Gauss, interi di

Gauss, interi di

Gauss, interi di numeri complessi della forma m + in, dove m e n sono numeri interi; gli interi di Gauss corrispondono al reticolato formato dai punti a coordinate intere nel piano di → Argand-Gauss. Indicato con il simbolo Z[i], l’insieme degli interi di Gauss è un sottoanello del campo C dei numeri complessi: più precisamente, gli interi di Gauss sono il più piccolo sottoanello di C contenente l’anello Z dei numeri interi e l’unità immaginaria i. Gli interi di Gauss sono un importante esempio di dominio euclideo, con la valutazione data dalla norma di un numero complesso: ciò vuol dire che, per ogni coppia di interi di Gauss a e b, con b ≠ 0, esistono unici due interi di Gauss q e r tali che

dove, se z = n + im è un numero complesso, allora ‖z‖ = n² + m². Essendo un dominio euclideo, gli interi di Gauss sono anche un dominio a ideali principali e un dominio a fattorizzazione unica.

Come i numeri interi, anche gli interi di Gauss possono essere scritti come prodotto di “numeri primi”, i cosiddetti primi di Gauss. I numeri primi di Gauss possono essere così definiti:

• se a e b sono entrambi diversi da 0, allora a + ib è un primo di Gauss se e solo se a² + b² è un ordinario numero primo;

• se a = 0, allora ib è un primo di Gauss se e solo se |b| è un ordinario numero primo e b è congruo a 3 modulo 4;

• se b = 0, allora a è un primo di Gauss se e solo se |a| è un ordinario numero primo e a è congruo a 3 modulo 4.

I numeri primi che sono anche primi di Gauss sono 3, 7, 11, 19, 23, 31, ... I numeri primi di Gauss con |a|, |b| ≤ 5 sono: −5 – 4i, −5 − 2i, −5 + 4i, −5 + 2i, −4 − 5i, −4 − i, −4 + i, −4 + 5i, −3 − 2i, −3, −3 + 2i, −2 − 5i, −2 − 3i, −2 −i, −2 + i, −2 + 3i, −2 + 5i, −1 − 4i, −1 −2i, −1 – i, −1 + i, −1 + 2i, −1 + 4i, −3i, 3i, 1 – 4i, 1 – 2i, 1 − i, 1 + i, 1 + 2i, 1 + 4i, 2 – 5i, 2 – 3i, 2 – i, 2 + i, 2 + 3i, 2 + 5i, 3 – 2i, 3, 3 + 2i, 4 – 5i, 4 – i, 4 + i, 4 + 5i, 5 – 4i, 5 – 2i, 5 + 2i, 5 + 4i.