interpolazione

interpolazione

Procedimento per inserire tra due o più valori (in particolare dati sperimentali) altri valori, in modo da ottenere una successione che abbia una certa regolarità, eventualmente rappresentabile con una funzione che presenti come propri, sia pure approssimativamente, i valori di partenza. In termini più generali, metodo con cui si calcola il valore di una grandezza y, dipendente da un’altra grandezza x, in corrispondenza di valori della x diversi da quelli per i quali sono a priori noti i valori della y stessa. In senso stretto, il termine indica il calcolo della y per valori della x compresi tra i valori anzidetti; per valori della x esterni all’intervallo determinato dai valori dati della x, si parla piuttosto di estrapolazione. Il discorso può ripetersi per una grandezza y dipendente non da una sola x, ma da più variabili indipendenti. L’i. è utile allorché si voglia dare continuità a una serie di dati discontinui (i. logica dei dati), oppure sostituire a una serie di dati irregolari (per errori accidentali o sistematici) una serie più regolare (perequazione); presupposto fondamentale della i., è che esista una certa regolarità nella dipendenza della y dalla variabile x. Quando si interpretino la y e la x come coordinate cartesiane (o di altro tipo) in un piano, il problema dell’i. si traduce geometricamente in quello di tracciare una curva quanto più regolare possibile, passante per i punti dati (o vicino a essi); tale curva si dice interpolatrice. Il problema dell’i., così come è stato enunciato, non ha soluzione unica; questa dipende evidentemente dal procedimento seguito per interpolare e dal criterio adottato per calcolare i valori intermedi della funzione, che varia a seconda delle finalità che si vogliono raggiungere.

Interpolazione analitica

Si propone di determinare l’espressione analitica di una funzione, detta funzione interpolatrice, la quale assume i valori noti della grandezza y o valori più o meno prossimi, secondo opportuni criteri; in ogni caso occorre prefissare la forma analitica della funzione interpolatrice, che risulta a priori arbitraria. Sono stati ideati procedimenti di i. (ormai effettuati mediante calcolatori elettronici) nei quali la funzione interpolatrice è un polinomio, oppure una funzione esponenziale e così via. Ci si limita qui a citare due delle più usate formule di i. con polinomi. La formula d’i. di Lagrange: fornisce un polinomio y=P(x), di grado non superiore a n, che assume, per i valori x₁,…,x_n+1 della variabile x,n+1 valori prefissati. Ha lo svantaggio che, nel caso si aggiungano un nuovo valore x_n++2 della x e il corrispondente y_n+2 della y, è necessario calcolare dall’inizio tutti i termini di P(x). Tale problema non si presenta con la più vantaggiosa formula di Gregory-Newton. Quest’ultima parte dai valori noti y₀, y₁, y₂,…, corrispondenti a x₀, x₁, x₂, …, e definisce: y=y₀+hΔ₁+(1/2!)h (h−1)Δ₂+(1/3!)h(h−1)(h−2)Δ₃+…, in cui h=(x−x₀)/ (x₁−x₀) e Δ₁,Δ₂,… sono le differenze successive dei numeri y₀, y₁, y₂… . Si noti che, quando il numero dei termini a secondo membro della formula è ridotto a due, si ha: y=y₀+[(x−x₀)/(x₁−x₀)](y₁−y₀); la formula fornisce in questo caso l’i. lineare tra i due valori y₀, y₁ assunti in x₀, x₁; la precedente formula non è altro infatti che l’equazione della retta per i due punti di coordinate (x₀,y₀) e (x₁,y₁). Nel caso in cui per i valori x₁, x₂, …, x_n++1 della variabile indipendente, si conoscano, oltre ai valori delle y_i=f(x_i), anche i valori delle derivate prime f′(x_i), è possibile costruire un polinomio interpolatore della funzione y=f(x), di grado 2(n++1)+1, detto polinomio di Hermite.