interpolazione

interpolazione

interpolazióne [Der. del lat. interpolatio -onis, da interpolare comp. di inter- e v. affine a polire "pulire"] [ANM] Procedimento per inserire tra due o più valori (in partic., dati sperimentali) altri valori in modo da ottenere una successione che abbia una certa regolarità, eventualmente rappresentabile con una funzione che abbia come suoi valori, sia pure approssimativamente, i valori di partenza. In termini più generali, è il procedimento con cui si calcola il valore di una grandezza y, dipendente da un'altra grandezza x, in corrispondenza di valori della x diversi da quelli per i quali sono a priori noti i valori della y stessa; in senso stretto, il termine indica il calcolo della y per valori della x compresi tra i valori anzidetti; per valori della x esterni all'intervallo determinato dai valori dati della x si parla piuttosto di estrapolazione. Il discorso può ripetersi per una grandezza y dipendente non da una sola, ma da più variabili. L'i. riesce utile allorché si vuole dare continuità a una serie di dati discontinui (i. logica dei dati) oppure sostituire a una serie di dati irregolari per errori accidentali o sistematici, una serie più regolare (perequazione); presupposto fondamentale della i., sia pure implicito, è che esista una certa regolarità nella dipendenza della y dalla variabile x. Quando si interpretino la y e la x come coordinate cartesiane (o di altro tipo) in un piano, il problema dell'i. si traduce geometricamente nel problema di tracciare una curva quanto più regolare possibile, passante per i punti dati (o vicino a essi); essa si dice curva interpolatrice (v. fig.). Il problema dell'i., così come è stato enunciato, non ha soluzione unica; questa dipende evidentemente dal criterio adottato per calcolare i valori intermedi della funzione, cioè dal procedimento seguito per interpolare, che varia a seconda delle finalità che si vogliono raggiungere. A seconda del tipo di procedimento adottato si hanno, tra le altre, le i. ricordate nel seguito. ◆ [ANM] I. analitica: si propone di determinare l'espressione analitica di una funzione, detta funzione interpolatrice, la quale o assume i valori noti della grandezza y, ovvero valori più o meno prossimi secondo opportuni criteri; in ogni caso occorre prefissare la forma analitica della funzione interpolatrice, che risulta a priori arbitraria; in effetti sono stati ideati procedimenti di i. (oggi effettuati mediante calcolatori elettronici) nei quali la funzione interpolatrice è un polinomio, oppure una funzione esponenziale, ecc. Ci limitiamo qui a ricordare, come casi piuttosto semplici di i. con polinomi, due delle più usate formule di i.: (a) formula d'i. di Lagrange: fornisce un polinomio y = P(x), di grado non superiore a n, che assume, per i valori x₁, ..., xn+1 della variabile x, certi n+1 valori prefissati y₁, y₂, ..., yn+1 e ha l'espressione (v. anche calcolo numerico: I 407 c):✄Ha lo svantaggio che, nel caso si aggiungano un nuovo valore xn+2 della x e il corrispondente yn+2 della y, è necessario calcolare daccapo tutti i termini di P(x), cosa che non capita con la più vantaggiosa formula seguente. (b) formula di Gregory-Newton: noti che siano i valori y₀, y₁, y₂, ..., corrispondenti a x₀, x₁, x₂, ..., si ha: y = y₀ + hΔ₁ + (1/2!) h(h-1) Δ₂ + (1/3!) h(h-1)(h-2) Δ₃ + ..., in cui h = (x-x₀)/(x₁-x₀) e Δ₁, Δ₂,... sono le differenze successive dei numeri y₀, y₁, y₂, ..., e compaiono nella prima colonna del seguente schema: ✄ in questo schema gli elementi di ogni riga si ottengono, per differenza, dai due elementi più vicini della riga immediatamente superiore. Si noti che, quando il numero dei termini a secondo membro della formula è ridotto a due si ha: y = y₀ + [(x-x₀)/(x₁-x₀)](y₁-y₀); la formula fornisce in questo caso l'i. lineare (v. oltre) tra i due valori y₀, y₁ assunti in x₀, x₁; la precedente formula non è altro infatti che l'equazione della retta per i due punti di coordinate (x₀, y₀) e (x₁, y₁). ◆ [ANM] I. di Lagrange e di Gregory-Newton: v. sopra: I. analitica. ◆ [ANM] I. grafica: s'ottiene tracciando a occhio, o con l'ausilio di curvilinei, una curva interpolatrice che passi per i punti noti o tra i punti noti, come tali intendendo quelli che in un diagramma cartesiano rappresentano i valori noti della funzione in esame. Naturalmente, vi sono infinite curve interpolatrici per una serie di punti noti e tra esse può individuarsene una ove si abbiano elementi per arguire qualcosa su essa o, equival., sulla funzione interpolatrice rappresentata da essa, per es. che si tratti di una funzione lineare, avendosi allora l'i. lineare (v. oltre), spesso adottata in varie situazioni fisiche in via di prima approssimazione. ◆ [ANM] I. lineare: quando della funzione siano noti i valori y₁, y₂ in due punti x₁, x₂, il procedimento consiste nell'assumere come diagramma della funzione y(x) tra i due punti noti un tratto rettilineo, supponendo così che la funzione stessa sia lineare nel-l'intervallo x₁ x₂ (nella fig. si è adottato il criterio dell'i. lineare nei singoli intervalli parziali x₁, x₂, x₃, x₄, ecc.); è correntemente usata, per es., per calcolare i valori di funzioni tabulate (logaritmi, funzioni trigonometriche, ecc.) per un valore della variabile che non figura all'ingresso della tavola, ma che è compreso tra due valori successivi dell'ingresso stesso. ◆ [ANM] I. numerica: si effettua con i metodi dell'approssimazione numerica: v. calcolo numerico. ◆ [ANM] I. per induzione: è basata sull'andamento di casi analoghi a quello in esame, oppure sulle relazioni che intercedono con altri fenomeni, ottenendosi, in un caso e nell'altro, un criterio attendibile per la scelta del valore.