funzione di ripartizione la G. Il collegamento fra funzione caratteristica e momenti è riassunto dal seguente teorema: se esiste il momento centrale di ordine n della distribuzione, la funzione caratteristica è derivabile (almeno) n volte (rispetto a u) e la sua derivata n-esima nell’origine (per u=0) è iⁿE(Xⁿ). ● Nelle applicazioni al calcolo finanziario si utilizzano anche i. definiti in cui compare un differenziale stocastico (➔ Itō, Kiyoshi). In questo caso, l’i. definito su un certo intervallo [a,b] non è più un numero ma una variabile aleatoria e l’i. definito con estremo di integrazione variabile non è più una funzione di variabile reale ma un processo aleatorio. Opportune estensioni dei concetti esposti consentono di definire i. di funzioni di due o più variabili.