INTERPOLAZIONE

INTERPOLAZIONE

Matematica. - 1. S'immagini di studiare sperimentalmente un fenomeno qualsiasi, in cui compaiano due grandezze misurabili x e y, tali che la seconda dipenda dalla prima, o, come si suol dire in termini matematici, la y sia funzione della x (v. funzione); e si voglia esprimere in formule questa dipendenza (legge del fenomeno). Ove si sia constatato che in corrispondenza di certi valori x₁, x₂, x₃,, della x la y assume, rispettivamente, certi valori y₁, y₂, y₃, ..., si è condotti al problema di determinare una funzione y = f(x), tale che risulti y₁ = f(x₁), y₂ = f(x₂), y₃ = f(x₃), ... È questo il problema della interpolazione; e si può dare a esso una forma geometrica, ove le coppie di valori corrispondenti (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃), ..., si rappresentino con altrettanti punti di un piano, fissandovi due assi cartesiani ortogonali e prendendo i valori della x come ascisse, quelli della y come ordinate (v. coordinate). Si tratta allora di trovare l'equazione y = f(x) di una curva passante per i punti prefissati (x_1, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃),...

Il problema, in questa forma generale, è indeterminato, ma non è più tale se si vuole che la y sia una funzione razionale intera di x o, come più comunemente si dice, sia un polinomio in x. Precisamente, supponiamo assegnati per l'incognito polinomio y = P (x) gli n + 1 valori, y₁, ..., y_n+1, che debbono corrispondere ad altrettanti valori x₁, x₂..., x_n+1 (diversi tra loro) della x. Allora, si può costruire un polinomio e uno solo, di grado non superiore a n e tale che

Infatti, si tratterà di determinare i coefficienti a₀, a₁,... , a_n di P(x) = a₀ xⁿ + ai₁ x^n-1 + ... + a_-1 x + a_n, in modo che Siano soddisfatte le condizioni (1). Queste costituiscono un sistema di n + i equazioni lineari nelle n + 1 incognite a₀, a₁,..., a_n, con determinante diverso da zero e quindi. avente un'unica soluzione (v. determinanti, n. 4). La curva interpolatrice y = P (x), che così si ottiene, si chiama una parabola di ordine uguale al grado del polinomio P (e si riduce a un'ordinaria parabola conica per n = 2).

La risoluzione del sistema (1) nelle incognite a_i(i = 0, 1,..., n) non appena n sia un po' elevato, risulta laboriosissima, sicché si è presentata la necessità, di ordine pratico e anche teorico, di escogitare speciali procedimenti che permettano di raggiungere lo scopo coi minimi mezzi algoritmici.

2. Funzioni interpolari e formule di Newton e Lagrange. - Prefissate le n + 1 coppie di valori (x_i, y_i) per i = 1, 2,..., n + i e posto y_i = f (x_i), si dice funzione interpolare del 1° ordine il rapporto

funzione interpolare del 2° ordine il rapporto

in generale, funzione interpolare di ordine r (r = 1, 2,..., n) il rapporto

Una funzione interpolare di ordine r è una funzione simmetrica dei suoi argomenti x₁, x₂, ..., x_r+1, cioè rimane invariata quando si operi una qualsiasi sostituzione sulle x. Ciò risulta dalla seguente forma, che, come osservò-Ampère, si può sempre dare a una funzione siffatta:

Ciò posto, si può dimostrare una notevole formula d'interpolazione, dovuta al Newton. Poiché il polinomio P (x) di grado n deve assumere il valore y₁ = P (x₁) per x = x₁, la differenza P (x) − P (x₁) risulta divisibile per x − x₁ e quindi la funzione interpolare

è un polinomio di grado n − 1; a sua volta, P (x₁, x₂) deve assumere il valore P (x₁, x₂) per x = x₂ e allora la differenza P (x₁, x) − P (x₁, x₂) risulta divisibile per x − x₂ e ciò vuol dire che la funzione interpolare P (x₁, x₂, x) è un polinomio di grado n − 2, ecc. Così procedendo, si perviene a una costante P (x₁, x₂, ..., x_n, x) = P (x₁, x₂, ..., x_n, x_n+1), e si hanno le eguaglianze

dalle quali si trae la formula fondamentale di Newton

Se al secondo membro di questa formula si pongono le espressioni delle funzioni interpolari P (x₁, x₂),.., tratte dalla (2), e s'indicano, come dapprincipio, con y_i i valori assegnati per P(x), si ottiene la formula d'interpolazione del Lagrange

Per la formazione rapida di questi polinomi d'interpolazione è stato di recente ideato da L. Poletti un algoritmo, fondato sull'uso di uno speciale triangolo aritmetico, da lui chiamato triangolo interpolare (v. G. Vivanti, Sopra un algoritmo per l'interpolazione, in Rend. Ist. Lomb. di sc. e lett., LXIII, 1930).

3. Quando di una funzione f (x) non razionale intera si conoscono i valori y₁, y₂,..., y_n+1 corrispondenti ad altrettanti valori distinti x₁, x₂, ..., x_n+1 della x, si potrà, in ogni caso, costruire univocamente, con i procedimenti indicati sopra, il polinomio P (x) tale che P (x_i) = y_i (i = 1, 2,..., n + 1) e interessa allora, specialmente in vista di applicazioni di ordine pratico, conoscere il grado di approssimazione o, se si vuole, l'errore che si commette quando si sostituisca al valore assunto da f(x) per un x diverso dagli x_i il corrispondente valore assunto dal polinomio P (x). Se R_n (x) è la differenza f(x) − P (x), si dimostra che esiste sempre un punto x = ξ interno all'intervallo determinato dal minimo e massimo dei valori x₁,.., x_n+1, x, tale che

e si ha così la seguente formula generale

che si può considerare una generalizzazione della formula del Taylor col resto del Lagrange (v. funzione, n. 20). Facendo tendere tutti i punti x₁, x₂,..., x_n+1 a uno stesso punto x = x₀ e osservando che

si ottiene effettivamente la classica formula del Taylor.