confidenza, intervallo di

confidenza, intervallo di

In statistica, insieme dei valori plausibili per il parametro di interesse, dato il campione. Indicando con θ il parametro della popolazione del quale si cerca di ricavare informazioni attraverso la rilevazione campionaria, l’intervallo di c. a un livello prefissato, per es. il 95%, è un intervallo (a₁, a₂), in cui i valori a₁ e a₂ sono funzioni delle osservazioni campionarie, e pertanto delle variabili casuali, ed è costruito in modo tale che il parametro θ sia incluso con probabilità pari al 95%. Se θ ̂ è uno stimatore consistente per il parametro θ, e se indichiamo con σ_θ la sua deviazione standard, la formula generale per un intervallo di c. è [θ ̂−p_0.025σ_θ; θ ̂+p_0.975σ_θ] dove p_α indica il quantile α-esimo della distribuzione campionaria dello stimatore standardizzato (θ ̂−θ)/σ_θ ossia il valore tale che P((θ ̂−θ)/σ_θ≤p_α)=α. Esiste uno stretto legame tra un intervallo di c. di livello 1−α e la zona di accettazione di un test statistico del tipo θ=θ₀ al livello di significatività α:: se infatti il valore θ₀ non è contenuto nell’intervallo di c., ciò significa che non è plausibile, alla luce delle osservazioni campionarie, e in tal caso si rifiuta l’ipotesi nulla θ=θ₀ (➔ ipotesi statistica).

Di solito la deviazione standard esatta dello stimatore θ ̂ non è nota, e a maggior ragione non si conosce, per una arbitraria dimensione campionaria, il valore p_α. In tal caso si ricorre alla sostituzione di σ_θ con una sua stima consistente e, per i quantili p_α, all’utilizzo dei quantili di una distribuzione che approssima bene la distribuzione di θ ̂. Se lo stimatore θ ̂ è asintoticamente normale e la dimensione campionaria è ragionevolmente elevata, allora possono essere usati i quantili della distribuzione gaussiana. Questi sono convenzionalmente indicati con z_α, dove z_α è tale che α=P(Z≤z_α) e Z è una variabile aleatoria normale standardizzata. I valori z_α, per i quali non esiste una formula chiusa, sono riportati in apposite tavole statistiche.